《数学分析》课程教学课件（PPT讲稿）第二十一章 重积分 第四节 二重积分的变量变换

去有限个第一类间断点外.在其他的点上都连续，又因 L,=T(L),所以 L,的参数方程为x = x(t) = x(u(t), v(t)(α≤t≤β).y = y(t) = y(u(t), v(t))若规定t从α变到β时,对应于L,的正向,则根据格林公式,取P(x,y)=0,Q(x,y)=x,有(D)=f,xdy-T x()(0)d1LDαdyafe x(u(t), v(t)v'(t) dt.(6)(t)OvQu后页返回前页

前页 后页 返回 去有限个第一类间断点外, 在其他的点上都连续. 又 ( ), 因 L T L D =  所以 LD 的参数方程为 ( ) ( ( ), ( )) ( ). ( ) ( ( ), ( )) x x t x u t v t t y y t y u t v t   = =   = = 若规定 t 从  变到  时 LD , 对应于 的正向, 则根据格 林公式, 取 P x y Q x y x ( , ) 0, ( , ) , = = 有 ( ) d ( ) ( )d LD D x y x t y t t    = =    ( ( ), ( )) ( ) ( ) d . (6) y y x u t v t u t v t t u v       = +         

另一方面，在uv平面上ayay$, x(u, v)dydu+OvQuayayBv'(t)dt,(7)= ± x(u(t), v(t)Xav oua其中正号及负号分别由t从α变到β时,是对应于L的正方向或负方向所决定.由(6)及(7)式得到ayayμ(D)=±d, x(u, v)dyOvou后页返回前页

前页 后页 返回 另一方面, 在 uv 平面上 ( , ) d d L y y x u v u v  u v     +        ( ( ), ( )) ( ) ( ) d , (7) y y x u t v t u t v t t u v       =  +          其中正号及负号分别由 t 从  变到  时 L , 是对应于 的正方向或负方向所决定. 由(6)及(7)式得到 ( ) ( , ) d d L y y D x u v u v u v       =  +       

ayaydv.duxx(u,v)三仓2ouOvaydy令 P(u, v)=x(u, v)在uv平Q(u,v)x(uOvQu面上对上式应用格林公式,得到apaQdudv.μ(D)=±Quav4a"y由于函数 (u,)具有二阶连续偏导数,即有QuovapaQ",因此= J(u,v),于是QuOvOvOu前页后页返回

前页 后页 返回 ( , ) d ( , ) d . L y y x u v u x u v v  u v   =  +    令 ( , ) ( , ) , ( , ) ( , ) , y y P u v x u v Q u v x u v u v   = =   在uv平 面上对上式应用格林公式, 得到 ( ) d d . Q P D u v u v      =  −         y u v ( , ) 2 y u v  =   由于函数 具有二阶连续偏导数, 即有 , 2 y v u    ( , ), Q P J u v u v   − =   因此 于是

μ(D) =+Jf J(u, v)dudv.△又因为μ(D)总是非负的,而J(u,v)在△上不为零且连续，故其函数值在^上不变号，所以μ(D)= [ll J(u, v) Idudv.△定理21.13设f(x，y)在有界闭区域D上可积,变换T:x=x(u,v),y=y(u,v)将uv平面由按段光滑封闭曲线所围成的闭区域△一对一地映成xy平面上的闭区域D,函数x(u,v),J(u,v)在△内分别具有返回前页后页

前页 后页 返回 ( ) ( , )d d . D J u v u v  =  又因为 ( ) D 总是非负的, 而 J u v ( , ) 在  上不为零且 连续, 故其函数值在  上不变号, 所以 ( ) | ( , ) |d d . D J u v u v  =  定理21.13 设 f x y ( , ) 在有界闭区域D 上可积, 变换 T x x u v y y u v : ( , ), ( , ) = = 将uv 平面由按段光滑封 闭曲线所围成的闭区域  一对一地映成xy 平面上 的闭区域D, 函数 x u v y u v ( , ), ( , ) 在  内分别具有

一阶连续偏导数且它们的函数行列式a(x, y)+0, (u, v)e△,J(u, v) =a(u, v)则有[ f(x, y)dxdy =[f f(x(u, v), y(u,v)/ J(u,v)]dudv.D△证用曲线网把△分成n个小区域△，在变换T作用下,区域D也相应地被分成n个小区域D.记△,及D,的面积为μ(△,)及μ(D,)(i=1,2,,n). 在对 y的后页返回前页

前页 后页 返回 一阶连续偏导数且它们的函数行列式 ( , ) ( , ) 0, ( , ) , ( , ) x y J u v u v u v  =     证 用曲线网把  分成 n个小区域 i , 在变换T作用 下 Di i , 区域D 也相应地被分成n 个小区域 . 记 及 Di ( )  i ( )( 1,2, , ). 的面积为 及  D i n i = 在对 y 的 ( , )d d ( ( , ), ( , )) | ( , ) |d d . D f x y x y f x u v y u v J u v u v  =   则有