S43马氏链模型e 随着人类的进化,为了揭示生命的奧秘,人们越来越注重 遗传学的研究,特别是遗传特征的逐代传播,已引起人们 广泛的注意。无论是人,还是动、植物都会将本身的特征 遗传给下一代,这主要是因为后代继承了双亲的基因,形 成自己的基因对,由基因又确定了后代所表现的特征。本 节将利用数学的马氏链方法来建立相应的遗传模型等,并 讨论几个简单而又有趣的实例。 马氏链(马尔柯夫链)研究的是一类重要的随机过程,研 究对象的状态s(是不确定的,它可能取K种状态 s(=1,…,k之一,有时甚至可取无穷多种状态。在建模时 时间变量也被离散化,我们希望通过建立两个相邻时刻研 究对象取各种状态的概率之间的联系来研究其变化规律, 故马氏链研究的也是一类状态转移问题
§4.3 马氏链模型 随着人类的进化，为了揭示生命的奥秘，人们越来越注重 遗传学的研究，特别是遗传特征的逐代传播，已引起人们 广泛的注意。无论是人，还是动、植物都会将本身的特征 遗传给下一代，这主要是因为后代继承了双亲的基因，形 成自己的基因对，由基因又确定了后代所表现的特征。本 节将利用数学的 马氏链方法来建立相应的遗传模型等，并 讨论几个简单而又有趣的实例。 马氏链（马尔柯夫链）研究的是一类重要的随机过程，研 究对象的状 态s(t)是不确定的，它可能 取K种 状态 si(i=1,…,k)之一，有时甚至可取无穷多种状态。在建模时， 时间变量也被离散化，我们希望通过建立两个相邻时刻研 究对象取各种状态的概率之间的联系来研究其变化规律， 故马氏链研究的也是一类状态转移问题
例4.6设某商店经营情况可能有三种状态: 好(S1:利润丰厚)、一般(S2)和不好 (S3:亏损)。根据统计资料,上月状态为 S,下月状态为S的概率为p(=1,23; 户123),0p下1 例4.6中的关系既可用一转移矩阵表示 12 13 A=P21 22 P23 31 32
例4.6 设某商店经营情况可能有三种状态： 好（S1：利润丰厚）、一般（S2）和不好 （S3：亏损）。根据统计资料，上月状态为 Si，下月状态为Sj的概率为pij（i=1,2,3; j=1,2,3），0≤pij≤1 例4.6中的关系既可用一转移矩阵表示 = 31 32 33 21 22 23 11 12 13 p p p p p p p p p A
计+1时段状态 状态转移概率 S Sy S1土壤含 0.4 0.4 0 0.2 磷 S牧草合01 0.3 0.6 时段状L磷 0 态 羊体含 0.7 0 0.2 0.1 磷 S流失系 统外 0 0 0 研究此生态系统问题 率列表于下
例4.7 研究某一草原生态系统中物质磷的循环，考 虑土壤中含磷、牧草含磷、牛羊体内含磷和流失于 系统之外四种状态，分别 以S1，S2，S3和S4表示 这四种状态。以年为时间参数，一年内如果土壤中 的磷以0.4的概率被牧草生长吸收，水土流失于系统 外的概率为 0.2；牧草中的含磷以 0.6的概率被牛羊 吃掉而转换到牛羊体内，0.1的概率随牧草枯死腐败 归还土壤；牛羊体中的磷 以0.7的概率因粪便排泄 而还归土壤，又以自 身0.1的比率因屠宰后投放市 场而转移到系统外。我们可以建立一个马尔柯夫链 来研究此生态系统问题，其转移概率列表于下： 0 0 0 1 S4流失系 统外 0.7 0 0.2 0.1 S3羊体含 磷 0.1 0.3 0.6 0 S2牧草含 磷 0.4 0.4 0 0.2 S1土壤含 磷 i时段状 态 S4 S3 S2 S1 i+1时段状态 状态转移概率
相应的转移矩阵为: 0.40.400.2 0.10.30.60 M 0.700.20.1 且S+1=SM 首先,任一转移矩阵的行向量均为概率向量,即有(1) 马氏链模型的性质完全由其转移矩 阵决定,故研究马氏链的数学工 B=1(产=1,具是线性代数中有关矩阵的理论。 的炬阵被称为随机矩阵
相应的转移矩阵为： = 0 0 0 1 0.7 0 0.2 0.1 0.1 0.3 0.6 0 0.4 0.4 0 0.2 M 且S j+1=S jM 马氏链模型的性质完全由其转移矩 阵决定，故研究马氏链的数学工 具是线性代数中有关矩阵的理论。 首先，任一转移矩阵的行向量均为概率向量，即有 （1） （I , j=1,…,n） （2） （i=1,…,n） 这样的矩阵被称为 随机矩阵。 0 Pig 1 1 1 = = n j Pig
常染色体遗传模型」 在常染 继承 个基因, 父体—母体的基因型 。如果 我们所 AA AAAA AaAa aa (A、 a为表示 记为AA, Aa,aa。 AA Aa aa aa aa aa 下面给出后41 0 00 后代形成 每种基因型代[Aa0 0 基 双亲随机纬累的物假模型村软复,这些我付仅研究 个较简
常染色体遗传模型 下面给出双亲体基因型的所有可能的结合，以及其后代形成 每种基因型的概率，如 表所示。 在常染色体遗传中，后代从每个亲体的基因对中各继承一 个基因，形成自己的基因时，基因对也称为基因型。如果 我们所考虑的遗传特征是由两个基 因A和a控制的，（A、 a为表示两类基因的符号）那么就有三种基因对，记为AA， Aa，aa。 aa 0 0 0 1 Aa 0 1 0 后 AA 1 0 0 0 代 基 因 型 aa － aa Aa － aa Aa － Aa AA － aa AA － Aa AA － AA 父体——母体的基因型 双亲随机结合的较一般模型相对比较复杂，这些我们仅研究 一个较简单的特例