§7.2正态总体均值与方差的假设检验 简介 对于正态总体,其参数无非是两个:均值(期望)和方差σ2,如果加上两总体的参数 比较,概括起来,对参数的假设一般只有如下四种情形: (i)对u,(i)对a2,(ⅲ)对1-2,(ⅳ)对a2/a2 检验的类别和方法 关于均值的检验{检验法(方差已知 r检验法(方差未知 关于方差的检验」x2检验法(一个正态总体) F检验法(两个正态总体) 下面我们将分别予以讨论。 正态总体均值的检验 (一)u检验 u检验适应在方差已知的情况下,对均值的检验(一个总体或两个总体)。 1.一个正态总体情形 设总体X~N(,2),样本(X1,X2,…,Xn)来自总体X,a2已知 提出假设 HI 2°取检验统计量:C≈X-p,在H成立的条件下,U=一~N(0,1) 3给定显著性水平a(0<a≤0,P2Ma=a 由0ua)=1-5,查表可得临界值2拒绝域:卩=(x1,2…xn):≥2 P(x)a 4°由样本值计算U的观察值u0 5°作判断:若o∈W,则拒绝H;否则,若uoEH,则接受Hl
§7. 2 正态总体均值与方差的假设检验 一、简介 对于正态总体，其参数无非是两个：均值(期望) µ 和方差 ，如果加上两总体的参数 比较，概括起来，对参数的假设一般只有如下四种情形： 2 σ （ⅰ）对 µ ，（ⅱ）对σ2 ，（ⅲ）对 µ1 − µ 2 ，（ⅳ）对 ． 2 2 2 1 σ /σ 检验的类别和方法： 关于均值的检验 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ( ) ( ) 检验法 方差未知 检验法 方差已知 t u 关于方差的检验 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ( ) ( ) 2 检验法 两个正态总体 检验法 一个正态总体 F χ 下面我们将分别予以讨论。 二、正态总体均值µ 的检验 (一) u 检验 u 检验适应在方差已知的情况下，对均值的检验（一个总体或两个总体）。 1. 一个正态总体情形 设总体 ~ ( , ) ，样本 来自总体 X， 已知. 2 X N µ σ ( , , , ) X1 X 2 " X n 2 σ 1° 提出假设: H0： µ = µ 0； H1： µ ≠ µ 0 2° 取检验统计量： n X U σ − µ 0 = ，在H0成立的条件下， ~ (0,1) 0 N n X U σ − µ = 3° 给定显著性水平 α (0 <α ≤ 0.05) ， α =α ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ 2 P U u 由 , 2 ( ) 1 2 α Φ uα = − 查表可得临界值 . 2 uα 拒绝域： {( , , , ): }. 2 1 2 α W x x x u u n = " ≥ 2 α y =ϕ(x) 2 α 2 −uα 2 uα O x y 4° 由样本值计算U的观察值 5° 作判断：若 H0；否则， . u0 u0 ∈W，则拒绝 若 u0 ∈W， 则接受H0
例74某工厂生产的铜丝的折断力(单位:N服从正态分布N{山83).某日抽取10根铜 丝,进行折断力试验,测得结果如下 578,572,570,568,572 570.572.596.584.570 若已知=576,问是否可以认为该日生产的铜丝合格(a=0.10)? 解1°假设:Ho:=576;H1:≠576 2°取检验统计量:U=X-576 8/0 在H成立的条件下,U= X-576 800 3°给定显著性水平a=010,P{p2u05}=010 由(0.05)=0.95查表可得临界值005=1645 拒绝域:W={(x1,x2,…xn):200=1645 4°由样本值计算U的观察值a0 这里n=10,算得x=5752,于是 5752-571610=0316<1645 5°作判断 因为a∈W,所以接受H,即在显著水平a=0.10下,可认为该日生产的铜丝合格。 例75微波炉在炉门关闭时的辐射量是一个重要的质量指标,某厂该指标服从正态分 布No3).长期以来σ=01,且均值都符合要求不超过0.2.为检查近期产品的质量,抽 查了25台,得其炉门关闭时辐射量的均值x=0.1203.试问在a=005水平下该厂炉门关闭 时辐射量是否升高了? 解1°假设 H≤0.12;H1:>0.12 此问题属于单侧假设检验问题.已知σ=0.1,n=25 2°取检验统计量:U /√25 在H成立的条件下,U*= N(0,1) 3°给定显著性水平a=005,P{U*≥0s/=0.0 由d(05)=0.95查表可得临界值400s=1645
例 7.4 某工厂生产的铜丝的折断力(单位:N)服从正态分布N(µ, 82 ). 某日抽取 10 根铜 丝, 若已 认为该日生产的铜丝合格(α=0.10)? 解 1° 假设: H0： 进行折断力试验, 测得结果如下: 578, 572, 570, 568, 572, 570, 572, 596, 584, 570 知µ=576, 问是否可以 µ = 576 ； H1： µ ≠ 576 8 10 − 576 = X 2° U 取检验统计量： ~ (0,1) 8 10 576 N X U − 在H0成立的条件下， = α = 0.10， { } 0.10 0.05 3° 给定显著性水平 P U ≥ u = 由 查表可得临界值 拒绝域： ( ) 0.95 0.05 Φ u = 1.645. 0.05 u = {( , , , ): 1.645}. 1 2 0.05 W = x x x u ≥ u = " n 4° 由样本值计算 0 u x = 575.2 U的观察值 这里 n=10, 算得 . ，于是 10 0.316 1.645. 8 575.2 576 0 ⋅ = < − u = 50 作判断 因为 u0 ∈ W， 所以接受H0，即在显著水平α=0.10 下，可认为该日生产的铜丝合格。 例 7.5 微波炉在炉门关闭时的辐射量是一个重要的质量指标，某厂该指标服从正态分 布N(µ, σ 2 ). 长期以来σ = 0.1，且均值都符合要求不超过 0.12. 为检查近期产品的质量，抽 查了 25 台，得其炉门关闭时辐射量的均值 x = 0.1203. 试问在α=0.05 水平下该厂炉门关闭 时辐射量是否升高了? 解 1° 假设: H0： µ ≤ 0.12； µ > 0.12 此问题属于单侧假设检验问题. 已知σ = 0.1, H1： n=25. 2° 取检验统计量： 0.1 25 − µ = ∗ X U ~ (0,1) 0.1 25 N X U − µ = 在H ∗ 0成立的条件下， α = 0.05， { ≥ 0.05 }= 0.05 ∗ 3° 给定显著性水平 P U u 由 0.05 Φ(u ) = 0.95 查表可得临界值 1.645. 0.05 u =
若H成立,则≤0.2,从而 X-0.12 U X一HzU 0.1/ 若U≥4005,则U*≥a0s·所以 事件{U205}事件{U*2005 P{U≥l005}≤P{*≥l005}=0.05 拒绝域:W={(x1,x2,…,xn):l≥005=1645} 4°由样本值计算U的观察值a0 这里n=25,x=0.1203,于是 x-0.120.1203-0.12 l/V230 √25=0.015<1.645 作判断 因为0∈W,所以接受H,即在显著水平a=05下,可认为当前生产的微波炉关门 时的辐射量无明显升高 2.两个正态总体情形 两个总体检验适应的问题的一般提法如下:设(X1,x2,…,Xn)为出自N(1,G2)的 样本,(x,2…,2)为出自N(2O2)的样本,,O2已知,两个总体的样本之间独立。 1°提出假设:I:1=2::1≠2 取检验统计量:U ox、 在H成立的条件下,U= ~N(0,1) 3°给定显著性水平a(0<a≤005,P{|2ng}=a 由oag)=1-2,查表可得临界值ag
若H0成立，则 µ ≤ 0.12，从而 0.1 25 0.12 0.1 25 − ≥ = − = ∗ X U X U µ 0.05 0.05 U ≥ u U ≥ u 若 ，则 ∗ . 所以 拒绝域： 4° 由样本值计算U的观察值 这里 n=25, { } { } 0.05 0.05 U ≥ u ⊆ U ≥ u 事件 事件 ∗ { } { } 0.05 0.05 0.05 ≥ ≤ ≥ = ∗ P U u P U u {( , , , ): 1.645}. 1 2 0.05 W = x x x u ≥ u = " n x = 0.1203 . 0 u ，于是 25 0.015 1.645 0.1 0.1203 0.12 0.1 25 0.12 0 × = < − = − = x u 50 作判断 因为 u0 ∈ W， 所以接受H0，即在显著水平α=0.05 下，可认为当前生产的微波炉关门 时的辐射量无明显升高. 两个总体 检验适应的问题的一般提法如下：设 为出自 的 样本， Y Y " Y 为出自 N µ 的样本， 2．两个正态总体情形 u ( , , ., ) 1 1 2 n X X " X ( , ) 2 N µ1 σ 1 ( , , ., ( , ) 2 σ 1 ,σ 2 ) 2 1 2 n 2 σ 2 1 2 µ = µ 1 2 µ ≠ µ 已知，两个总体的样本之间独立。 1° 提出假设: H0： ； H1： 2° 取检验统计量： 2 2 2 1 2 1 ( ) n n X Y U σ σ + − = ~ (0,1) ( ) 2 2 2 1 2 1 N n n X Y U σ σ + − 在H0成立的条件下， = 3° 给定显著性水平 α (0 <α ≤ 0.05) ， α =α ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ 2 P U u , 2 ( ) 1 2 α Φ uα = − 查表可得临界值 . 2 由 uα
拒绝域:W={(x1,x2…,xm1,y2,…,y 2):≥ua 4°由样本值计算U的观察值u0 5°作判断:若o∈W,则拒绝H;否则,若uo∈W,则接受H 例76一卷烟厂向化验室送去A,B两种烟草,化验尼古丁的含量是否相同,从A,B中 各随机抽取重量相同的五例进行化验,测得尼古丁的含量(单位:毫克)为: A:2427262 B:2728233126 据经验知,尼古丁含量服从正态分布,且A种的方差为5,B种的方差为8,取a=0.05,问 两种烟草的尼古丁含量是否有差异? 解设两种烟草的尼古丁平均含量分别为1和2 1°提出零假设:H:41=42;H1:≠ 2°取检验统计量:U=-(x=1) 在H成立的条件下,U≈(X-Y) N(O,1) 3°给定显著性水平a=005,P{2a03=005 由d(o025)=0975查表可得临界值ao02s=19 拒绝域:W=(xx2…x,12…,yn2)21.9 4°由样本值:m1=n2=5,x=244,y=27计算U的观察值u0 0=-=)=24=27-1612 5°作判断:因为u0∈W,所以接受Ho,即在显著水平a=0.05下,认为两种烟草的尼 古丁含量是无显著差异 方差已知时,对正态总体期望的假设检验小结于表72中 表7.2 统计假设 对总体要求 检验统计量 拒绝域 方法
拒绝域： {( , , , ; , 2 W = x x " x y , " 2 1 2 1 1 2 α y y u u n n ≥ 4° 由样本值计算U的观察值u . , ): }. 0 5° 作判断：若 u ∈W，则拒绝 u ∈W， 则接受H . 0 H0；否则，若 0 0 例 7.6 一卷烟 ，化验尼古丁的含量是否相同，从 A, B 中 1 24 26 据经验知，尼古丁含量服从正态分布，且 A 种的方差为 B 种的方差为 8，取 α=0.05，问 两种 差异？ 解 设两种烟草的尼古丁平均含量分别为 1° 提出零假设: H0： ； H1： 2° 取检验统计量： 厂向化验室送去 A, B 两种烟草 各随机抽取重量相同的五例进行化验，测得尼古丁的含量(单位：毫克)为： A：24 27 26 2 B：27 28 23 31 5， 1 2 µ 和 µ . 烟草的尼古丁含量是否有 1 2 µ = µ 1 2 µ ≠ µ 2 2 2 1 2 1 ( ) n n X Y U σ σ + − = ~ (0,1) ( ) 2 在H0成立的条件下， 2 2 σ 1 2 1 N n n X Y U σ + − = 3° 给定显著性水平 α = 0.05 ， { } 0.05 0.025 P U ≥ u = 由 查表可得临界值 拒绝域： ( ) 0.975 0.025 Φ u = 1.96. 0.025 u = {( , , , ; , , , ): 1.96}. 1 2 1 2 1 2 W = x x x y y y u ≥ " n " n 4° 由样本值： 5, 24.4, 27 1 2 n = n = x = y = 计算U的观察值 . u0 1.612 5 2 5 8 + n 5 ( ) 24.4 27 2 2 1 2 1 0 = − − = + − = n x y u σ σ 5° 作判断：因为 u0 ∈ W，所以接受H0，即在显著水平α=0.05 下，认为两种烟草的尼 古丁含量是无显著差异. 7.2 中： 表 7.2 统计假设 方差已知时，对正态总体期望的假设检验小结于表 对总体要求 检 H0 H1 方法 验 统计量 拒绝域
A=A 个正态总体 X n检验U= ≤ > l≥t 已知 > A5n24>212N(m2口2)。 两个相互独立的 1=2≠2 正态总体 l≥t 已知 212A<2 (二)1检验 检验用于当方差未知时,对期望的检验,可以是单总体,也可是双总体。当然对于双 总体,它们的样本之间应该是独立的 个正态总体情形 设总体X~N(,a2),样本(X1,X2,…,Xn)来自总体,a2未知 1°提出假设:HLn:4=A0;H1:≠0 2°取检验统计量:T= X EH成立的条件下,T= t(n-1) 3°给定显著性水平a(0<a≤005,Pr≥1a(m-1)}= 查表可得临界值ta(m-1)拒绝域:W={(x1x2,…,xn)团≥12(m-1) (x) a t。(n-1) 4°由样本值计算7观察值o
0 µ = µ 0 µ ≠ µ 2 α u ≥ u 0 µ ≤ µ 0 µ > µ α u ≥ u 0 µ ≥ µ 0 µ < µ 一个正态总体 u 检验 2 已知 2 ( , ) σ N µ σ n X U σ − µ 0 = α u ≤ −u 1 2 µ = µ 1 2 µ ≠ µ 2 α u ≥ u 1 2 µ ≤ µ 1 2 µ > µ α u ≥ u 2 µ 两个相互独立的 正态总体 u 检验 1 2 2 2 已知 2 2 2 1 , ( , ), ( , ) σ σ N µ σ N µ σ 2 2 2 1 2 1 ( ) n n X Y U σ σ + − = α u ≤ −u 1 2 µ ≥ µ 1µ < 时,对期望的检验，可以是单总体，也可是双总体。当然对于双 总体，它们的样本之间应该是独立的。 1. 设总体 ，样本 来自总体 X， 未知. 1° 提出假设: H0： ； H1： ： (二) t 检验 t 检验用于当方差未知 一个正态总体情形 ~ ( , ) 2 X N µ σ ( , , , ) X1 X 2 " X n 2 σ µ = µ 0 µ ≠ µ 0 S n X T n ∗ − = 0 µ 2° 取检验统计量 在H0成立的条件下，T = ~ ( 1) 0 − − ∗ t n S n X n µ 3° 给定显著性水平 α (0 <α ≤ 0.05) ， α =α ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ≥ ( −1) 2 P T t n 查表可得临界值 ( ). 2 tα n − 拒绝域：W = , x t " n 2 α y 2 α 1 {( , , ): ( 1)}. 2 1 2 x x ≥ t n − α = ϕ (x) T ( 1) 2 ( 1) 2 t α n − −t n − . 0 t α O x 4° 由样本值计算T的观察值