+oW√万是(1)的基本解，则有1≤o<,从而 D=呢-1=2-1 yo 和 始-62=Y(1+Dy)-62=2-6(2-Dm2 =-->0, 故 om+yo5=d以1,2xo朗-yo5=d2,d1d2=d,1>0,>0, 于是，0<系1资中， ≤2咖m2咖 与(12)矛盾，故8=专+幻√万.证完. 推论设o>0,u>0,D=u(好+2)，则 1+y6+0√万 (13) 是（①）的基本解。 证显然专=1十6,7=0满足一D=1,且满足 (12)式，故(13)是(1)的基本解.证完. §2Pell方程c2-Dyr=-1 形如x2一D则产=一1的方程也叫Pe1方程，它比PeⅡ方 程x2-D=1要复杂一些，例如，当D含有4十3形状的 素因数或D=4时，容易证明x2-Dym一1无解.然而， 决定6-2py2-一1(9=1(mod4)是素数)是否有解就不是 容易的事. 一般地，我们有 定理1.设D是一个正整数且不是一个完全平方，如果 方程 8-D2m-1 (1) ·24
有解，且设a-Di2=一1，a>0,>0,是所有>0，g>0的 解中使+y√D最小的那组解(a,b叫做(1)的基本解)，则 (1)的全部解（有无穷多组），，由 x+y√D-士(a+b√/D)2m+1 (2) 表出，其中%是任意整数.且 e=20--40D=(a+b/D)" (3) 其中x0,o是2-D-1的基本解 证设(a+b√D)2=u+u√D,由(a-WD)2=u- √D,故w2-D2x(a2-Db)2-（-1)2-1,即w,w是0 -一Dy=1的一组解.现在证明(3)给出了2一D2=1的基 本解.如果(3)不成立，则另有基本解 1<o+oW√D<(a+bWND)2, (4) 由 1 8+6/D-&+bWD>0,由(4得 -+b√D <(+√D)(-a+b√D)<a+bD, (6) 令(+%√D)(-一a+b√D)-+√D,其中e'=一oa +obD,'=b-oa,而a2-Db2=c号a2-2o0abD+y6. D-b2D+2 yoab D-gyia2D=x品(g2-Db)十y6D(Db2-a2〉 =(号-D)(a2-D6)=-1,于是，(5)可写为 0<-a+b√D<a+√D<a+bWD,b'≠0，(6) 显然+b'√D≠1（由于2-Db2=一1）. 如果1<d+√D,则有 1<d+b'N/D<a+bN√D, (T) 取a'+'√D倒数，有 0<-a+'/万<1， (8) 由()和(8)可得b'>0和2a'=a+'√D-(-+b'√D)> ·25-
1-1=0,即a'>0,此与a+b√D的定义矛盾. 如果d+'√D<上，则由(6)有 1<-'+'√D<a+b√D, 和 0<a'+/D<1, 得>0， -d>0,而(-d)2-D62=一1，此仍与a+石√/节 的选择矛盾、 以上证明了)式成立. 对于任意的孔，（②）式给出的您，y,显然是(1)的一组解. 反之，设，y是(1)的任一组解，设 (+yN√D)(-a+bND)-x+y'√五， (9) 其中x'=-ax十yD,刘--侧+bx.从而(x-yWD)(-a b√D)=x一y√D。与（⑨）式两边相乘可知，，y是x2一 D2=1的一组解，故由上节定理1知x,可表为 +√D=士(o+o√D)",n为整数， 由(9)和(3)得·、 x十g√D-士(a十√D)n+4,%为整数， 这就证明了(1)的全部解可表为（②），证完. 定理2设p=1(m0d4)是素数，则 2-y2=-1 (10) 有整数解，. 证设0，是2一=1的基本解.显然，0,0是 一奇一偶.如果o=0(mod2),o=1(m0d2),则由号-p6 一1得矛盾结果一1=1(mcd4).因此只能=1(mod2), %=0(m012,再由士与2相差1知（色士1 )1.又 426
2.梦1--学-（尝）》 2 2 4 得 21=叫，吉共-，从而6=20， 6-1 2 u>0,w>0, (11) 或 0一1=，n+1=202,从而0=2， 2 2 u>0,u>0, (12) (11)给出 2-w2=1, 而“=器<0，与6是基本解即最小的选择矛眉。 (12)得出 松2-pw2=一1， 故(10)有整数解心=4，y=心，证完. 推论(10)的全部解名，，由 十y√p=士(u+u√p)m+1 表出，其中%是任意整数，6，由(12)给出」 证·设g=,y-b是(10)的基本解，由定理1知心3一 =1的基本解有 o+Wp=(a+b√p)3=a+2p+2a6√p, 放o=2ab,由(12)知yo=2m,据出&=4,6-巴.证完 下面给出一个一2y2=-1(p≡1(mod4)),无解的例. 例Pal】方程-34y产-一1无整数解，y. 易知心2-34g一1的基本解为-36,0=6.若然=， y=b是2一34y2a-1的基本解，由(12)有=a2+pb2,即 4°+34b3=35,2eb=6,此不可能. 注意到这里34=53+32。更一般地有下面的结果： 定理3设p是一个素数，2型=2+&2，三士3(m0d8), ·27。 司
8三士3(m0d8),则 c2-2y2=-1 无整数解它，. 下一章引入代数整数的定义后，不难给定理3一个简短 的证明，初等的证明则可参看[1]. §3不定方程2-Dy2=C 本节研究不定方程 0-Dy2-c, () 其中D>0,D不是一个平方数，c是一个不为0的整数 设=话y=心是(1)的一组解，为方便起见，以下我们倒 贴十√D是(1)的一个解。特别地，由于=贴，y一w是(1) 的解，故w一√万也是()的解.再设8十√D是 2-Dy2=1 (2) 的任意一个解，则显然有 (u+√/D)(s+tND)=s+wtD+(2s+2t)√D 也是(1)的一个解，这个解叫做与解十D相结合.如果 记（①）的解u+w√万与(1)的解w+√D相结合为 u+UWDh+1√D, 显然有 1)对(1)的每一个解u+v√万，有 t+vN√Dh+"N√D; 2)如果u+√D~h+1D,则 1十01√D~w+y√/D; [1]Lienen,V.H.,The quadratic form a2-2py2,J.Number theory; 10(1978),1015. ◆28