构造D(s)的系数主行列式 0丨赫尔维茨稳定判据的内容为: C m阶特征方程的根全部具有负 SsBRRSERSERE 0 实部的充要条件是,特征方程 的各项系数为正,且D()的系 4:a6 数行列式的各阶主子式均大于 零,即△>0,Vi2i=1,2,…,n 00000 而△ 0 教材P.11给出了n<=4时,赫尔维茨稳定判据的简单表示形 式
构造 D(s) 的系数主行列式: n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 4 6 1 3 5 7 0 2 4 6 8 1 3 5 7 9 = 赫尔维茨稳定判据的内容为: n阶特征方程的根全部具有负 实部的充要条件是, 特征方程 的各项系数为正, 且 D(s) 的系 数行列式的各阶主子式均大于 零, 即 i 0, i, i =1,2, ,n 而 , 1 = a1 , 0 2 1 3 2 a a a a = , 0 1 3 0 2 4 1 3 5 3 a a a a a a a a = , 0 0 0 2 4 1 3 5 0 2 4 6 1 3 5 7 4 a a a a a a a a a a a a a a = 教材P.112给出了n<=4时, 赫尔维茨稳定判据的简单表示形 式
例:设闭环系统的特征方程为: D(s)=s4+2s3+Ks2+s+2=0 试确定使系统稳定的K的取值范围. 解:构造特征方程的系数行列式 2100△1=2>0,△2 2K-1>0.K>0.5 1K20 K K21 01K△2=1K2=2 =2K-9>0 2 K>45△4=2△>0∴K>45时系统稳定 四、劳思稳定判据 n阶系统的特征方程为: D(s)=a"+a1"+…+an1S+an=0 式中a0>0,构造如下劳思行列表:
例:设闭环系统的特征方程为: 试确定使系统稳定的K的取值范围. 解:构造特征方程的系数行列式. ( ) 2 2 0 4 3 2 D s = s + s + Ks + s + = 0 1 2 0 2 1 0 1 2 0 2 1 0 0 4 K K = 2 1 0, 0.5 1 2 1 2 0, 1 = 2 = = K − K K 2 9 0 2 1 1 0 2 1 2 2 0 2 1 1 2 2 1 0 3 = = − = K − K K 4.5, 2 0 4.5 K 4 = 3 K 时系统稳定. 四﹑ 劳思稳定判据 n阶系统的特征方程为: ( ) 1 0 1 = 0 + 1 + + − + = − n n n n D s a s a s a s a 式中 a0 0 , 构造如下劳思行列表:
表中,最左边一列和最上 面两行构成劳思行列表的 表头,表中其它各行各列 S 43 的元素值按如下公式计算: 3 14 24 34 44 a, a3 a, a2-aoa3 25 35 45 1,n+12n+13,n+14,n+/·· a,d a,a 13 C133-1C 14
表中, 最左边一列和最上 面两行构成劳思行列表的 表头, 表中其它各行各列 的元素值按如下公式计算: 1, 1 2, 1 3, 1 4, 1 0 1 5 2 5 3 5 4 5 4 1 4 2 4 3 4 4 4 3 1 3 2 3 3 3 4 3 2 1 3 5 7 1 0 2 4 6 + + + + − − − − n n n n n n n n n s c c c c s c c c c s c c c c s c c c c s a a a a s a a a a 1 1 2 0 3 1 1 3 0 2 1 3 a a a a a a a a a a c − = − = 1 1 4 0 5 1 1 5 0 4 2 3 a a a a a a a a a a c − = − = , 1 1 6 0 7 1 1 7 0 6 3 3 a a a a a a a a a a c − = − = 13 13 3 1 23 13 13 23 1 3 14 c c a a c c c c a a c − = − =
13C3 C12C-1C2 13 13 S 43 3 14 24 34 44 13 C13-a1C43 34 25 35 45 13 以下各行各列的元素值可依上 几式的规律依次算得. 1,n+12,n+13,n+1-4,n+1 则线性系统稳定的充要条件是 劳思表中第一列各值均大于零.如劳思表第一列中出现小于零 的数值,系统就不稳定,且第一列各数值符号的改变次数,就 是系统特征方程的正实部根的数目,即系统在极点平面的右半 平面上的极点个数
以下各行各列的元素值可依上 几式的规律依次算得. 则线性系统稳定的充要条件是 1, 1 2, 1 3, 1 4, 1 0 1 5 2 5 3 5 4 5 4 1 4 2 4 3 4 4 4 3 1 3 2 3 3 3 4 3 2 1 3 5 7 1 0 2 4 6 + + + + − − − − n n n n n n n n n s c c c c s c c c c s c c c c s c c c c s a a a a s a a a a 1 3 1 3 5 1 3 3 1 3 1 3 3 3 1 5 2 4 c c a a c c c c a a c − = − = , 1 3 1 3 7 1 4 3 1 3 1 3 4 3 1 7 3 4 c c a a c c c c a a c − = − = 劳思表中第一列各值均大于零. 如劳思表第一列中出现小于零 的数值, 系统就不稳定, 且第一列各数值符号的改变次数, 就 是系统特征方程的正实部根的数目, 即系统在极点平面的右半 平面上的极点个数
例1:设系统的特征方程为D(s)=s3+42+100s+500=0 用劳思稳定判据判别系统是否稳定 解:s31100因为第一列有-25,且正、负号改变 s24500两次,所以系统不稳定,且有两个 根在s的右半平面上 s-250 s°5000 例2:设系统的特征方程为D(s)=s3+2s+s3+3s2+4s+5=0 用劳思稳定判据判别系统是否稳定? 解: 3 5 S-0515因为第一列有-0.5,且正、负号改变 5两次,所以系统不稳定,且有两个 16/9 根在s的右半平面上
例1: 设系统的特征方程为 用劳思稳定判据判别系统是否稳定? ( ) 4 100 500 0 3 2 D s = s + s + s + = 解: 0 1 2 3 4 500 1 100 s s s s − 25 0 500 0 因为第一列有-25, 且正﹑负号改变 两次, 所以系统不稳定, 且有两个 根在s的右半平面上. 例2: 设系统的特征方程为 ( ) 2 3 4 5 0 5 4 3 2 D s = s + s + s + s + s + = 用劳思稳定判据判别系统是否稳定? 解: 0 1 2 3 4 5 2 3 5 1 1 4 s s s s s s − 0.5 1.5 9 5 16/9 5 因为第一列有-0.5, 且正﹑负号改变 两次, 所以系统不稳定, 且有两个 根在s的右半平面上