两种特殊情况的处理 第一种特殊情况是在计算各行各列元素值的过程中 出现某一行第一列的元素值为零,而这一行其它各列的 元素值不全为零 例3:设系统的特征方程为D(s)=s4+2s3+s2+2s+1=0 解: 1用一大于零的无穷小量E 代替第三行第一列的零参 01 与以下各行各列元素值的 计算 s2-2/E 因为E是大于零的无穷小量,所以(2-2/c)<0 系统不稳定,且有两个根在s的右半平面上.教材 P.15介绍了处理第一种特殊情况的另一种方法
两种特殊情况的处理. 第一种特殊情况是在计算各行各列元素值的过程中 出现某一行第一列的元素值为零, 而这一行其它各列的 元素值不全为零. 例3: 设系统的特征方程为 ( ) 2 2 1 0 4 3 2 D s = s + s + s + s + = 0 1 2 3 4 2 2 0 1 1 1 s s s s 解: s 0 1 用一大于零的无穷小量 代替第三行第一列的零参 与以下各行各列元素值的 计算. 2 − 2/ 1 因为 是大于零的无穷小量, 所以 (2 − 2/) 0 系统不稳定, 且有两个根在s的右半平面上. 教材 P.115介绍了处理第一种特殊情况的另一种方法
第二种特殊情况是在计算各行各列元素值的过程中出现 某一行的元素值全为零 例4:设系统的特征方程为 D(S)=s+2s+8s+12s3+20s2+16+16=0 6 8 20 16再往下计算s3 2 12 o这一行就全为 12 16 零,则由s4 这一行各元素 24 为系数构造一辅助方程: 16 F(S)=2+12s2+16 8/3 然后Fs)对s求一次导得 O dF(s) 8+24s用8,24 替换s3这一行的零元素,再往下计算.第一列的元素都大 于零,没有正实部的特征根,但由于有全零行,必有纯虚 根,而纯虚根的值可令辅助方程F(s)=0求得
第二种特殊情况是在计算各行各列元素值的过程中出现 某一行的元素值全为零. 例4: 设系统的特征方程为 ( ) 2 8 12 20 16 16 0 6 5 4 3 2 D s = s + s + s + s + s + s + = 0 1 2 3 4 5 6 2 12 16 0 1 8 20 16 s s s s s s s 2 12 16 再往下计算 3 s 这一行就全为 零, 则由 4 s 这一行各元素 为系数构造一辅助方程: ( ) 2 12 16 4 2 F s = s + s + 然后F(s)对s求一次导得 s s ds dF s 8 24 ( ) 3 = + 用8,24 替换 3 s 这一行的零元素, 再往下计算. 8 24 6 16 8/3 16 第一列的元素都大 于零, 没有正实部的特征根, 但由于有全零行, 必有纯虚 根, 而纯虚根的值可令辅助方程F(s)=0求得
令F()=2+122+16=0得S+62+8=(2+2)s2+4)=0 则s=士jV2,s=±j2 五、劳思稳定判据的应用 例5:设系统的特征方程为D(s)=0025s3+0.355+s+K=0 试确定使系统稳定的K的取值范围. 解: 0.0251 0.35k 0.025K/0.35 K 欲使系统稳定,第一列的元素应全大于零,则 ∴K>0.1-0025K/0.35>0∴0<K<14
令 F(s) = 2s 4 +12s 2 +16 = 0 得 6 8 ( 2)( 4) 0 4 2 2 2 s + s + = s + s + = 则 s = j 2,s = j2 五﹑ 劳思稳定判据的应用 例5: 设系统的特征方程为 ( ) 0.025 0.35 0 3 2 D s = s + s + s + K = 试确定使系统稳定的K的取值范围. 解: 0 1 2 3 0.35 0.025 1 s s s K s 1− 0.025K /0.35 K 欲使系统稳定, 第一列的元素应全大于零, 则 K 0, 1− 0.025K /0.35 0 0 K 14
例6:设系统的特征方程为 D(s)=27s+(T+2)s2+(K+1)+K=0 试在以K为横坐标,T为纵坐标的K-T平面上确定使系 统稳定的区域 解: 2T K+1 T+2 K 2K+T+2-KT T+2 K T>0,7>-2∴T>0:K>0,2K+7+2-KT>0∴7(1-K)>-2(K+1) 下面分二种情况讨论:当0<K<1时1-K>0:7>=2(K+ 1-K 当K>1时:1-K<0:7x4X+1 K-1
例6: 设系统的特征方程为 试在以K为横坐标,T为纵坐标的K-T平面上确定使系 统稳定的区域. ( ) 2 ( 2) ( 1) 0 3 2 D s = Ts + T + s + K + s + K = 解: 0 1 2 3 2 2 1 s s s T K s T K + + 2 2 2 + + + − T K T KT K T 0,T −2 T 0 K 0, 2K +T + 2 − KT 0 T(1− K) −2(K +1) 下面分二种情况讨论: 当 0 K 1 时 K K K T − − + − 1 2( 1) 1 0 当 K 1 时 1 2( 1) 1 0 − + − K K K T
在KT平面上作出7==2(K+1 K 曲线如下图所示, :: T 2(K+)再作出T 2(K+1) 曲线 K-1 K-1 ……空 由右图可见,在K-T平面 上使系统稳定的区域为 K 两个影阴区 2 T 2(K+1) 课外习题:P.135第1、 1-K 13、14题 3-6线性系统的稳态误差计算 基本概念 控制系统的稳态误差,是系统控制准确度(即精度)的 种度量,通常叫作稳态性能. 在具体介绍稳态误差的计算方法前,先明确以下几个基本 概念
在K-T平面上作出 曲线如下图所示, K K T − − + = 1 2( 1) T K 0 − 2 2 1 K K T − − + = 1 2( 1) 再作出 1 2( 1) − + = K K T 曲线 1 2( 1) − + = K K T 由右图可见, 在K-T平面 上使系统稳定的区域为 两个影阴区. 课外习题: P.135第11 ﹑ 13 ﹑14题 3-6 线性系统的稳态误差计算 一﹑基本概念 控制系统的稳态误差, 是系统控制准确度(即精度)的 一种度量, 通常叫作稳态性能. 在具体介绍稳态误差的计算方法前, 先明确以下几个基本 概念: