1)只有当系统本身是稳定的前提下,讨论系统的稳态误 差才有意义 2)系统的稳态误差除了与系统本身的结构和参数有关外 还与系统输入信号的形式和大小有关 3)系统的稳态性能与系统的稳定性和瞬态响应性能一般 来说是有矛盾的 误差的定义:系统的输入信号与主反馈信号之差 见右图:R(s) E(s) C(s) B(S H(S) E(s=R(s)-B(S)=R(S)-H(SC(S) 误差传递函数为: (s)= E(s R(S)1+G(SH(S)
1) 只有当系统本身是稳定的前提下, 讨论系统的稳态误 差才有意义. 2) 系统的稳态误差除了与系统本身的结构和参数有关外 还与系统输入信号的形式和大小有关. 3) 系统的稳态性能与系统的稳定性和瞬态响应性能一般 来说是有矛盾的. 误差的定义: 系统的输入信号与主反馈信号之差. 见右图: R(s) E(s) C(s) − B(s) G(s) H(s) E(s) = R(s) − B(s) = R(s) − H(s)C(s) 误差传递函数为: 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) R s G s H s E s s er + = =
则误差信号的拉氏变换表达式 E(S=O sr(s M(SO(S N(s P(S) 假设N(s)=∏(s-p)P是(S)的极点,也即闭环 i=1 极点 (s)=I(s-r)是R(S)的极点 k=1 B 则:E(s)=∑ 式中的第一项由 IS-p s-r (s)的极点所 e()=L[E(s)]=∑ Ae"+SBe"引起,叫做e() k=1 的瞬态分量,第 二项由R(S)的极点所引起,叫做e(t)的稳态分量.如果 系统是稳定的,则所有的P均在s的左半平面上,即P<0
则误差信号的拉氏变换表达式 假设 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P s Q s N s M s E s s R s =er = i n i i N(s) (s p ) p 1 = = − 是 (s) er 的极点, 也即闭环 极点. k l k k P(s) (s r ) r 1 = = − 是 R(s) 的极点. 则: = = − = = = = + − + − = l k r t k n i p t i l k k k n i i i i k e t L E s Ae B e s r B s p A E s 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 式中的第一项由 (s) er 的极点所 引起, 叫做e(t) 的瞬态分量, 第 二项由 R(s) 的极点所引起, 叫做e(t)的稳态分量. 如果 系统是稳定的, 则所有的 i p 均在s的左半平面上, 即 pi 0
则当t→>∞时,e(t)的瞬态分量趋于零,只剩下稳态分量 定义:当t→>∞时,e(t)剩下的稳态分量,叫系统的稳态误差 表示为:e,(D)=lime(t)=lmBe t→)00 t→)00 当t→>∞时,e(t)可能是一个确定的数,也可能是一个不确 定的数,即仍然是t的函数.当t→>∞,e,(t)为一个确定 的数时,用e表示,e叫稳态误差值当t→>∞,e2(仍然 是t的函数,则e(t)叫稳态误差函数.显然,稳态误差函 数表现了稳态误差随时间变化的规律 稳态误差值e3有两种基本的求法.第一种是先求出e(t) 然后令1→>∞,可得e,但当E(S)表达式较为复杂时,求 e(t)的解析式较困难,一般并不采用第二种是对E(S) 采用拉氏变换的终值定理,即: e=lim sE(S)=lim sp s)r(s)
则当 t → 时, e(t)的瞬态分量趋于零, 只剩下稳态分量. 定义: 当 t → 时, e(t)剩下的稳态分量, 叫系统的稳态误差. 表示为: r t k t t s s k e t e t B e → → ( ) = lim ( ) = lim 当 t → 时, e (t) ss 可能是一个确定的数, 也可能是一个不确 定的数, 即仍然是 t 的函数. 当 t → , e (t) ss 为一个确定 的数时, 用 ss e 表示, ss e 叫稳态误差值. 当 t → , e (t) ss 仍然 是 t 的函数, 则 e (t) ss 叫稳态误差函数. 显然,稳态误差函 数表现了稳态误差随时间变化的规律. 稳态误差值 ss e 有两种基本的求法. 第一种是先求出 e(t) 然后令 t → , 可得 ss e , 但当 E(s) 表达式较为复杂时, 求 e(t) 的解析式较困难, 一般并不采用. 第二种是对 E(s) 采用拉氏变换的终值定理, 即: lim ( ) lim ( ) ( ) 0 0 e sE s s s R s er s s ss → → = =
但终值定理有一个使用条件,即要求E(S)表达式在右半 平面及虚轴上解析,即SE(S)表达式的所有极点都在s的 左半平面上.否则,用终值定理得出的e与令e()的 t→>∞时得到的值不一致.但对于工程实际上来说,当 SE(s)在s平面的原点上有极点时,仍可用终值定理 例:设单位反馈控制系统的开环传递函数为G(s)=1/Ts 试求当输入信号分别为r()=t2/2和r(t)=snon 时控制系统的稳态误差值. 解:(s) r(t)=t/2∴R(s)=1/ 1+G(s) s+ T 7 E(S)=(s)R( (S+) S e(t)=LIE(sJ=Te+Tt-T2(t) =lim e(t)=lim e(t)=lim [Tt-T(t]=oo →① t→
但终值定理有一个使用条件, 即要求 sE(s) 表达式在s右半 平面及虚轴上解析, 即 sE(s) 表达式的所有极点都在s的 左半平面上. 否则, 用终值定理得出的 ss e 与令 e(t) 的 t → 时得到的值不一致. 但对于工程实际上来说, 当 sE(s) 在s平面的原点上有极点时, 仍可用终值定理. 例: 设单位反馈控制系统的开环传递函数为 G(s) =1/Ts 试求当输入信号分别为 ( ) / 2 2 r t = t 和 r(t) = sint 时控制系统的稳态误差值. 解: = = = − = = = + − + = − + + = = = = + = + = → → → − − lim ( ) lim ( ) lim[ ( )] ( ) ( ) ( ) 1 ) 1 ( 1 ( ) ( ) ( ) ( ) / 2 ( ) 1/ 1 ( ) 1 1 ( ) 2 1 2 / 2 2 2 2 2 2 3 e e t e t T t T t e t L E s T e T t T t T s T s T s T s T s E s s R s r t t R s s T s s G s s t s s t t s s t T er er
∵SE(S)=Sφ。(S)R(s) e。= lim se( m S+-)S s+ S 可见,虽然E()在s平面的原点上有极点s=0,仍可用终值 定理 r(t=sin at. R(S)=O/S+0) S E(S)= (Sr(s) S+O s+ To S T T2o2+1 +m22,1=2,2+ T2o2+1s2+O2 s+ To cost+ sin ot Ta2+1 To2+1 e= lim SE(s=lim s→0 (S+)(s2+O2)
可见, 虽然 在s平面的原点上有极点s=0, 仍可用终值 = + = = + = = → → s T s e sE s s T s sE s s s R s s s er s s ) 1 ( 1 lim ( ) lim ) 1 ( 1 ( ) ( ) ( ) 0 0 sE(s) 定理. 0 )( ) 1 ( lim ( ) lim sin 1 cos 1 ( ) 1 1 1 1 1 1 ) 1 ( ( ) ( ) ( ) ( ) sin ( ) /( ) 2 2 2 0 0 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = + + = = + + + = + + + + + + + + = − + + = = = = + → → s T s s e sE s t T T t T T e t T s T s s T T T s T T s T s s E s s R s r t t R s s s s s s s s er