解(i)先求f(x),x≠0 (ⅱi)利用推论3(先验证∫在x=0处连续)求f(0) 单调函数 函数的单调性是函数在区间上变化的整体性态之一.下面我们利 用导数给出判定函数单调性的新的有效方法 定理6.3设∫在区间1上可导,则 ∫在区间1上单调递增(减)x∈1,∫(x)≥0(≤0) 定理6.4设∫在区间(a,b)内可导,则f在区间(ab)内严格单调 递增(减)的充要条件是(i)wx∈(a,b),f(x)≥0(≤0) (i)在(a,b)的任何子区间上,f(x)不恒等于0 推论设∫在区间上可导,若vx∈,f(x)>0(<0),f在区间上严 格单调递增(减) 注(i)若∫在区间(a,b)内(严格)单调递增(减),且在点a右连 续,则∫在区间[a,b)内(严格)单调递增(减).对(ab上的函数有类似 结论 (i)讨论可导函数的严格单调性只须求出∫(x),再判定其符 号.为此,需求出使得∫取得正负值区间的分界点.当∫连续时,这些 分界点必须满足f(x)=0 例6求f(x)=2x3-9x2+12x-3的单调区间 例7证明e2>1+x,x≠0 证令f(x)=e2-1-x,考察函数f(x)的严格单调性
解 (ⅰ)先求 f (x), x 0 ; (ⅱ)利用推论 3(先验证 f 在 x = 0 处连续)求 f (0) . 二 单调函数 函数的单调性是函数在区间上变化的整体性态之一.下面我们利 用导数给出判定函数单调性的新的有效方法. 定理 6.3 设 f 在区间 I 上可导,则 f 在区间 I 上单调递增(减) x I, f (x) 0( 0) 定理 6.4 设 f 在区间 (a, b) 内可导,则 f 在区间 (a, b) 内严格单调 递增(减)的充要条件是(ⅰ) x(a,b), f (x) 0( 0) (ⅱ)在 (a, b) 的任何子区间上, f (x) 不恒等于 0 推论 设 f 在区间 I 上可导,若 x I, f (x) 0( 0) , f 在区间 I 上严 格单调递增(减). 注 (ⅰ)若 f 在区间 (a, b) 内(严格)单调递增(减),且在点 a 右连 续,则 f 在区间 [a,b) 内(严格)单调递增(减).对 (a,b] 上的函数有类似 结论. (ⅱ)讨论可导函数的严格单调性只须求出 f (x) ,再判定其符 号.为此,需求出使得 f 取得正负值区间的分界点.当 f 连续时,这些 分界点必须满足 f (x) = 0 . 例 6 求 ( ) 2 9 12 3 3 2 f x = x − x + x − 的单调区间. 例 7 证明 e 1+ x, x 0 x . 证 令 f (x) e 1 x, x = − − 考察函数 f (x) 的严格单调性
§2柯西中值定理与不定式极限 本节介绍更为一般的微分中值定理并由此证明求不定式极限的 ′ Hospital法则. 柯西中值定理 定理6.5(柯西( Cauchy)中值定理)设∫,g满足 (i)在叵b]上都连续 (i)在(a,b)内都可导 (i)f(x)与g(x)不同时为零; (ivy)g(a)≠g(b) 则3∈(an,b),使 f'()f(b)-f(a) (1) g(5)g(b)-g(a) [分析]欲证(1),只须证[1(b)-/8()-m(l1=0且g(5)≠0 gb-g(a) 令F(=1(0)-/( 8(b)-8(08(x)-f(x由Ro1le定理证之 注(i) Cauchy中值定理是 Lagrange中值定理的推广(当 g(x)=x情形) (i) Cauchy中值定理的几何意义(图见上册教材126页 图6-5) 令 =f(x) lv=g(x) [a,b] 它表示o平面上的一段曲线AB.弦AB的斜率即为(1)式右边,而(1) 式左边
§2 柯西中值定理与不定式极限 本节介绍更为一般的微分中值定理并由此证明求不定式极限的 L＇Hospital 法则. 一 柯西中值定理 定理 6.5 (柯西(Cauchy)中值定理) 设 f , g 满足 (ⅰ)在 a,b 上都连续; (ⅱ)在 (a, b) 内都可导; (ⅲ) f (x) 与 g (x) 不同时为零; (ⅳ) g(a) g(b) 则 (a,b),使 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g b g a f b f a g f − − = (1) [分析] 欲证(1),只须证 ( ) ( )] 0 ( ) ( ) ( ) ( ) [ − = − − g x f x g b g a f b f a 且 g ( ) 0 . 令 ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g x f x g b g a f b f a F x − − − = 由 Rolle 定理证之. 注 (ⅰ) Cauchy 中值定理是 Lagrange 中值定理的推广(当 g(x) = x 情形). (ⅱ) Cauchy 中值定理的几何意义（图见上册教材 126 页 图 6-5）: 令 [ , ] ( ) ( ) x a b v g x u f x = = 它表示 uov 平面上的一段曲线 AB.弦 AB 的斜率即为(1)式右边,而(1) 式左边
f"(5)d 表示与x=相对应的点(g(,f(4)处的切线斜率,因此(1)式表示上述 切线与弦AB平行 (i)研究下列函数可否作为证明 Cauchy中值定理的辅助函数 1)F(x)=f(x)-[(a)+ ∫(b)-f(a) (g(x-g(a) g(b)-g(a) 2)F(x)=[f(b)-f(a川g(x)-g(a)-[f(x)-f(a)g(b)-g{(a); 3)F(x)=[f(b)-f(a]g(x)-f(x)g(b)-g(a) g(a)f(a) 4)F(x)=±1k(b)f(b g(x)f(x) 例1设f在[b](b>a>0)上都连续,在(ab)内都可导,则35∈(ab) 使 f(b)-f(a)=5()l 证取g(x)=hx,对f,g利用 Cauchy中值定理即证之 不定式极限一两个无穷小量或无穷大量之比的极限 1.型不定式极限 定理6.6L′ Hospital法则I)设 (i) limf(x)=lim g(x)=0 (ⅱi)f,g在x的某空心邻域U°(x)内可导且g'(x)≠0; (ⅱ)imf(x)=A(或±∞).则 x-33o g(x) f(x)存在且lm f(x) A(或±∞,∞) r g(r) xxo g(x)
= = x dv du g f ( ) ( ) 表示与 x = 相对应的点 (g( ), f ( )) 处的切线斜率,因此(1)式表示上述 切线与弦 AB 平行. (ⅲ)研究下列函数可否作为证明 Cauchy 中值定理的辅助函数 1) ( ( ) ( ))] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) g x g a g b g a f b f a F x f x f a − − − = − + ; 2) F(x) = [ f (b) − f (a)][g(x) − g(a)]−[ f (x) − f (a)][g(b) − g(a)] ; 3) F(x) = [ f (b) − f (a)]g(x) − f (x)[g(b) − g(a)] ; 4) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 2 1 ( ) g x f x g b f b g a f a F x = 例1 设 f 在 a,b ( b a 0) 上都连续, 在 (a, b) 内都可导,则 (a,b) , 使 a b f (b) − f (a) = f ( )ln 证 取 g(x) = ln x ,对 f , g 利用 Cauchy 中值定理即证之. 二 不定式极限－两个无穷小量或无穷大量之比的极限 1. 0 0 型不定式极限 定理 6.6(L＇Hospital 法则Ⅰ)设 (ⅰ) ( ) ( ) 0 lim lim 0 0 = = → → f x g x x x x x ; (ⅱ) f , g 在 0 x 的某空心邻域 ( ) 0 0 U x 内可导且 g (x) 0 ; (ⅲ) A g x f x x x = → ( ) ( ) lim 0 (或 , ).则 ( ) ( ) lim 0 g x f x x→x 存在且 (或 , ) ( ) ( ) lim 0 = → A g x f x x x