释最解难 31 章所述矩阵的概念及其运算都是最基本的，应切实掌握.矩阵的线性运算（即矩 阵的加法和数乘)是容易掌握的，需要重点关注的是矩阵乘法和逆阵的概念.矩 阵乘法除需熟练掌握外，还需理懈它不满足交换律及消去律，明了由此特性带来 的不同于实数乘法的运算规则.要理解逆矩阵的概念，熟悉矩阵可逆的条件，知 道伴随矩阵的性质及利用伴随矩阵求逆矩阵的公式.知道分块矩阵的概念，着重 了解按列分块矩阵和按行分块矩阵的运算规则，对于利用分块法简化矩阵运算 的技巧，不必追求 释疑解难 问21矩阵运算与我们熟悉的实数运算的本质区别是什么？ 答两者的一些本质区别在于： (1)实数乘法是可交换的，而矩阵乘法是不满足交换律的，这表现在：若矩 阵A与B可乘，但B与A未必可乘；A×B。x.为m阶矩阵，BxA为n阶 矩阵，当n≠n时AB≠BA;即使A,B均为n阶方阵，AB也未必等于BA.例 如 取A-60)B-(}8则 A8=0,面A-仆二》 (2.1) 正缘于此，矩阵的乘法就有B左乘A(即BA)与B右乘A(即AB)之分. (2)由(2.1)式可知，即使A≠0，B≠0，但它们的乘积AB也仍可能是零 矩阵.这种情况在实数运算中是不可能发生的.因为若有ab=0,a,b∈R,则a, b中至少有一个数是零. (3)在实数运算中，若有方程ax=0且a≠0，则它必有惟一解x=0:等价 地，若有方程ax=ay且a≠0，则有x=y,即a可从方程两边消去，这种运算规 律称为消去律.(2.1)式表明，若矩阵A,X满足AX=0,且A≠0，并不能得出 X=0:等价地，若有矩阵方程AX=AY,且A≠0，并不能把A从方程两边消 去，得出X=Y.进一步，按克拉默法则，若A为方阵且|A|≠0，则由AX=0, 可得出X=0,这表明矩阵乘法消去律成立的条件与实数乘法也不一样.教材在 第三章中给出了（当A不一定是方阵时）由AX=0可推出X=0的充要条件 是A为列满秩矩阵. 问2.2设A是n阶矩阵(n≥2)，下列等式是否正确？为什么？ (1)1kA|=|k1AI;(2)(kA)'=kA(≠0)
32 第二章矩库及其运算 答(1)不正确.由方阵的行列式的性质知道|kA|=k"|A| (2)不正确.因由伴随矩阵的定义 (kA)“的(j,i)元=矩阵A中(i,j)元的代数余子式 hal.a1-1 =(-1) ka,-.b如-w-1ka-l1.a1-. a+1lha1-1ka+1+1.ka1+1. .kb如-1 =k"-1Ag, 所以 (kA)'=k-1A· 问2.3A的伴随矩阵A·有些什么重要的性质？ 答(1)基本性质A"A=AA·=|A|E; (2②)当a0时，有A☆A,4)A: (3)|A·|=|A-1(这里n是方阵A的阶数，见习题25)： (4)(A)T=(AT),(A)1=(A) 问2.4称一个行列式不等于零的方阵为非奇异矩阵有什么缘由？非奇异 矩阵有什么重要意义？ 答奇异一词由英语singular译来，意为异常的，独一无二的.如果我们定 义实数a是可逆的：存在实数b,使ab(=ba)=1,那么，所有非零数a均可逆， 且其逆为其倒数：a'=二0是独一无二的不可逆的实数，因而它就显得奇异 a 另一方面，方阵A可逆的充要条件是detA≠0.与实数的情形对照起来，行列式 等于零的矩阵也就显得奇异 非奇异矩阵或可逆矩阵是线性代数中最重要和最基本的概念之一，在问3.7 中有关于可逆矩阵性质的概括，这里把它与实数的情形作一比较，以加深对它的 理解： 实数集合R n阶矩阵集合M 元素a可逆台存在b,使ab=ba=1 元素A可逆存在B,使AB=BA=E 台a≠0 →detA≠0 -存在b,使ab=1 一存在B,使AB=E 如果把实数1称为R中乘法的“单位元素”，把单位炬阵E称为M,中乘法的“单
释疑解难 33 位元素”，并把两者对应起来；同时把R中非奇异元素a≠0对应于M,中非奇异 元素A:detA≠0，则从运算角度抽象地看，二者是没有什么差别的，（这里M.表 示n阶方阵全体) 正如实数方程ax=b,当a0时有解x=a'b=。一样，非奇异矩阵的一 个最直接的应用就是求解矩阵方程AX=B,当A为非奇异矩阵时，它有解X= A'B,另一方面，也应看到矩阵是一个数表，远比一个数复杂，所以当A为奇异 矩阵时，甚至A不是方阵时，仍可讨论方程AX=B的解（见第三章）. 问2.5矩阵与行列式有什么区别与联系？ 答矩阵的记号（数表外加括号）与行列式记号（数表外加两竖线很相像， 但它们是两个截然不同的概念，不要混滑，更不要随意混用.矩阵是一个数表，而 行列式则是一个数.另一方面，方阵与它的行列式又是紧密相关的.方阵确定了 它的行列式：而行列式又是方阵特性的重要标志.如问2.4所述，根据行列式是 否为0，把方阵划分为奇异与非奇异两类，这样的分类具有基本而深刻的意义 第三章中将要把方阵的行列式这一概念推广为矩阵的k阶子式的概念，用以揭 示出矩阵更深刻的特性。 问2.6矩阵多项式有什么意义？ 答(1)设有x的m次多项式 p(x)=amx"+.+a1x+ao, 当文字x用n阶矩阵A替代时，就成为矩阵多项式 p(A）=anA"+.+a1A+aoE, (注意常数项ao被替代成aE.)它满足： (i)p(A)也是n阶矩阵； ()设p(A)和(A)为矩阵A的两个多项式，那么尽管矩阵乘法不满足 交换律，但p(A)与(A)总是可交换的，即 p(A)(A)=(A)p(A), 从而熟知的普通多项式的乘法规则和因式分解规则，对于矩阵多项式也成立，如 (A+E)”=E+ZCA (2)就像实数多项式是最重要、最基本的函数之一那样，矩阵多项式也是线 性代数的重要而基本的内容，教材中仅介绍了矩阵多项式的一种特殊的计算法， (i)若A=diag(2.,.),则p(A)=diag(p(d),.,p(n): (i)若A=PBP-,则p(A)=Pp(B)P- 第五章中将讨论如何求对角阵A和可逆阵P,使A=PAP,从而求得
34 第二章矩库及其运算 (A)=Po(A)P-. 例题剖析与增补 例4求矩阵 (410 103-1与B= -113 A= 2102/升 201 (134 的乘积AB. 析这是利用矩阵乘法定义的基本计算题.矩阵乘法比数的乘法要复杂，也 许要问，为什么要这样来定义矩阵乘法.教材已用线性变换等例子作了说明.这 里再举一个例子.如教材例1，设矩阵A为某公司向三个商店发送四种产品的 数量表 空调 冰箱29彩电25彩电 甲商店30 20 50 201 A=乙商店0 7 10 0 丙商店50 、40 50 50J 矩阵B是这四种产品的售价（单位：百元）及重量（单位：千克）的数表 售价·重量· 空调30.40 冰箱16 30 B 29彩电22 30 25彩电18,20 则该公司向每个商店发送产品的总售价及总重量，用矩阵（数表）表示恰好是 AB,即 售价 重量 甲商店2680 .3700 AB=乙商店332 510 丙商店41405700 例5求矩阵A= 析本例的意义已超出单纯的计算，而是表明：(1)矩阵乘法不满足交换 律：(2)实数乘法的消去律不能简单套用于矩阵乘法，即(i)若AB=O,且A才
例题制析与增补 名 0,不能推出B=O:()若A(X-Y)=0,且A≠0，不能推出X=Y(详见问 2.1). 例8设列矩阵X=(x1,x2,.,x,)T满足XTX=1,E是n阶单位矩阵， H=E-2XxT,证明H是对称阵，且HHT=E 析(1)当X为n×1的列矩阵时，XxT为n阶方阵，而XTX是一阶方 阵，也就是一个数， (2)因为矩阵XX与E可交换，所以 (E-2XX)2=E-4XXT+4(XX)2, 又因矩阵乘法满足结合律，所以 (XXT)=(XXT)(XX)=x(XTx)XT=XIXT=XXT, 易证H是对称阵，于是得HHT=H=E. 例9证明AA·=A·A=|A|E. 析·这是方阵A的伴随矩阵A”的基本而重要的性质，应当作为公式熟练 掌握(A·的性质可参见问2.3). 倒10家二阶矩陈A-(任)的遮休。 析当ad-bc≠0时， /a b c dl 此式应当作为公式熟练应用. 123] 例11求方阵A=221的逆阵 343 析本例是求三阶矩阵的逆阵，利用公式A'一A”'来计纯时，计算量 1 较大，较容易出错.本例给出一个“标准程序”，值得仿效.注意它是计算M;,而 不直接算A,这有助于减少出错 例12设 123) 13 4=221,B=(,c=20 53P (343 31 求矩阵X,使其满足 AXB=C. 析本例是求解矩阵方程，其解为X=A·CB1.注意这里不能写成X=