6 第一章行列式 n(n-1).21 由此计算出这个排列的逆序数为 4=0+1++(a-0=02 例7计算 131-1 2 5 3-4 D 2 01-1 1-53-3 析教材分别在§5及§6两节中，利用行列式性质（包括按行（列）展开性 质)计算此行列式D的值.§5中，把D化成上三角形行列式.§6中，把D按行 (或列)展开，因第三行元素的数值较简单，故按第三行展开，为减少展开式中非 零项的项数，先利用行列式性质，把第三行除元素4之外全化成0，使展开式中 只有一项.这两种方法是行列式计算的基本方法，要熟练掌握 例8计算 3111 1311 D= 1131 1113 析.本例中D属于一类重要的行列式，在后继内容中会多次遇到此类行列 式，其特点是对角元相同，并且非对角元也相同.它的一般形式为教材习题8(2)， 可以用多种方法计算其值，但最基本也最方便的方法就是本例介绍的，即利用各 列（行）元素之和相等，把各行（列）同时加到第1行（列） 例10设 a. 0 D= a1. a D=det(a)= cb,.b b D2=det(b)= b.1.bm 证明D=DD, 析学习本例，应侧重于它的结果，以后常要用到此结果.用第二章矩阵的
例题制桥与增补 语言来叙述，此结果是 |A,0 =1A,. B A2 例11计算2n阶行列式 D2.= 2n 其中未写出的元素为0 析此例的目的是介绍递推法.递推法是行列式，尤其是高阶行列式计算中 常用的、有效的方法.应用递推法的实质是数学归纳法，因此建立了递推公式 D2.=(ad-bc)Dx-,之后应注意要验证归纳的基础，例如n=1或n=2时命 题成立 例l2证明范德蒙德(Vandermonde)行列式 11 x2.xn D.= （ x x1.x 其中记号“”表示全体同类因子的乘积. 析(1)应注意教材中把D,降阶的技巧：从第n行开始，后行减前行的x 倍.如果进行相反方向的运算，即从第2行开始，后行减前行的若干倍，则无法得 到关于D.的递推公式。 (2)范德蒙德行列式看做n个变元x1,x2,·,x。的函数，有三个特点： ()从列的角度看，第j列元素从上到下依次为变元x的零次釋、一次幂、 .、(n-1)次幂，j=1,2,.,n: (i)从行的角度看，第i行(i,k)元是变元x的(i-1)次幂，k=1,2,., n,i=1,2,.,n; ()从结果看，范德蒙德行列式是以所有可能的足标大的变元与足标小的 变元之差作为因子的乘积
第一章行列式 例13设 3-521 D= 11 0 -5 -1 31 3 2-4-1 3 D的(i,j)元的余子式和代数余子式依次记作M,和A,求 Au+An+A+AMu+Ma+M3+Ma. 析本例的目的是熟悉代数余子式（或余子式）的性质以及行列式的按行 (或按列)展开.以求c=A1+A2+A,十Au为例 (1)如果直接用代数余子式定义，那么要计算4个三阶行列式，显然计算量 比较大。 (2)代数余子式A,的特点是它与D的(i,j)元的数值无关.因此，与其说D 的(i,j)元ag对应着Ag,倒不如说D的(i,j)元所在的位置(i,j)对应着Ag.由 此可知，和式g与D的第1行元素无关.令 11 1 1 1 1 0-5 D1= 1 3 1 2-4-1 3 则D,与D的第一行元素的代数余子式是相同的，即A也是D,的(1，j)元的 代数余子式，从而和式。恰好是D,按第1行的展开式，于是 =An+Anz+An+Au=D 同理，因M1+M21+M1+M1=A1-A21+A1-A1,此和式与D的第 1列元素无关. 例1.1由行列式定义，计算 |2xx1 2 1 x 1 -1 f(x)= 32 x 111 中x与x3的系数， 解由行列式定义，f(x)是所给行列式中所有取自不同行、不同列的元素 之积的代数和，记为D,它是关于x的4次多项式.因行列式中每个元素至多是 x的一次多项式，于是 c是D中的x项 台。含有4个取自不同行、不同列的x的一次多项式的元素：
例慝制析与增补 9 台c是D的(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)元之积； 台a=2x(容易知道该项的符号为正)： g是D中的x3项 台。含有3个取自不同行、不同列的x的一次多项式的元素，而余下一行、 一列的元素（已惟一确定）是常数： 台g是D的(1,2)，(2,1)，(3,3)，(4,4)元之积： 曰。=-x3（容易知道该项的符号为负) 例1.2计算五阶行列式 |12345 23451 D=34512 45123 51234 解一利用各行的元素之和相同的特点，把除第1列以外的各列加到第1 列，得 |152345 |12345 153451 13451 D=154512=1514512 155123 15123 151234 111234 1 23 4 5 r⅓-r4 0 1 11-4 r-150 1 r1-r, 1-41 0 1 -4 11 10 -4 1 1 1 1 1 1 -4 按第1列展开 1 -4 15 1 -4 1 -4 1 1 对上式最后一个行列式作变换：把各行加到第1行并提取第1行的公因子-1， 1 111 1 111 D=-15 1-41 00-5 -15 0 1 0 -5 0 0 1 r4-r 0 0 0
10 第一章行列式 00-5 按第4列腰开 150-50=1875 -500 解二从D的最后一行开始，后行减去前行，得 123 4 5 11 123 4 1 1 1 1 -4 1 0 00-5 C-cI D=111-4 1 0 =2,3,4,5 10 -50 11-41 1 0-5 0 0 1-4111 1 -5 0 00 1a1234 0 -5 按第1列展开 5 -5 5 =5 0-5 =a×(-5)°， 其中a=1+1+2+3+4=3,所以D=1875. 例1.3计算n阶行列式 a11.1 D= 1a40,其中a1a2a,0. 0. 1 a 解一通过把D的第1行中除(1,1)元a1外其他元素均变成为零，化D 为下三角形行列式，具体如下： a2 0 D a3 =ba2ag.an【选 ri-a an 其中，6=a品-.-于是，D=aa,- 解二把D按第1行展开，由代数余子式 [注】在行列式的计算中，我们常用”“表示那里可能有一些非零元素，但对行列式的值没有影响： 用0表示那里的元素都是零