§44差分方程建模_c 差分方程简介 以t表示时间,规定t只取非负整数。t0表示第一周期初, t=1表示第二周期初等。记y为变量y在时刻t时的取值,则 称4y1=y1-V为y的一阶差分,称 △y=Δ(4y)=2A+-4=y1+2-2y++y 为的二阶差分。类似地,可以定义y的r阶差分。 由t、y及y的差分给出的方程称为y差分方程,其中含的最 高阶差分的阶数称为该差分方程的阶。差分方程也可以写成 不显含差分的形式。例如,二阶差分方程 △2y1+△y1+y=0也可改写成y+2-y++y=0
§4.4 差分方程建模 一、差分方程简介 以t 表示时间，规 定t只取非负整数。t=0表示第一周期初， t=1表示第二周期初等。 记yt 为变量y在时刻t 时的取值，则 称 为yt 的一阶差分，称 为的二阶差分。类似地，可以定义yt的n阶差分。 由t、yt及yt的差分给出的方程称 为yt差分方程，其中含的最 高阶差分的阶数称为该差分方程的阶。差分方程也可以写成 不显含差分的形式。例如，二阶差分方程 也可改写成 t t t y = y − y +1 t t t t t t t y = y = y − y = y − y + y +1 +2 +1 2 ( ) 2 0 2 yt + yt + yt = yt+2 − yt+1 + yt = 0
满足一差分方程的序列y称为此差分方程的解。类似于微分 方程情况,若解中含有的独立常数的个数等于差分方程的阶 数时,称此解为该差分方程的通解。若解中不含任意常数, 则称此解为满足某些初值条件的特解,例如,考察两阶差 分方程 y+2+yt=0 易见y=sin3y=C0s均是它的特解,而 Jt=c, sin-t+C2 sIn a 2 2则为它的通解,其中c1,c2为两个任 意常数。类似于微分方程,称差分方程 a()y+n+a1(D)yt+n-1+…+an(D)yt=b() 为m阶线性差分方程,当b(t)≠0时称其为m阶非齐次线性差 分方程,而
满足一差分方程的序 列yt称为此差分方程的解。类似于微分 方程情况，若解中含有的独立常数的个数等于差分方程的阶 数时，称此解为该差分方程 的通解。若解中不含任意常数， 则称此解为满足某些初值条件的 特解，例如，考察两阶差 分方程 0 yt+2 + yt = 易见 2 sin t yt = 与 2 cos t yt = 均是它的特解，而 y c t c t t 2 sin 2 1 sin 2 = + 则为它的通解，其中c1，c2为两个任 意常数。类似于微分方程，称差分方程 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 1 a t y a t y a t y b t t+n + t+n− ++ n t = 为n阶线性差分方程， 当 ≠0时称其为n阶非齐次线性差 分方程，而 b(t)
ao(t)yin+a(t)vn-1++an(t)y,=0 则被称为方程对应的齐次线性差分方程。 若所有的a()均为与优无关的常数,则称其为常系数差分 方程,即m阶常系数线性差分方程可分成 a0yn++an1yn+1+…+any1=b(t)(415) 的形式,其对应的齐次方程为 0yn++a1yn+(-1+…+any1=0 (4.16) 容易证明,若序列y与y}2)均为方程(416)的解,则 十C 2) 也是方程(416)的解,其中c1、c2为任意常数,这说明, 齐次方程的解构成一个线性空间(解空间)。 此规律对于(415)也成立
a0 (t) yt+n + a1 (t) yt+n−1 ++ an (t) yt = 0 则被称为方程对应的齐次线性差分方程。 若所有的 ai (t)均为与t无关的常数，则称其为 常系数差分 方程，即n阶常系数线性差分方程可分成 ( ) 0 1 1 a y a y a y b t n+t + n+t− ++ n t = （4.15） 的形式，其对应的齐次方程为 a0 yn+t + a1 yn+t−1 ++ an yt = 0 （4.16） (2) 2 (1) t 1 t t y = c y + c y (1) t y (2) t 容易证明，若序列 与 y 均为方程（4.16）的解，则 也是方程（4.16）的解，其 中c1、c2为任意常数，这说明， 齐次方程的解构成一个 线性空间（解空间）。 此规律对于（4.15）也成立
方程(4.15)可用如下的代数方法求其通解: (步一)先求解对应的特征方程 an0"+a1"-+…+anJ1=0(417 (步二)根据特征根的不同情况,求齐次方程(416)的通解 情况1若特征方程(417)有n个互不相同的实根 4-,,则齐次方程(416)的通解为 Ax+…+Cnxn(C1…Cn为任意常数) 情况2若λ是特征方程(4.17)的k重根,通解中对应 于λ的项为C1+…+C4t)x O任意常数,=1,…,k 情况3若特征方程(417)有单重复根=a± 通解中对应它们的项为C1 p cos t+C2p' sin pt p=a2+B2为的模,= arctan B为的幅角
方程（4.15）可用如下的代数方法求其通解： （步一）先求解对应的特征方程 0 1 0 + 1 + + = − n t n n a a a y （4.17） （步二）根据特征根的不同情况，求齐次方 程(4.16)的通解 情况1 若特征方程（4.17）有n个互不相同的实根 1 ,…, ，则齐次方程（ n 4.16）的通解为 t n n t C1 1 ++C (C1 ， ,…,Cn为任意常数) Ci 情况2 若λ 是特征方程（4.17）的k重根，通解中对应 于λ的项为 k t k (C C t ) 1 1 − ++ 为任意常数，i=1,…,k。 情况3 若特征方程（4.17）有单重复根 = a i 通解中对应它们的项为 t t t t C1 cos + C2 sin 2 2 = + 为λ的模， = arctan 为λ的幅角
情况4若=a±G为特征方程(4.17)的重复根,则通 解对应于它们的项为 (1+…+C1t) p cos p+(Cx+…C2t-)p' sin t 为任意常数 L日 .,2K (步三)求非齐次方程(4.15的一个特解y若y为方程416) 的通解,则非齐次方程(415)的通解为y+y 求非齐次方程(415)的特解 般要用到常数变易法,计算较繁 对特殊形式的b(2)也可使用待定 系数法
情况4 若 = a i 为特征方程（4.17）的k重复根，则通 解对应于它们的项为 t t t t k t k t (C C ) cos (C C ) sin 1 k 1 2k 1 1 k − + − ++ + + Ci 为任意常数，i=1,…,2k。 t y .若yt为方程(4.16) 的通解,则非齐次方程(4.15)的通解为 （步三） 求非齐次方程 (4.15)的一个特解 t t y + y 求非齐次方程（4.15）的特解一 般要用到 常数变易法，计算较繁。 对特殊形式 的b(t)也可使用 待定 系数法