习题解答 2 11 1 s-[x+(m-10a] z-a 1=2,.,n x-al =(x-a)"-[x+(n-1)a]. (3)解把所给行列式上下翻转，即为范德蒙德行列式，若再将它左右翻 转，由于上下翻转与左右翻转所用交换次数相等，故行列式经上下翻转再左右翻 转（相当于转180°，参看题7）其值不变.于是按范德蒙德行列式的结果，可得 1 1 . 1 a-n Di= a-n+1 T(-j) (a-n)”(a-n+1)".a" (4)解本题与例11相仿，解法也大致相同，用递推法 a. b.0 C. d 由例10（a,d.-bc)D- 0 D2-y 即有递推公式 Di.=(a,d.-bc.Dx-). 另一方面，归纳基础为D,= =a1d1-b1c1,利用这些结果，递推得 Da.=(ad.-b.c.).(aid-bic)=II(and,-bc). (5)解 10 1 2.n-1 01.n-2n-1 1 0 1.n-2 D.= 2 1 0.n-3 f.-Tn-l -1 r-1-r-2 n-1n-2n-3.0 1 1 1 ln-1n.2n-3n-1 0 -2. -2 -1 0 0 -2 -1 c1+c。 =（-1)"-(n-1)22 ,-1+cw 0 0 0 -1
22 第一章·行列式 (6)解将原行列式化为上三角形行列式.为此，从第2行起，各行均减去 第1行，得与例1.3相仿的行列式 1+a11. 1 b1.1 1-1 D.e2. -a1a2 c1+0,0a4 =2,., -a1. a 0 其中6=1+a,ta房=e+名》于是 D,=aa+2》 3 1-1 2 -5 1 3 -4 9.设D= 2 ,D的(i,)元的代数余子式记作A,求 0 1 -1 1-5 3 -3 A+3A2-2A3+2A4 解与例13相仿，A1+3A2-2A+2A4等于用1,3，-2,2替换D的第 3行对应元素所得行列式，即 3 1-1 31-11 -5 A31+3A2-2AJ+2A4= 3 -4c+c3 -513-1 1 3 -2 2 13-2 0 1-5 3 -3 1-530 3 1-11 1-1-1 -2 2 20r2÷(-2) 1 3-20按c4展开 213-2 1-53 1-5 30 1 -1 -1 11-1-1 r-20 4 r*220 4-1 r3-r1 -1 0 -4 4 0 03 =24. 10.用克拉默法则解下列方程组： x1+x2+x,+x,=5: 5x1+6x2 =1, x1+2x2-x1+4x4=-2; x1+5x2+6x1 =0, (1) 2x1-3x2-x1-5x4=-2, x2+5x3+6x4=0, (3x1+x2+2x3+11x4=0: x3+5x4=1
习题解答 23 11 1 1 1 解(1)D= 2 -1 4 0 1 -2 2 -3 -1 r1-2r -5 -3 7 3 2 1-3r 2 -1 1 1 1 r+5r2 0 1 1-13 r4+2r2 00 1384 1 -5 14 =-142; 00 5 1 1 5 11 1 -2 2 D1= -1 14 +r 3 3 0 5 -2 -3 -1 ntr 2 0 1 -2r1 -10 -1 0 9 按展开 3 5\ 27 0 3 -4 r+3r3 23 .0 -10 1 2-2 -10 -1 -27 =2 2 142 -22 /1 5 1 11 -2 D2= 1 -1 45 0 -2 2 -2 -1 r-2r7 -12 -3 3 0 r4-3r1 8 6 -7 2 23 0 -13 -12 -3 1-2r 0 -31 -15 r2-3r3 8 -15 -1 按c2展开 23 -13 3 =-284 11 1 1 5 1 D3= 0 7 r-2m 10 -5 -12 3 1 0 r4-3r1 -15 1 r3+5r1 1 > -47 8 4+2r2 0 0 -47 138 o 1 -29 14 =-426: 10 0 -29
24 第一章行列式 1111 11 2-1-2 1-2 -7 D.= -10 2-3-1-2-2m10-5-3-12 12 0 4-3r1 0 -2-1 -15 11 5 +5r01 -2 -7 |-13-47 = =142, r4+2r2 00 -13 -47 -5-29 00-5 -29 由克拉默法则，得 =1，=2=3号=-1： D D 5600 15601600 (2)D 1560按c1展开 0156 5156-156 1015 015 0015 1560 015 1600 156=114, 015 于是D=325-114=211: 11600 D1= 0560按1展开 560600 0156 15 60 015156 1015 65-216=-151： 5100 1060按c展开 11601500 D2= 056+ 0056 160 0115 015056 =-19+180=161:
习题解答 25 |5610 1500按c展开 11501560 D3= 016-150 0106 1005016 0015 =5-114=-109 15601 1156560 D.=}560开-01+i96 0150 001015 0011 )-1+65=64 由克拉默法则，得 =鼎号-骆号=”号0 11.问入，4取何值时，齐次线性方程组 [λx1+x2+x3=0, x1+z2+x=0, (x1+2x2+x3=0 有非零解？ 解由定理5，此时方程组的系数行列式必须为0. 1x11 1x11 因 D=141 -141=-(a-1, 12μ1 1040 故只有当：=0或入=1时，方程组才可能有非零解 ·当4=0，原方程组成为 ∫x1+x2+x=0, x1+x3=0, 显然x1=1,x2=1-入，x3=-1是它的一个非零解； 当入=1，原方程组成为 x1+x2+x=0, x1+x2+x3=0, x1+2z2+x3=0, 显然，x1=-1,x2=0,x1=1是它的一个非零解 因此，当4=0或入=1时，方程组有非零解. 注定理5（或定理5）仅表明齐次线性方程组要有非零解，它的系数行列