第一章 行列式 基本要求 1.会用对角线法则计算二阶和三阶行列式 2.知道n阶行列式的定义及性质 3.知道代数余子式的定义及性质 4.会利用行列式的性质及按行（列）展开计算简单的n阶行列式 5.知道克拉歌法则， 内容提要 1.行列式的定义 n阶行列式 anan . D= anan = ∑（-1)'a1n,a2p2.am.: P,P,P |ata2. 其中p1p2.p,为自然数1,2，.，n的一个排列，t为这个排列的逆序数，求和符 号∑是对所有排列p,p2.力.求和 n阶行列式D中所含n2个数叫做D的元素，位于第i行第j列的元素a 叫做D的(i,j)元 二阶和三阶行列式的计算适用对角线法则 2.行列式的性质 (1)行列式D与它的转置行列式DT相等 (2)互换行列式的两行（列），行列式变号。 (3)行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一数k,等于用数k乘此行
2 第一章行列式 列式：或者，行列式的某一行（列）的各元素有公因子k,则k可提到行列式记号 之外 (4)行列式中如果有两行（列）元素完全相同或成比例，则此行列式为零. (5)若行列式的某一列（行）中各元素均为两项之和，则此行列式等于两个 行列式之和」 例如 第j列 an a2.(ay+ai).an an(ay+a) a2.(aw+a）. 第j列 第j列 aa2. an an a2 . 1 an + ala2. a则. awla2. 如果这样，就形象地称为行列式按第列拆成两个行列式 (6)把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）的对 应元素上去，行列式的值不变. 3.行列式的按行（按列）展开 (1)把n阶行列式中(i,j)元a,所在的第i行和第j列划去后所成的n-1 阶行列式称为(i,j)元am的余子式，记作M:记A=(-1)Mm,称A为 (i,j)元a的代数余子式. (2)n阶行列式等于它的任意一行（列）的各元素与对应的代数余子式的乘 积的和.即可以按第i行展开： D=aAa+aaA2+.+a.Am（i=1,2,.,n): 或者按第j列展开： D=aAy+a2yA2y+.+aAw（j=1,2,.,n）. (3)行列式中任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘 积之和等于零.即 a1A1+a2Az+.+AnAn=0,i≠j, 和 a1Ay+a2,A2y+.+AnAm=0,i≠j 4.一些常用的行列式 (1)上、下三角形行列式等于主对角线上的元素的乘积.即
内容提要 a a a2 (未标明的元素均为零，下同). 特别，对角行列式等于对角线元素的乘积，即 =，2.入n a1.a1 b.b1n (2)设D,=: :,D2=: a.ae b.ba an "au 0 则 a1a =D1D2, .c1b1n.b1 clctb.b 5.克拉歌法则 含有n个未知元x1,x2,x,的n个线性方程的方程组 auanz++ait=b1, an+a++az=b2, a+at2++am=b 当b,b2,.,bn全为零时，称为齐次线性方程组；否则，称为非齐次线性方程组 ()如果上列方程组的系数行列式D0,那么它有能一解：，一号(：=1。 2,.,n),其中D,(i=1,2,.,n)是把D中第i列元素用方程组的右端的自由 项替代后所得到的”阶行列式： (2)如果上列方程组无解或有两个不同的解，那么它的系数行列式D=0: (3)如果齐次线性方程组的系数行列式D≠0，那么它只有零解：如果齐次 线性方程组有非零解，那么它的系数行列式必定等于零
4 第一章行列式 学习要点 本章的重点是行列式的计算，对于n阶行列式的定义只需了解其大概的意 思，对于行列式各条性质的证明只需了解其基本思路.要注重学会利用这些性质 及按行（列）展开等基本方法来简化行列式的计算，并掌握两行（列）交换、某行 (列)乘数、某行（列）加上另一行（列）的k倍这三类运算.按照“会计算简单的” 阶行列式”这一基本要求，对于计算行列式的技巧毋需作过多的探求 释疑解难 问1.1行列式与行列式的值有什么区别？ 首这是-个彩式”与内备”的同恩以二臀行列式为别式子亿叫 做二阶行列式，它表示一个数 xv-yu, 这个数叫做二阶行列式的值，并记作 八x=ww u 注意上式中的等号是“记作”的意思，但由于等号通常理解为两边的数相等，因此 上式左边的行列式记号也就表示行列式的值.两个行列式相等是指它们的值 相等。 由于行列式记号既表示行列式，又表示它的值，因此教材中没有明确提出 “行列式的值”这一名称，把“行列式的值”也叫做“行列式” 问1.2如何理解行列式的定义？ 答n阶行列式D=det(ag)的定义 D=2(-1)'aa2n2.a.· 其中t是排列p1p2·p。的逆序数.此定义中应注意两点： (1)和式记号∑是对集合P=1p1p2.力.|p,p2.p是1,2，.，n的排列1作 和，因n个不同元素的排列数是nI,于是该和式共有n!项； (2)和式中的任一项。是取自D中坏同行、不同列的元素之积.由排列知识 知，D中这样不同行、不同列的n个元素之积共有n！个
例题制析与增补 (3)和式中任一项。都带有符号(-1)'，t是列标排列p1p2.力.的逆序 数，即根据此排列的逆序数为偶数或奇数，。依次取“+”或“-”.根据排列的性 质，和式中各有项取“+”和取“一” 由上所述可知，”阶行列式D恰好是它的不同行、不同列的n个元素之积 的代数和，是一个“积和式”，其中一半带有正号，一半带有负号. 问1.3(1)余子式与代数余子式有什么特点？(2)它们之间有什么联系？ 答(1)对于给定的n阶行列式D=det(ag),(i,j)元a,的余子式M和 代数余子式A,仅与位置(i,j)有关，而与D的(i,j)元的数值无关 (2)它们间的联系是A=（-1)+M,.,因而当i+j为偶数时，二者相同； 当+j为奇数时，二者符号相反.它们间的关系也可用图示为 + + 其中，符号“+”表示对应位置上A=M;符号“-”表示对应位置上A= 一M。·上图的规律可简单地归结为：对角线上为正，正的“邻居”为负，负的“邻 居”为正. 例题剖析与增朴 例5证明n阶行列式 =-1)Ψ2.X, 其中未写出的元素都是0. 析本例根据行列式的定义来证明.在n阶行列式的定义中，元素4不仅 代表一个数，还表明这个数在行列式中的位置，本例中的数入：不能显示它在行 列式中的位置.因此需要按入，在行列式中的位置，把入，改记作a,-1,从而得 到乘积入入2.入，中各元素的列标排列为