《自动控制原理》课程教学资源：第六章 线性系统的能控性和能观性分析

-310 0-3000 =8 24 系统不完全能观 6.4状态空间表达式的对角线标准型 6.4.1系统的特征值和特征向量 定义:若在向量空间存在一非零向量v,使 Av=Zy 则称λ为矩阵A的特征值。任何满足()式的非零向量v称为矩阵A的对应于特 征值λ的特征向量 根据上述定义,可以求出A的特征值。将(1)式改写成 上面这个齐次线性方程有非零解的充分必要条件是 方程(6.14)常称为特征方程。而行列式de(-A)的展开式: 称为A的特征多项式。特征方程(6.14)的根称为矩阵A的特征值 例6.10计算A=-6-116的特征向量。 解()计算A的特征值 解之得:1=-1,2=-2,2=-3。 (2)计算A1=-1的特征向量n=n1n213 将A1,v1代入定义式(6.13)得 (A-A1D)n1=0 0 根据矩阵为0的定义,得方程组 0 +61 解方程组得:21=0,n1=v3。可见,1,"31可以取任意相等的值,使v1为 非零向量,例如,取n1=n31=1,则n=p0 浙江工业大学自动化研究所

自 动 控 制 原 理 电 子 教 案 （6） x x y [ ] 8 1 0 2 4 x 0 0 0 0 2 0 0 0 2 1 0 0 2 1 0 0 3 0 0 0 3 1 0 0 0 = − ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − & = 系统不完全能观 6.4 状态空间表达式的对角线标准型 6.4.1 系统的特征值和特征向量 定义：若在向量空间存在一非零向量 v,使 Av = λv (6.12) 则称λ为矩阵 A 的特征值。任何满足(1)式的非零向量 v 称为矩阵 A 的对应于特 征值λ的特征向量。 根据上述定义，可以求出 A 的特征值。将(1)式改写成： (λI − A)v = 0 (6.13) 上面这个齐次线性方程有非零解的充分必要条件是： det(λI − A) = λI − A = 0 (6.14) 方程(6.14)常称为特征方程。而行列式det(λI − A) 的展开式： det(λI − A) = n n n n + a + + a − + a − λ λ 1λ 1 1 L (6.15) 称为 A 的特征多项式。特征方程（6.14）的根称为矩阵 A 的特征值。 例 6.10 计算 的特征向量。 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − = 6 11 5 6 11 6 0 1 1 A 解 (1)计算 A 的特征值 = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + − − − = 6 11 5 6 11 6 1 1 det( ) det λ λ λ λI A 6 11 6 0 3 2 λ + λ + λ + = 解之得：λ1 = −1,λ2 = −2,λ3 = −3。 (2)计算λ1 = −1的特征向量 [ ] T v v v v 1 = 11 21 31 将λ1，v1代入定义式(6.13)得 (A − λ1I)v1 = 0 0 6 11 6 } 6 10 6 0 0 1 0 1 0 1 0 0 6 11 5 6 11 6 0 1 1 { 11 21 31 11 21 31 11 21 31 31 21 11 = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − + − − + + − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − v v v v v v v v v v v v 根据矩阵为 0 的定义，得方程组 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − − + = − − + = + − = 6 11 6 0 6 10 6 0 0 11 21 31 11 21 31 11 21 31 v v v v v v v v v 解方程组得：v21 = 0 ， 。可见， 可以取任意相等的值，使 为 非零向量，例如，取 ，则 11 31 v = v 11 31 v , v 1 v v11 = v31 = 1 [ ] T v1 = 1 0 1 。 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 11

类似上面的计算可得n2=[24,n3=69 6.4.2化矩阵A为对角阵 1.A的特征根互异 当矩阵A具有相异的特征值时,取P=[1n2…mn,v为与1相对应 的A的特征向量,则 000 A=P∥P0x200 00 0 000 例6.11将下列状态空间表达式变换成对角线标准形 y=p00 解例6.10中已得到A的特征根为:41=-12=-2,3=-3及其特征向 量分别为 因此变换阵为 3-43 A100 l00 A=020=10-20 00A3」[00-3 B=p-l CP=o可o26=1l 则动态方程的对角线的标准型为 00 1 1 1k 浙江工业大学自动化研究所

自 动 控 制 原 理 电 子 教 案 类似上面的计算可得v2 = [ ] 1 2 4 T ， [ ] T v3 = 1 6 9 。 6.4.2 化矩阵 A 为对角阵 1. A的特征根互异 当矩阵 A 具有相异的特征值时，取 [ ] n P v v L v = 1 2 ，vi 为与λi 相对应 的 A 的特征向量，则 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = = − n A P AP λ λ λ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 1 O (6.16) 例 6.11 将下列状态空间表达式变换成对角线标准形。 x x u ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − = 1 0 0 6 11 5 6 11 6 0 1 1 & y = [ ] 1 0 0 x 解 例 6.10 中已得到 A 的特征根为：λ1 = −1,λ2 = −2,λ3 = −3及其特征向 量分别为 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 0 1 1v ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 4 2 1 2 v ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 9 6 1 3 v 因此变换阵为 [ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = = 1 4 9 0 2 6 1 1 1 1 2 3 P v v v ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − = − 1 1.5 1 3 4 3 3 2.5 2 1 P ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 0 0 3 0 2 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 3 2 1 λ λ λ A ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − = = − 1 3 2 1 0 0 1 1.5 1 3 4 3 3 2.5 2 1 B P B [ ] [1 1 1 1 4 9 0 2 6 1 1 1 1 0 0 = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ C = CP = ] 则动态方程的对角线的标准型为 x x u ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = 1 3 2 0 0 3 0 2 0 1 0 0 & y = [ ] 1 1 1 x 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 12

2.A为特征根互异的相伴(友)矩阵 100 0 使A化为对角线型的变换阵P是一个范得蒙( Vandermonde)矩阵,即 式中,412,…,是矩阵A的互异特征值 例6.12将A=001变换为对角矩阵。 解容易求得A的特征值为1=-1,2=-2,A3=-3,所以变换矩阵为 容易验证,可使A对角化,对角线上的元素为特征值 3.A有重特征值,但具有n个独立的特征向量 这时,取P=1n2…rn],仍可使A对角化 例6.13将A=010变换为对角矩阵 解:特征方程为 10 -10=(x-1)(2-2)=0 特征根为:41=12=,3=2 求λ1或A2的特征向量 1-1 00A1-2儿 代入1=1,得 000 0 解得v31=0。可见,对n1,n21没有约束,因此可以任取n1,v21,只要使v1,v2为 非零向量,并且互相独立。例如,取v1=1,21=0,得n1=[00;取 V1=0,21=1,得v2=b10。显然n,n2是互相独立的两个特征向量 浙江工业大学自动化研究所

自 动 控 制 原 理 电 子 教 案 2. A 为特征根互异的相伴（友）矩阵 (6.17) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − = −1 2 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 a a a a A n n L O O 使 A 化为对角线型的变换阵 P 是一个范得蒙（Vandermonde）矩阵，即 (6.18) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = − −1 −1 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 n n n n n n P λ λ λ λ λ λ λ λ λ L L L L L L L L 式中，λ λ λn , , , 1 2 L 是矩阵 A 的互异特征值。 例 6.12 将 变换为对角矩阵。 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = 6 11 6 0 0 1 0 1 0 A 解 容易求得 A 的特征值为λ1 = −1,λ2 = −2,λ3 = −3，所以变换矩阵为 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = − − − 1 4 9 1 2 3 1 1 1 P 容易验证，可使 A 对角化，对角线上的元素为特征值-1，-2，-3。 3. A有重特征值，但具有 n 个独立的特征向量 这时，取 [ ] n P v v L v = 1 2 ，仍可使 A对角化。 例 6.13 将 变换为对角矩阵。 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = 0 0 2 0 1 0 1 0 1 A 解：特征方程为 ( 1) ( 2) 0 0 0 2 0 1 0 1 0 1 | | 2 = − − = − − − − = λ λ λ λ λ λI A 特征根为：λ1 = λ2 = 1,λ3 = 2。 求λ 1 或λ 2 的特征向量： ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − = 0 0 2 0 1 0 1 0 1 ( ) 1 1 1 1 1 λ λ λ λ I A v 0 31 21 11 = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ν ν ν 代入λ1 = 1，得 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 31 21 11 = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ν ν ν 解得 。可见，对 没有约束，因此可以任取 ，只要使 为 非零向量，并且互相独立。例如，取 =1， v31 = 0 11 21 v , v 11 21 v , v 1 2 v , v v11 v21 = 0 ， 得 [ ] T v1 = 1 0 0 ；取 v11 = 0, v21 = 1，得 [ 。显然 是互相独立的两个特征向量。 T v2 = 0 1 0] 1 2 v , v 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 13

自动控制原理电子教 求A3=2的特征向量 10 023-10 0 000v2 =-10,所以 10-1 P-1=010 容易验证 100A100 =PAP=010=020 002」[003 6.4.3化矩阵A为约当阵 如果矩阵A的特征值有重根,而且独立特征向量的个数小于A的维数n, 则A不可能化为对角型矩阵,而只能化为与对角矩阵相似的矩阵-—约当矩 1.约当块与约当矩阵的定义 形如 000 的分块称为约当块。由若干个约当块组成的准对角线矩阵称为约当矩阵 例如,下面是一个约当矩阵,对角线上的分块矩阵称为约当块。 10 10000 000 000 00000 00000 0 1000 M 0 0 00a 00000乙,1:0 000000220 0000000A3」 其中λ1是五重特征值,构成两个约当块;2是二重特征值,构成一个约当块。 浙江工业大学自动化研究所

自 动 控 制 原 理 电 子 教 案 求λ3 = 2 的特征向量： 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 33 23 13 3 3 3 = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − v v v λ λ λ 或 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 33 23 13 = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ v v v ⎩ ⎨ ⎧ = + = 0 0 23 13 33 v v v 取v13 = −1, 则v33 = 1，得 [ ，所以 T v3 = −1 0 1] [ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = = 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 2 3 P v v v ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = − 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 P 容易验证 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = = − 3 2 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 1 0 1 0 0 λ λ λ A P AP 6.4.3 化矩阵 A 为约当阵 如果矩阵 A 的特征值有重根，而且独立特征向量的个数小于 A 的维数n , 则 A 不可能化为对角型矩阵，而只能化为与对角矩阵相似的矩阵----约当矩 阵。 1. 约当块与约当矩阵的定义 形如 (6.19) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ λ λ 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 O O O 的分块称为约当块。由若干个约当块组成的准对角线矩阵称为约当矩阵。 例如，下面是一个约当矩阵，对角线上的分块矩阵称为约当块。 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 3 2 2 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 λ λ λ λ λ λ λ λ 其中λ1是五重特征值，构成两个约当块；λ2 是二重特征值，构成一个约当块。 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 14