会=0+w户，亭=0+py0+o+0+o 解法2因为2=e+,故 12 年-e10+m+=+wy++0+r 注多元函数对某个自变量求偏导数的基本方法是将其余的自变量视为常数，用一元 函数的求导公式与法则来求导即可. 例10设f任功=2到，求，孕： cos(x+y) 解法1先求偏导函数∫3，再求∫（π，）.由于 2sm(-2y)co)+co()n cos(x+y川 故，π，)=-2反 解法2利用偏导数(x,)即为一元函数fx)在处的导数，f(化%)为 -2，功-22p+e2yny fx,%)在x,处的导数.由于 cos(π+y)cosy (cosy) 故（π，）=-22. (2)=x 解(1)产 侣 1 -2y 等·需{小品 （2)=m, 容-b,装0- 需如小+
2 1 (1 ) z y y xy x − = + ， 1 (1 ) ln(1 ) (1 ) z y y xy xy xy xy y − = + + + + ． 解法 2 因为 y xy ln(1 ) z e + = ，故 2 ln(1 ) 2 1 (1 ) 1 z y y xy y e y xy x xy + − = = + + ， ln(1 ) 1 [ln(1 ) ] (1 ) ln(1 ) (1 ) 1 z xy y xy y y e xy xy xy xy xy y xy + − = + + = + + + + + ． 注 多元函数对某个自变量求偏导数的基本方法是将其余的自变量视为常数， 用一元 函数的求导公式与法则来求导即可． 例 10 设 cos( 2 ) ( , ) cos( ) x y f x y x y − = + ，求 ( , ) 4 y f ． 解法 1 先求偏导函数 ( , ) y f x y ，再求 ( , ) 4 y f ．由于 2 2sin( 2 )cos( ) cos( 2 )sin( ) ( , ) [cos( )] y x y x y x y x y f x y x y − + + − + = + 故 ( , ) 2 2 4 y f = − ． 解法 2 利用偏导数 0 0 ( , ) y f x y 即为一元函数 0 f x y ( , ) 在 0 y 处的导数， 0 0 ( , ) x f x y 为 0 f x y ( , ) 在 0 x 处的导数．由于 cos( 2 ) cos2 ( , ) cos( ) cos y y f y y y − = = + ， 2 2sin 2 cos cos2 sin ( , ) (cos ) y y y y y f y y − + = ， 故 ( , ) 2 2 4 y f = − ． 例 11 求下列函数的二阶偏导数 2 2 z x ， 2 2 z y ， 2 z x y ： （1） arctan x y z x y + = − ； （2） y z x = ． 解 （1） 2 2 2 2 1 2 ( ) 1 z y y x x y x y x y x y − = = − − + + + − ， 2 2 2 2 1 2 ( ) 1 z x x y x y x y x y x y = = − + + + − ， 2 2 2 2 2 2 ( ) z xy x x y = + ， 2 2 2 2 2 2 ( ) z xy y x y = − + ， 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) z y y x x y y x y x y − = − = + + ． （2） z y 1 yx x − = ， ln z y x x y = ， 2 2 2 ( 1) z y y y x x − = − ， 2 2 2 ln z y x x y = ， ( ) 2 1 1 1 ln z y y y yx x yx x x y y − − − = = + ．
o x2+y2=0 解当x2+y2=0时， fa0)=画f0f0.0=m9=0: Ar 当x2+y2≠0时， 功号+2+2边，4 x2-y2 x2+v22 x+ 所以 4,+0 (x,y)= (x+ 0. x+1y2=0 同理 0 +2=0 于是 人a0=g900=-是- 人00=色00-0-1 Ar 注二元函数的二阶混合偏导数在连续的条件下与求导次序无关，但混合偏导数不连 续时，二阶混合偏导数与求导次序有关。 例13设：=(x,)= sin ,x2+y2≠0 试讨论 0, x2+y2=0 (1)函数fx,)在(0,0)处是否连续？ (2)偏导数(x,y,了(x,)在(0,0)处是否连续 (3)fx,)在(0,0)处是否可微？ 解(1)因为 心功=+F方细方0(=f+. 即im。fx,)=f0,0),所以函数fx,)在(0,0)点处连续 (2)当(x)≠(0,0)时
例 12 设 2 2 2 2 2 2 2 2 , 0 ( , ) 0, 0 x y xy x y f x y x y x y − + = + + = ，求 (0,0), (0,0) xy yx f f ． 解 当 2 2 x y + = 0 时， 0 0 ( ,0) (0,0) 0 0 (0,0) lim lim 0 x x x f x f f → → x x − − = = = ； 当 2 2 x y + 0 时， 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 ( ) 4 ( , ) ( ) ( ) x x y x x y x x y x x y y f x y y xy y x y x y x y − + − − + − = + = + + + ． 所以 4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 4 , 0 ( , ) ( ) 0, 0 x x x y y y x y f x y x y x y + − + = + + = ； 同理 4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 4 , 0 ( , ) ( ) 0, 0 y x x y y x x y f x y x y x y − − + = + + = ； 于是 0 0 (0, ) (0,0) (0,0) lim lim 1 x x xy y y f y f y f → → y y − − = = = − ， 0 0 ( ,0) (0,0) (0,0) lim lim 1 y y yx x x f x f x f → → x x − = = = ． 注 二元函数的二阶混合偏导数在连续的条件下与求导次序无关，但混合偏导数不连 续时，二阶混合偏导数与求导次序有关． 例 13 设 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ( )sin , 0 ( , ) 0, 0 x y x y z f x y x y x y + + = = + + = ，试讨论： （1）函数 f x y ( , ) 在 (0,0) 处是否连续？ （2）偏导数 ( , ), ( , ) x y f x y f x y 在 (0,0) 处是否连续？ （3） f x y ( , ) 在 (0,0) 处是否可微？ 解 （1）因为 2 2 2 2 ( , ) (0,0) ( , ) (0,0) 0 2 2 1 1 lim ( , ) lim ( )sin lim sin 0 ( ) x y x y u f x y x y u u x y x y u → → → = + = = = + + 令 ， 即 ( , ) (0,0) lim ( , ) (0,0) x y f x y f → = ，所以函数 f x y ( , ) 在 (0,0) 点处连续． （2）当 ( , ) (0,0) x y 时
1 1列=2F+行F+FF+7 当(x,)=(0,0)时， 1 a旷s- f(0,0)=lim Ar =Arsm=0 所以了()= 2m疗+0 0 x2+y2=0 因为 w功=2F+7F+FoF+ 不存在，所以x,)在(0,0)处不连续 同理可求 2ysin (x,)= +行F*厅o疗+y0 0. x2+y2=0 所以(x,y)在(0,0)处不连续 (3)因为 a-s-U00x+00 Ar)+(4v) [(△x'+(4y]sin 00 +4-0 (Ar)+(v) -A旷)+(4可sn a+40, 由全微分定义知fx)在(0.0)处可微，且d0,0)=0. 注例13说明了二元函数在一点的偏导数连续只是函数在该点可微的充分条件而非必 要条件。 例14证明：函数fx,)=√可在点(0,0)处连续，偏导数存在，但不可微. 证明显然fx)在点(0,0)是连续的，由偏导数定义
2 2 2 2 2 2 1 1 ( , ) 2 sin cos x x f x y x x y x y x y = − + + + ； 当 ( , ) (0,0) x y = 时， ( ) 2 2 0 0 1 sin 0 ( ) 1 (0,0) lim lim sin 0 x x x x x f x → → x x − = = = ． 所以 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 sin cos , 0 ( , ) 0, 0 x x x x y f x y x y x y x y x y − + = + + + + = ． 因为 ( , ) (0,0) ( , ) (0,0) 2 2 2 2 2 2 1 1 lim ( , ) lim 2 sin cos x x y x y x f x y x x y x y x y → → = − + + + 不存在，所以 ( , ) x f x y 在 (0,0) 处不连续． 同理可求 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 sin cos , 0 ( , ) 0, 0 y y y x y f x y x y x y x y x y − + = + + + + = ， 所以 ( , ) y f x y 在 (0,0) 处不连续． （3）因为 ( ) ( ) ( , ) (0,0) 2 2 [ (0,0) (0,0) ] lim x y x y z f x f y x y → − + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 ( , ) (0,0) 2 2 1 [ ]sin 0 lim x y x y x y x y → + − + = + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 ( , ) (0,0) 2 2 1 lim sin 0 x y x y x y → = + = + ， 由全微分定义知 f x y ( , ) 在 (0,0) 处可微，且 df (0,0) 0 = ． 注 例 13 说明了二元函数在一点的偏导数连续只是函数在该点可微的充分条件而非必 要条件． 例 14 证明：函数 f x y xy ( , ) = 在点 (0,0) 处连续，偏导数存在，但不可微． 证明 显然 f x y ( , ) 在点 (0,0) 是连续的，由偏导数定义
00==0+0/00-=2-0, 同理，0,0)=0 令1=上-L/0,0Ar+00ay.Axa AxA可 llAxl 婴++xA“+友 则当p→0时，1不存在极限，所以x)在点(0,0)处不可微. 注1若函数：=x,)在点（化，%）处的偏导数存在，则fx)在点（低，%）处可微的 等价定义是 g-+0. p 其中 =f+Ax,+A)-fp=VA2+Ay 通常可用验证上式是否成立来判断函数的可微性. 注2二元函数在一点的偏导数存在只是函数在该点可微的必要条件，这是二元函数与 一元函数的重要区别之一， 例15(02研)考虑二元函数x,)的下面4条性质： ①任，)在点（化，%）处连续：②x,)在点（优，为）处的两个偏导数连续： ③fx,)在点（伍，）处可微：④x,)在点(x%)处的两个偏导数存在。 若用“P→Q”表示可由性质P推出性质Q,则有() A②→③→① B③→②→① C③→④→0 D③→①→0 解选A,因为两个偏导数连续→可微→连续 注在可微的假定下，函数连续、偏导存在都是必要条件.若偏导数连续，则可保证可 微，它是可微的充分条件.二元函数可微、偏导数、方向导数、连续、极限各概念之间的关 系请参阅本章内容提要。 例16设：=+学，求会，导 解法1根据多元函数求导法则，直接求偏导数 会2告，心+rm4]-2立，学
0 0 (0 ,0) (0,0) 0 0 (0,0) lim lim 0 x x x f x f f → → x x + − − = = = ， 同理， (0,0) 0 y f = ． 令 2 2 [ (0,0) (0,0) ] ( ) ( ) x y z f x f y x y I x y − + = = + ，因 2 2 2 2 2 2 0 0 lim lim ( ) ( ) (1 )( ) 1 y k x x x x y k x k x y k x k = → → = = + + + ， 则当 →0 时， I 不存在极限，所以 f x y ( , ) 在点 (0,0) 处不可微． 注 1 若函数 z f x y = ( , ) 在点 0 0 ( , ) x y 处的偏导数存在，则 f x y ( , ) 在点 0 0 ( , ) x y 处可微的 等价定义是 0 0 0 0 0 [ ( , ) ( , ) ] lim 0 x y z f x y x f x y y → − + = ， 其中 2 2 0 0 0 0 = + + − = + z f x x y y f x y x y ( , ) ( , ), ． 通常可用验证上式是否成立来判断函数的可微性． 注 2 二元函数在一点的偏导数存在只是函数在该点可微的必要条件，这是二元函数与 一元函数的重要区别之一． 例 15（02 研）考虑二元函数 f x y ( , ) 的下面 4 条性质： ① f x y ( , ) 在点 0 0 ( , ) x y 处连续； ② f x y ( , ) 在点 0 0 ( , ) x y 处的两个偏导数连续； ③ f x y ( , ) 在点 0 0 ( , ) x y 处可微； ④ f x y ( , ) 在点 0 0 ( , ) x y 处的两个偏导数存在． 若用“ P Q ”表示可由性质 P 推出性质 Q ，则有（ ） A ② ③ ① B ③ ② ① C ③ ④ ① D ③ ① ④ 解 选 A．因为两个偏导数连续 可微 连续． 注 在可微的假定下，函数连续、偏导存在都是必要条件．若偏导数连续，则可保证可 微，它是可微的充分条件．二元函数可微、偏导数、方向导数、连续、极限各概念之间的关 系请参阅本章内容提要． 例 16 设 2 2 2 2 ( ) x y xy z x y e + = + ，求 z x ， z y ． 解法 1 根据多元函数求导法则，直接求偏导数 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 3 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 2 ( ) x y x y x y xy xy xy z x xy x y y x y x y xe x y e e x x y x y + + + − + − + = + + =
类似地可求广-+2兴 解法2利用全微分形式的不变性，求出全微分后可同时得到两个偏导数.因为 等e3e等） :x号ah+4+e号+）-+型 ( =e(2位k+42n x'y 微会立，房如兰 x'y 注利用全微分形式不变性求多元复合函数的偏导数的方法不但在许多场合显得简捷 方便，更重要的是在这个过程中不必区分自变量与中间变量，因而不易出错. 例7设：=个y其中了有=路偏号数，求器 解令=护，=士，则：=u),可知∫的函数复合关系图如下 f,r 由链式求导法则可得 会影装盘2r 需-引-5小-4或+2w0-n 注意到，仍是以，v为中间变量的复合函数，其函数复合关系图与∫的函数复合关系图 类似，故 U0=0+/r8=2x+, 号0=号+等=2m+, 所以 *2wr+小宁r-xx+
类似地可求 2 2 4 4 3 2 2 x y xy z y x xy e y xy + − + = ． 解法 2 利用全微分形式的不变性，求出全微分后可同时得到两个偏导数．因为 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) x y x y xy xy dz e d x y x y d e + + = + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 (2 2 ) ( ) x y x y xy xy x y e xdx ydy x y e d xy + + + = + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) x y x y xy xy xyd x y x y d xy e xdx ydy x y e xy + + + − + = + + + 2 2 4 4 3 4 4 3 2 2 2 2 x y xy x y x y y x xy e dx dy x y xy + − + − + = + ， 所以 2 2 4 4 3 2 2 x y xy z x y x y e x x y + − + = ， 2 2 4 4 3 2 2 x y xy z y x xy e y xy + − + = ． 注 利用全微分形式不变性求多元复合函数的偏导数的方法不但在许多场合显得简捷 方便，更重要的是在这个过程中不必区分自变量与中间变量，因而不易出错． 例 17 设 2 2 , y z f x y x = ，其中 f 有二阶偏导数，求 2 z x y ． 解 令 2 2 u x y = ， y v x = ，则 z f u v = ( , ) ，可知 f 的函数复合关系图如下 由链式求导法则可得 2 2 2 u v z f u f v y xy f f x u x v x x = + = − ， 2 2 2 2 2 2 1 2 4 2 ( ) ( ) u v u u v v z y y xy f f xyf xy f f f x y y x y x x y = − = + − − ． 注意到 , u v f f 仍是以 uv, 为中间变量的复合函数，其函数复合关系图与 f 的函数复合关系图 类似，故 2 1 ( ) 2 u uu uv uu uv u v f f f x yf f y y y x = + = + ， 2 1 ( ) 2 v vu vv vu vv u v f f f x yf f y y y x = + = + ， 所以 2 2 2 2 2 2 1 1 1 4 2 2 2 u uu uv v vu vv z y xyf xy x yf f f x yf f x y x x x x = + + − − + f u v x y , u v f f u v x y