156土质边坡稳定分析一原理 程序 心墙的固结系数c为50月,孔压系数B为0.5图64给出了不同方案在竣工时中央 心墙的孔压分布图 维孔压消散 m=10fu/mo =30mo ·( gibson解(1958) C.e50ft2/mo 维孔压消散 维孔压消散 E城瓷=E 维孔压消散 E 维孔压消散 孔压比(a/BYH) 图6.4不同方案在竣工时中央心墙的孔压分布图 从图中可以看出,不同的荷载转移对产生坝体内的孔压的影响是明显不同的。计算结果 方案2)和3)差异最大,表明荷载转移在心墙料和坝壳料的杨氏模量较小比率时差异较大。 同时,当E5E心时,心墙中的总应力减小得较慢,因此方案3)和4)的结果差别较小 6.3.3比奥固结理论 1.基本原理 上面提到,太沙基理论的核心是假定荷载变化过程中总应力不变。如果不作这一假定 则式(6.1)右边孔隙比的变化需要引入应力应变关系来确定。这一项是由有效应力的增量导 致的,然而,此值在不知道式(611)左侧的孔隙水压力变化的条件下,是无法确定的。在岩 土工程数值计算中,这类将土的应力应变分析和渗流分析“耦合”的问题称为比奥(Biot)的 理论。通常采用有限元法来求解这类问题,可参阅有关论文( Sandhu and wilson.,1969 Hwang, and morgenstern,1971;陈祖煜,1985)。本节简要介绍其基本理论,在第9章中将介绍采用 有限元求解这类问题的数值方法。有关渗流、固结和应力应变有限元方法的全面论述将在其 它专著中介绍(陈祖煜,2003)。 设某一土体在自重(包括土体中的水重)作用下,在初始时刻=0时处于有效应力场{6} 和孔压4状态。此时土体的位移和应变作为计算参照点,设为零。如果此时受到外荷载的 作用,则土体将产生附加位移,同时还将产生附加的有效应力和孔隙水压力。新建立的孔压 场将改变原有的渗流流速,一部分水从土中挤出。随着时间推移,孔隙水压力和有效应力不 断变化直至最后形成一个与外荷平衡的稳定的{a'}和l。建立一个y坐标向上的坐标系,在 此过程中的任一时刻t,土体应同时满足静力平衡、变形相容和渗流平衡,其微分方程和相 应边界条件描述如下
156 土质边坡稳定分析 原理 ⋅ 方法 ⋅ 程序 心墙的固结系数 cv为 50ft2 /月 孔压系数 B 为 0.5 图 6.4 给出了不同方案在竣工时中央 心墙的孔压分布图 图 6. 4 不同方案在竣工时中央心墙的孔压分布图 从图中可以看出 不同的荷载转移对产生坝体内的孔压的影响是明显不同的 计算结果 方案 2)和 3)差异最大 表明荷载转移在心墙料和坝壳料的杨氏模量较小比率时差异较大 同时 当 E 坝壳>5E 心墙时 心墙中的总应力减小得较慢 因此方案 3)和 4)的结果差别较小 6. 3. 3 比奥固结理论 1. 基本原理 上面提到 太沙基理论的核心是假定荷载变化过程中总应力不变 如果不作这一假定 则式(6.11)右边孔隙比的变化需要引入应力应变关系来确定 这一项是由有效应力的增量导 致的 然而 此值在不知道式(6.11)左侧的孔隙水压力变化的条件下 是无法确定的 在岩 土工程数值计算中 这类将土的应力应变分析和渗流分析 耦合 的问题称为比奥(Biot)的 理论 通常采用有限元法来求解这类问题 可参阅有关论文(Sandhu and Wilson, 1969; Hwang, and Morgenstern, 1971 陈祖煜 1985) 本节简要介绍其基本理论 在第 9 章中将介绍采用 有限元求解这类问题的数值方法 有关渗流 固结和应力应变有限元方法的全面论述将在其 它专著中介绍 陈祖煜 2003 设某一土体在自重 包括土体中的水重 作用下 在初始时刻 t=0 时处于有效应力场{ } 和孔压 u σ 0 ′ 0 状态 此时土体的位移和应变作为计算参照点 设为零 如果此时受到外荷载的 作用 则土体将产生附加位移 同时还将产生附加的有效应力和孔隙水压力 新建立的孔压 场将改变原有的渗流流速 一部分水从土中挤出 随着时间推移 孔隙水压力和有效应力不 断变化直至最后形成一个与外荷平衡的稳定的{σ ′ }和 u 建立一个 y 坐标向上的坐标系 在 此过程中的任一时刻 t 土体应同时满足静力平衡 变形相容和渗流平衡 其微分方程和相 应边界条件描述如下
第6拿土的孔隙水压力157 (1)静力许可的应力场。在弹性力学中已经熟知 ao)=foi (6.19) 其中 U6}=(0 (621) 式中:{G为总应力;{G}为单位体积力;y为土的实际容重,对于饱和土体即为饱和容重 [a]是一个用矩阵表示的偏微分算子符号 ] ax 对饱和土体,总应力和有效应力的关系为 G}={o)+{a (623) 式中:u为孔隙水压力;{a}由下式定义 }2=(110) (624) 上标T表示转置矩阵。 由于达西定律是对水头h而言的,我们把式(623)中的u改为h,根据定义 得知 这里需要注意,在有限元计算中,压应力一概被处理成负的,故具有压力性质的孔压也 被处理成负的 将式(623)、式(626代入式(619),得到 pla}-y回jah-y)={6} (627) (2)变形相容的位移场。位移场Wy=(Wx,W,)代表了物体中任意一点在x和y方向的 位移。当应变很小时,位移和应变满足下式 )=aw (6.28) 式中:{}为应变矢量 (6 位移场的边界条件要求,在所研究物体的一般边界s2上满足下式
第 6 章 土的孔隙水压力 157 (1) 静力许可的应力场 在弹性力学中已经熟知 [ ]{ } { } (6.19) b ∂ σ = f 其中 (6.20) { } ( , , ) x y xy T σ = σ σ τ (6.21) { } ( ) s T bf = 0,−γ 式中 {σ}为总应力 {fb}为单位体积力 γs为土的实际容重 对于饱和土体即为饱和容重 [∂]是一个用矩阵表示的偏微分算子符号 [ ] ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = y x x y 0 0 (6.22) 对饱和土体 总应力和有效应力的关系为 { } σ = {σ ′}+{a}u (6.23) 式中 u 为孔隙水压力 {a}由下式定义 { } = (1,1,0) (6.24) T a 上标 T 表示转置矩阵 由于达西定律是对水头 h 而言的 我们把式(6.23)中的 u 改为 h 根据定义 y u h w = − + γ (6.25) 得知 u (h y) (6.26) = −γ w − 这里需要注意 在有限元计算中 压应力一概被处理成负的 故具有压力性质的孔压也 被处理成负的 将式(6.23) 式(6.26)代入式(6.19) 得到 [ ]{ } [ ]{ }( ) { } (6.27) w b ∂ σ ′ −γ ∂ a h − y = f (2) 变形相容的位移场 位移场{ } 代表了物体中任意一点在 x 和 y 方向的 位移 ( , ) x y T W = W W 当应变很小时 位移和应变满足下式 { } [ ] {W} (6.28) T ε = ∂ 式中 {ε}为应变矢量 { } ( , , ) (6.29) x y xy T ε = ε ε γ 位移场的边界条件要求 在所研究物体的一般边界 s2上满足下式
158土质边坡稳定分析一原理·方法,程序 (6.30) 式中:{W}为s2上已知或设定的位移约束条件 (3)本构关系。应力场{)和应变场{}通过本构关系联系起来。对于弹性体, {a'}={△a"+{ob} 其中 △σ}=[C]{e} (632) [C]为根据广义虎克定律建立起来的刚度矩阵,它是对称的。从现在开始,{e}均指由 荷载增量引起的应变增量。 (4)流量连续条件的渗流场。按达西定律,水在土孔隙中的流速矢量}满足下式: }=-K 其中 7=(x,y) (6.34) [K]为渗透系数矩阵,对渗流各向异性的土体 K] k卜 (6.36 K]是对称矩阵,渗流主轴恰为x和y坐标轴 连续条件要求,某一时段内,流出单位土体的水量yy)加上水的压缩量-△等 于土体的压缩量-En=-(Ex+E),可表达为 iV4)+(a T a fE! i au 0 (6.37) o at 式中:Q为不饱和土体的压缩模量,当土体饱和并假定水不可压缩时,1Q为零。 将式(626)式(633代入式(637),得 -(V;(K];h+{a72(s+2mh=0 (638) g at 式(638)是一个含对t微分的方程。求解微分方程通常是在(t0,1)时段内通过积分实现的 因此我们引入卷积的定义。设u和为空间座标x和时间坐标t的函数,则定义卷积( Mikusinski, u*v=u(x, t-r)v(x,r)dr
158 土质边坡稳定分析 原理 ⋅ 方法 ⋅ 程序 {W} = {W} (6.30) 式中 {W}为 s2上已知或设定的位移约束条件 (3) 本构关系 应力场{σ ′}和应变场{ε}通过本构关系联系起来 对于弹性体 { } { } { } (6.31) σ σ σ 0 ′ = ∆ ′ + ′ 其中 {∆σ ′} = [C]{ε} (6.32) [C]为根据广义虎克定律建立起来的刚度矩阵 它是对称的 从现在开始 {ε}均指由 荷载增量引起的应变增量 (4) 流量连续条件的渗流场 按达西定律 水在土孔隙中的流速矢量{V}满足下式 {V} = −[K]{ } ∇ h (6.33) 其中 { } ( , ) (6.34) x y T V = V V ∂ ∂ ∂ ∂ ∇ = x y T { } , (6.35) [K] 为渗透系数矩阵 对渗流各向异性的土体 (6.36) = yx yy xx xy k k k k [K] [K] 是对称矩阵 渗流主轴恰为 x 和 y 坐标轴 连续条件要求 某一时段内 流出单位土体的水量{ } ∇ T {V}∆t 加上水的压缩量 u Q− ∆ 1 等 于土体的压缩量 ( ) v x y −ε = − ε + ε 可表达为 0 1 { } { } { } { } = ∂ ∂ − ∂ ∂ ∇ + t u t Q V a T T ε (6.37) 式中 Q 为不饱和土体的压缩模量 当土体饱和并假定水不可压缩时 1/Q 为零 将式(6.26) 式(6.33)代入式(6.37) 得 { } ([ ]{ } ) { } { } = 0 ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∇ ∇ + t h t Q K h a T T γ ω ε (6.38) 式(6.38)是一个含对t 微分的方程 求解微分方程通常是在(t0 ,t) 时段内通过积分实现的 因此我们引入卷积的定义 设u和ν为空间座标x和时间坐标t的函数 则定义卷积(Mikusinski, 1959) (6.39) ∫ ∗ = − t t u u x t x d 0 ν ( , τ )ν ( ,τ ) τ
第6拿土的孔隙水压力159 可得 -Vy;(K]*;V}h)+{a;7{s}+n(h-hn)=0 (5)应力的边界条件。应力场的边界条件要求在所研究物体一段边界s1满足下式 F]=[No)+[Kaju (641) 式中:y=(,元)为作用在s1上已知的单位面积上的力;[a]在式(62)中定义 n 将式626代入式(641),得 行}=[l-Nlan(h-y) (643) (6)渗流场的边界条件。渗流场的边界条件可分为以下三类 第一类边界条件。在所研究的物体边界面s3上,水头满足下式 h=h (64) 式中h为设定的水头值。 第二类边界条件。在所研究的物体边界s4上,流量满足下式 q=[N=-v kiNi (645) 同样,对式(645)在时段(0,1)内积分,得 式中:g=1;q为s4上设定的流量强度 ( n)=(n,, ny) (6 第三类边界条件。所研究的边界为渗流场的自由面 此时,自由面上各点的孔压为大气压,故应满足式(644),其中 (6 式中:y为位置水头的参照高程 同时,在自由面法线方向没有流量,故又应满足式(645),q=0。但是,自由面的位置 通常是未知的,需要在满足这两个条件的情况下予以确定,常需迭代解决。 固结问题的数学提法是,在体力6}和边界上面力{7}的作用下,求满足微分方程式 (627)、式(628)、式(631)、式(640)和边界条件式6.30)式(643)式(644式(646)式(648) 的位移场{四}和水头场h。通常用有限元求解这些偏微分方程组边值问题。在第9章,将简 要讨论具体的求解方法
第 6 章 土的孔隙水压力 159 可得 { } ([ ] { } ) { } { } ( ) 0 − ∇ ∗ ∇ + + h − h0 = Q K h a T T ω γ ε (6.40) (5) 应力的边界条件 应力场的边界条件要求在所研究物体一段边界 s1满足下式 [T ]= [ ] N { } σ ′ + [ ] N { }a u (6.41) 式中 { } ( x y T T = T ,T )为作用在 s1上已知的单位面积上的力 [∂]在式(6.22)中定义 [ ] (6.42) = y x x y n n n n N 0 0 将式(6.26)代入式(6.41) 得 {T } [ ] N { } [ ] N { }a (h y) = σ ′ − γ w − (6.43) (6) 渗流场的边界条件 渗流场的边界条件可分为以下三类 第一类边界条件 在所研究的物体边界面 s3上 水头满足下式 h = h (6.44) 式中h 为设定的水头值 第二类边界条件 在所研究的物体边界 s4上 流量满足下式 q { } V [ ] N { } h[ ] K {n} T T = = − ∇ (6.45) 同样 对式(6.45)在时段(t0 ,t) 内积分 得 g q h K {n} T ∗ = −{∇} ∗[ ] (6.46) 式中 g=1 q 为 s4上设定的流量强度 { } ( , ) (6.47) x y T n = n n 第三类边界条件 所研究的边界为渗流场的自由面 此时 自由面上各点的孔压为大气压 故应满足式(6.44) 其中 0 h = y − y (6.48) 式中 y0为位置水头的参照高程 同时 在自由面法线方向没有流量 故又应满足式(6.45) q = 0 但是 自由面的位置 通常是未知的 需要在满足这两个条件的情况下予以确定 常需迭代解决 固结问题的数学提法是 在体力{fb}和边界上面力{T }的作用下 求满足微分方程式 (6.27) 式(6.28) 式(6.31) 式(6.40)和边界条件式(6.30) 式(6.43) 式(6.44) 式(6.46) 式(6.48) 的位移场{W}和水头场 h 通常用有限元求解这些偏微分方程组边值问题 在第 9 章 将简 要讨论具体的求解方法
160土质边坡稳定分析一原理·方法程序 2.比奧固结分析有限元程序CON2D CON2D是一个用于分析饱和土及非饱和土的应力、位移和孔压的平面应变有限元程序 它求解土体渗流和变形耦合的固结问题,能计算土体在排水、部分排水或完全排水条件下的 变形和孔隙水压力。COND可用于模拟坝体施工期、蓄水期直至稳定渗流情况下的固结过 程以及地基土在回填、建筑物荷载以及储油罐等外力作用下的固结过程。此外,它还能够模 拟开挖过程以及支撑结构的设置和撤除。并可以利用杆单元来模拟加筋土结构以及利用梁单 元来模拟防渗墙等结构 COND程序最初由 Chang和 Duncan于1977年用 Fortran语言编制,其后历经多次 改进:1981年 Duncan, Orazio, Chang, Wong and Nami,1987年 Schaefer and Duncan,1990年 Orazio分别进行了改进工作。 中国水利水电科学研究院对CON2D的源代码进行了大量的分析和测试工作,改正了源 代码中一些产生重要影响的错误(陈祖煜,1985)。这些修正获得了程序编者 Duncan教授本 人的确认,并且在CON2D版本中加入了相应这些修正的源代码,并在注释行中注明系由本 书作者提供。改进后的CON2D能够执行以下功能: 1)进行大规模高效率的有限元计算; 2)提供多种本构模型供实际工程选用; 3)模拟施工、蓄水过程及其后水位涨落变化; 4)对各级荷载按均分比例进行加载 5)按双线法计算浸水湿化变形 6)处理施工及蓄水过程中复杂的边界条件; 7)模拟坝体内部细砂砾石排水层的设置 8)模拟混凝土防渗墙与周围土体的接触特性等 经过多次改进和修正后,CON2D具有如下功能特点 (1)在计算模型及单元类型上,CON2D用于平面应变计算,块体单元类型为四边形等 参单元及退化的三角形单元。单元结点数目可设置为4~8个。接触面单元为两结点单元。 (2)在材料应力应变关系上,材料应力应变关系模型包括:线弹性模型,邓肯一张的E B模型、修正剑桥模型以及刚塑性接触面模型 (3)在非线性有限元方法上,程序采用工程中应用最广泛的中点增量法进行非线性计 算。对每一个荷载増量,程序进行两次计算,利用中点应力状态确定模量矩阵。对每个荷载 增量,还可按比例划分为若干微增量进行加载,使得对施工过程的模拟更为准确。 (4)在存储机制上,程序采用动态内存分配机制,根据计算规模自动确定内存需求量并 进行动态分配。数据交换文件采用二进制格式保证高速读写操作。 3.工程应用实例之 小浪底大坝心墙施工期孔隙水压 小浪底水利枢纽工程位于黄河中游最后一段峡谷的出口处,上距三门峡大坝130km。拦 河大坝为壤土斜心墙堆石坝,设计最大坝髙154m。心墙由粉质壤土组成,防滲墙顶端设有 高塑性士区,坝壳由堆石体组成。河床段坝基处于深厚砂砾石之上。大坝典型剖面详见图 65,建立平面有限元模型如图66
160 土质边坡稳定分析 原理 ⋅ 方法 ⋅ 程序 2. 比奥固结分析有限元程序 CON2D CON2D 是一个用于分析饱和土及非饱和土的应力 位移和孔压的平面应变有限元程序 它求解土体渗流和变形耦合的固结问题 能计算土体在排水 部分排水或完全排水条件下的 变形和孔隙水压力 CON2D 可用于模拟坝体施工期 蓄水期直至稳定渗流情况下的固结过 程以及地基土在回填 建筑物荷载以及储油罐等外力作用下的固结过程 此外 它还能够模 拟开挖过程以及支撑结构的设置和撤除 并可以利用杆单元来模拟加筋土结构以及利用梁单 元来模拟防渗墙等结构 CON2D 程序最初由 Chang 和 Duncan 于 1977 年采用 Fortran 语言编制 其后历经多次 改进 1981 年 Duncan, Orazio, Chang, Wong and Namiq, 1987 年 Schaefer and Duncan, 1990 年 Orazio 分别进行了改进工作 中国水利水电科学研究院对 CON2D 的源代码进行了大量的分析和测试工作 改正了源 代码中一些产生重要影响的错误 陈祖煜 1985 这些修正获得了程序编者 Duncan 教授本 人的确认 并且在 CON2D 版本中加入了相应这些修正的源代码 并在注释行中注明系由本 书作者提供 改进后的 CON2D 能够执行以下功能 1) 进行大规模高效率的有限元计算 2) 提供多种本构模型供实际工程选用 3) 模拟施工 蓄水过程及其后水位涨落变化 4) 对各级荷载按均分比例进行加载 5) 按双线法计算浸水湿化变形 6) 处理施工及蓄水过程中复杂的边界条件 7) 模拟坝体内部细砂砾石排水层的设置 8) 模拟混凝土防渗墙与周围土体的接触特性等 经过多次改进和修正后 CON2D 具有如下功能特点 (1) 在计算模型及单元类型上 CON2D 用于平面应变计算 块体单元类型为四边形等 参单元及退化的三角形单元 单元结点数目可设置为 4 8 个 接触面单元为两结点单元 (2) 在材料应力应变关系上 材料应力应变关系模型包括 线弹性模型 邓肯 张的 E B 模型 修正剑桥模型以及刚塑性接触面模型 (3) 在非线性有限元方法上 程序采用工程中应用最广泛的中点增量法进行非线性计 算 对每一个荷载增量 程序进行两次计算 利用中点应力状态确定模量矩阵 对每个荷载 增量 还可按比例划分为若干微增量进行加载 使得对施工过程的模拟更为准确 (4) 在存储机制上 程序采用动态内存分配机制 根据计算规模自动确定内存需求量并 进行动态分配 数据交换文件采用二进制格式保证高速读写操作 3. 工程应用实例之一——小浪底大坝心墙施工期孔隙水压[25] 小浪底水利枢纽工程位于黄河中游最后一段峡谷的出口处 上距三门峡大坝 130km 拦 河大坝为壤土斜心墙堆石坝 设计最大坝高 154m 心墙由粉质壤土组成 防渗墙顶端设有 高塑性土区 坝壳由堆石体组成 河床段坝基处于深厚砂砾石之上 大坝典型剖面详见图 6.5 建立平面有限元模型如图 6.6