36 第一章行列式 式必为零.至于这条件是否充分将在第三章中予以解决，目前还是应验证它有非 零解.下题也是同样情形 12.问入取何值时，齐次线性方程组 (1-A)x1- 2x2+ 4x3=0, 2x1+(3-A)x2+ x1=0, x1+ x2+（1-λ)x,=0 有非零解？ 解若方程组有非零解，由定理5，它的系数行列式D=0. 1-λ-24 111-λ 因D= 23-1 2.3-1 111- 1-24 111 1-A1 r2-2r 3-(1-A0n -01-入2λ-1 0-3+1.4-(1-λ)2 =-1-12x-1a*-1-aa1 -3+λ4-(1-)2 A-33x-a2 8u- c3÷A =-A(A-2)(A-3) 故D=0→入=0或入=2或λ=3，并且不难验证： 当1=0时，x1=-2,x2=1,x1=1:当1=2时，x1=-2,x2=3,x1=1;当 入=3时，x1=-1,x2=5,x)=2均是该方程组的非零解.所以当1=0,2,3时 方程组有非零解 习题1（附答案和提示） 1.1计算行列式 1823823233 D= 1549549499 1667667677 1986986866 1,2计算四阶行列式 I a 1 D= 11-a1 1 1+b 1 11-
答案和提示 27 1,3求满足下列方程的实数x,y,z: 1 x y x:10.0 y010 =1 x001 1.4计算n阶行列式 -1 -1 D.= (未标明元素均为零)， -1 b。.-t a.-1l 1.5计算n阶行列式 1taa1a2.aa, D.= aa11+ai. a,a1aa2.1+a2 1.6已知多项式 |x+12 x-32 f八x)= 12x+27 5 3x+1:33x+3 8 1 8 04x+4 求八x)的最高次项。 答案和提示 1.1-4×102. 1.2D=a2b2 1.3提示：将D按第一行展开，得x2+y2+x2=0,解得x=y=x=0. 1.4D.=aa1a.-+b1a2.a-1+.+6。-2a.-1+b-1 1.51+ 1.6112x2
第二章 矩阵及其运算 基本要求 1.理解矩阵的概念，知道零矩阵、对角矩阵、单位矩阵、对称矩阵等特殊的 矩阵。 2.熟练草握矩阵的线性运算（即矩阵的加法及矩阵与数的乘法）、矩阵与矩 阵的乘法、矩阵的转置、方阵的行列式以及它们的运算规律， 3.理解可逆矩阵的概念、性质以及矩阵可逆的充要条件.理解伴随矩阵的 概念和性质，会用伴随矩阵求矩阵的逆阵 4.知道分块矩阵及其运算规律.熟悉矩阵的行向量组和列向量组 内容提要 1.矩阵的定义与记号 m×n矩阵，记作A或Amx.·矩阵的第i行、第j列元素称为该矩阵的 (i,j)元；以a为(i,j)元的矩阵记作(a)或(ag)nx. n阶矩阵（或称n阶方阵），记作A或A。列矩阵（或称列向量），常用a,a, x表示；行矩阵（或称行向量），常用aT,a「，xT表示. 零矩阵，记作0或0nx。.对角阵，也记作diag(1,入2，·，入.）.单位阵，记作 E或E。 如同教材的约定一样，本书中的矩阵除特别说明者外，都指实矩阵，即矩阵 的元素都是实数. 设A=(a),B=(b)是两个m×n矩阵，如果 ay=b,i=1,2,.,m时=1,2，.，n, 那么称矩阵A与B相等，记作A=B. 2.矩阵的运算及运算规律
内容提要 29 (1)矩阵的加法满足 (i)A+B=B+A: (i)(A+B)+C=A+(B+C). (2)数乘矩阵满足（其中入，4∈3）： (i)A(4)=()A; (ii)(A+μ）A=A+uA; (iii)a(A+B)=A+aB (3)矩阵与矩阵相乘满足（设运算都是可行的）： (i)(AB)C=A(BC); (ii)A(B+C)=AB+AC,(A+B)C=AC+BC; (iii)(AA)B=A(AB)=a(AB). 矩阵的乘法不满足交换律.若方阵A与B满足AB=BA,则称方阵A与B 是可交换的 当AB=0时，A与B可以都不是零矩阵 (4)矩阵的转置满足： (i)(AT)=A: (ii)(A+B)T=AT+BT; (iii)(A)T=aAT: (iv)(AB)T=BTAT. 若方阵A满足AT=A,则称A为对称阵.A=(a).为对称阵的充要条件 是ag=a:(i,j=1,2,.,n). (5)方阵的幂A和方阵的多项式 设p(a)=a。+a,1+.+anA"为入的m次多项式，记 p(A)=aE+a1A+.+amA", p(A)称为方阵A的m次多项式 方阵的幂和多项式满足： (i)AA'=A',(A)'=A“(k,l∈Z,): (i)设p(A),f(A)是A的两个多项式，则p(A)f(A)=f(A)p(A) 因此，方阵的多项式可以像数的多项式一样分解因式. (6)方阵的行列式满足： (i)IATI=1AI; (i)IλA.|=A"|A.1: (iii)IABI=IAI1BI. 3.逆矩阵
30 第二章矩库及其运算 (1)定义对于方阵A若有方阵B使 AB=BA=E, 则称矩阵A是可逆的，B称为A的逆阵，并记为B=A (2)方阵A可逆台|A|≠0 台存在方阵B,使AB=E 台存在方阵B,使BA=E. (3)逆阵的性质 ()若A可逆，则A'也可逆，且(A)1=A; ()若A可逆，则AT也可逆，且(AT)'=(A)T; (若A可逆k0,则M也可逆，且(A)1=4: (v)若A,B均可逆，则AB也可逆，且(AB)'=B'A (4)伴随矩阵 方阵A的伴随阵A·定义为 A=(A)T 其中A,是行列式|A|中(i,j)元的代数余子式 伴随阵具有下述性质： (i)AA·=A·A=|A|E; (i)若|A1≠0，则A·= ATAA'=1414- 4.分块矩阵 用一些横线和竖线把矩阵分成若干小块，这种“操作”称为对矩阵进行分块 矩阵分块后，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵，分块矩阵在运算时， 可以把每个小块看做“数”来运算. 利用把矩阵按列（行）分块，建立起矩阵与列（行）向量组的对应，这是第四章 中讨论问题的基本方法。 5.克拉默法则用矩阵语言叙述为： 若方阵A的行列式|A|≠0，则方程Ax=b有惟一解 x=AA6（即￥=Ab). 其中A'为A的伴随阵 学习要点 矩阵是本课程研究的主要对象，也是本课程讨论问题的主要工具.因此，本