自动控制原理电子教 能控性第二判别准则—特征值互易的情况 设线性定常系统x=Ax+Bu具有互异的特征值,则其状态完全能控的充分 必要条件,是经非奇异线性变换后的对角线标准型: x (6.5) 中的B阵不包含元素全为零的行。 上述定理在判别对角线标准型状态方程的能控性时尤为简单 例如,容易判别下面四个系统的能控性。 l)x=0-50x+5完全能控 00-17 700 2)x=0-50x+5不完全能控 700 3)x=0-50x+40完全能控 00-175 700 4)x=0-50x+40不完全能控 在应用这个判别准则时,应当注意到特征值互不相同的条件。某些具有 重特征值的矩阵,也能化为对角线标准型,对于这样的系统不能应用上述判别 准则,而必须采用能控性判别矩阵S。例如,对于系统 x2 由于A具有重特征值,所以尽管B没有全为零的行,但容易由能控性判别 矩阵(6.1)检验系统是不完全能控的 对于A具有重特征值的情况,有下列定理。 能控性第二判别准则——重特征值情况若线性定常系统x=Ax+ 具有重特征值,且每一个重特征值对应一个特征向量,则系统状态完全能控的 充分必要条件是,其经过非奇异变换后的约当( Jordan)标准型 x+ Bu (6.6) 中,每个约当小块J1(=1,2,…,k)的最后一行对应的B阵的各行元素不全为 例如下面四个系统: 浙江工业大学自动化研究所 6
自 动 控 制 原 理 电 子 教 案 能控性第二判别准则——特征值互易的情况 设线性定常系统 具有互异的特征值，则其状态完全能控的充分 必要条件，是经非奇异线性变换后的对角线标准型： x& = Ax + Bu x x Bu n + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = λ λ λ L L M O O M M O M L L & 0 0 2 1 (6.5) 中的 B 阵不包含元素全为零的行。 上述定理在判别对角线标准型状态方程的能控性时尤为简单。 例如，容易判别下面四个系统的能控性。 x x u 完全能控 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = 7 5 2 0 0 1 0 5 0 7 0 0 1) & x x u 不完全能控 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = 7 5 0 0 0 1 0 5 0 7 0 0 2) & x x u 完全能控 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = 7 5 4 0 0 1 0 0 1 0 5 0 7 0 0 3) & x x u 不完全能控 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = 7 5 4 0 0 0 0 0 1 0 5 0 7 0 0 4) & 在应用这个判别准则时，应当注意到特征值互不相同的条件。某些具有 重特征值的矩阵，也能化为对角线标准型，对于这样的系统不能应用上述判别 准则，而必须采用能控性判别矩阵 Sc 。例如，对于系统 u x x x x ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ + ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ = ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 1 1 0 2 2 0 2 1 2 1 & & 由于 A 具有重特征值，所以尽管 B 没有全为零的行，但容易由能控性判别 矩阵（6.1）检验系统是不完全能控的。 对于 A 具有重特征值的情况，有下列定理。 能控性第二判别准则——重特征值情况 若线性定常系统 x& = Ax + Bu 具有重特征值，且每一个重特征值对应一个特征向量，则系统状态完全能控的 充分必要条件是，其经过非奇异变换后的约当（Jordan）标准型 x Bu J J J x k + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = L M O M L & 0 0 2 1 (6.6) 中，每个约当小块 J i (i = 1,2,L, k) 的最后一行对应的 B 阵的各行元素不全为 零。 例如下面四个系统： 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 6
自动控制原理电子教 由于只有一个约当块,最后一行对应的B阵的行的元素是2,不为零,所 以系统完全能控 41 0-4x2」[0 由于只有一个约当块,最后一行对应的B阵的行的元素为零,所以系统不 全能控 ll2 A中有两个约当块,它们的最后一行对应的B阵的行分别是[01]和 p20],它们都不全为零,所以系统完全能控。 (4);0-400 A中有两个约当块,容易看出,第一个约当块的最后一行对应的B阵的行 是[00],其元素全为零,所以系统不完全能控 6.2.4输出能控性及其判别准则 下面研究系统输出的能控性。设线性定常系统为 x= Ax+ Bu ly=Cx+Du (6.7) 输出能控性定义:若对任一输出y(0)和另一输出y(1),存在一个有限的 时间[o,]和一个分段连续输入a(),能在[o,1]内使输出y(o)转移到y() 则称系统是输出能控的,否则称为输出不能控的 输出能控性判别准则:系统输出能控的充分必要条件是 anksu =rankCB CAB CAB CA B D]= (6.8) 例6.5判别下列系统的输出能控性 2 I ok 解因为 rankSou =rankCB CAB]=rank[ 2=1=l 所以,系统是输出能控的。容易判别该系统状态是不完全能控的 系统状态的能控性与输出能控性,没有普遍的关系 浙江工业大学自动化研究所
自 动 控 制 原 理 电 子 教 案 u x x x x ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ + ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − ⎥ = ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 2 0 0 4 4 1 (1) 2 1 2 1 & & 由于只有一个约当块，最后一行对应的 B 阵的行的元素是 2，不为零，所 以系统完全能控。 u x x x x ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ + ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − ⎥ = ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 0 2 0 4 4 1 (2) 2 1 2 1 & & 由于只有一个约当块，最后一行对应的 B 阵的行的元素为零，所以系统不 完全能控。 ( ) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 3 0 0 3 1 0 4 0 0 4 1 0 0 3 u u x x x x x x x x & & & & A 中有两个约当块，它们的最后一行对应的 B 阵的行分别是 [0 1]和 [2 0]，它们都不全为零，所以系统完全能控。 x x u ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − = 0 2 2 0 0 0 0 1 0 0 0 3 0 0 3 1 0 4 0 0 4 1 0 0 (4) & A 中有两个约当块，容易看出，第一个约当块的最后一行对应的 B 阵的行 是[0 0]，其元素全为零，所以系统不完全能控。 6.2．4 输出能控性及其判别准则 下面研究系统输出的能控性。设线性定常系统为 ⎩ ⎨ ⎧ = + = + y Cx Du x& Ax Bu (6.7) 输出能控性定义：若对任一输出 和另一输出 ，存在一个有限的 时间 和一个分段连续输入 ，能在 内使输出 转移到 ， 则称系统是输出能控的，否则称为输出不能控的。 ( ) 0 y t ( )1 y t [ , ] 0 1 t t u(t) [ , ] 0 1 t t ( ) 0 y t ( )1 y t 输出能控性判别准则：系统输出能控的充分必要条件是 rankS rank[CB CAB CA B CA B D] l n ou = = 2 L −1 (6.8) 例 6.5 判别下列系统的输出能控性。 y [ ]x x x u 1 0 2 1 2 3 4 1 = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − & = 解 因为 rankS rank[ ] CB CAB rank[ ] l ou = = 1 2 = 1 = 所以，系统是输出能控的。容易判别该系统状态是不完全能控的。 系统状态的能控性与输出能控性，没有普遍的关系。 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 7
自动控制原理电子教 6.3线性定常系统的能观性 6.3.1能观性的定义 定义:对线性定常系统,如果对任意给定的输入(1)总存在有限观测时间 1≥1,使得根据[,]期间的输出y(t),能唯一地确定系统初始时刻的状 态x(0),则称状态x(t0)是能观测的或者能观的。若系统的每一个状态都是 能观的,则称系统是状态完全能观的,或简称是能观的。 几点说明 ).因为能观测性所表示的是输出y(1)反映状态向量x(1)的能力,考虑 到控制作用所引起的输出是可以算出的,所以,分析能观测性问题时,不妨令 u≡0,这样只须从齐次状态方程和输出方程出发,即只根据A,C分析系统的 能观性 2).定义中把能观测性归结为初始状态的确定,这是因为一旦确定了初始 状态便可根据给定控制输入,利用状态转移方程,求出各个瞬时的状态 3).从输出方程可见,若y的维数等于状态x的维数,即1=n,并且C是 非奇异的,则x()=C-y(1),显然这不需要观测时间,即t1=0。当l<n,为 了能唯一地求出n个状态变量,必须在不同时刻多测量出几组输出,使之构成 n个方程式。若测量时间相隔太近,则测量值相差无几,线性方程组可能出现 奇异或接近奇异。因此为了观测某一时刻的状态需要有一定的观测时间。 对于离散系统,若根据输出信号的有限个采样周期的采样值y(k),可以唯 地确定系统的任一初始状态x(0),则称系统是状态完全能观测的,简称系统 是能观的 6.32能观性判别准则 能观性判别准则:定常线性(连续、离散)系统{A,B,C}状态完全能观的 充分必要条件是,其能观测判别矩阵S。满秩,即 例6.6已知系统的动态方程为 3125=- 分析系统的能观性 解从输出方程可见,y1=x1,y2=-x,y与x2无关。看上去系统 是不能观的,但事实上,系统是能观的,这是因为x1与x2有关。下面用能观 性判别准则判别 浙江工业大学自动化研究所
自 动 控 制 原 理 电 子 教 案 6.3 线性定常系统的能观性 6.3.1 能观性的定义 定义：对线性定常系统，如果对任意给定的输入u t 总存在有限观测时间 ，使得根据[ 期间的输出 ( ) t t 1 ≥ 0 t t 0 , 1 ] y(t) ，能唯一地确定系统初始时刻的状 态 ，则称状态 是能观测的或者能观的。若系统的每一个状态都是 能观的，则称系统是状态完全能观的，或简称是能观的。 x t( ) 0 x t( ) 0 几点说明： 1).因为能观测性所表示的是输出 y(t) 反映状态向量 x(t) 的能力,考虑 到控制作用所引起的输出是可以算出的，所以，分析能观测性问题时，不妨令 u ≡ 0，这样只须从齐次状态方程和输出方程出发，即只根据 A,C 分析系统的 能观性。 2).定义中把能观测性归结为初始状态的确定，这是因为一旦确定了初始 状态便可根据给定控制输入，利用状态转移方程，求出各个瞬时的状态。 3).从输出方程可见，若 y 的维数等于状态 x 的维数，即l = n ，并且C 是 非奇异的，则 x(t) = C−1 y(t) ，显然这不需要观测时间，即t t 1 = 0。当l < n ，为 了能唯一地求出 个状态变量，必须在不同时刻多测量出几组输出，使之构成 个方程式。若测量时间相隔太近，则测量值相差无几，线性方程组可能出现 奇异或接近奇异。因此为了观测某一时刻的状态需要有一定的观测时间。 n n 对于离散系统，若根据输出信号的有限个采样周期的采样值 ，可以唯 一地确定系统的任一初始状态 ，则称系统是状态完全能观测的，简称系统 是能观的。 y(k) x(0) 6.3.2 能观性判别准则 能观性判别准则：定常线性（连续、离散）系统 状态完全能观的 充分必要条件是,其能观测判别矩阵 满秩，即 {A, B,C} So n (6.9) CA CA C rankS rank n o = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = −1 M 例 6.6 已知系统的动态方程为 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ = ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡− ⎥ + ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − ⎥ = ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 2 1 2 1 2 1 2 1 1 0 1 0 1 1 1 3 2 1 x x y y u x x x x & & 分析系统的能观性。 解 从输出方程可见, 1 1 2 1 y = x , y = −x ， 与 无关。看上去系统 是不能观的，但事实上，系统是能观的，这是因为 与 有关。下面用能观 性判别准则判别： y 2 x x1 x2 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 8
自动控制原理电子教 所以,系统是能观的。 例6.7已知系统的动态方程为 分析系统的能观性 解乍一看,y中既有x1,又有x2,系统似乎是能观的,但事实正好相 反,因为初始状态所激励的响应为 v(0=xoe+x20e=(x10+x2o )e 显然当x10=-x0时,y()=0,不可能从y()中测出x10和x20,因此是不能观 下面用能观性判别准则判别。 所以,系统是不可观的。 从上面的例子可见,不能直观地判别系统的能观性,必须根据能观性判别 准则判别 例6.8已知系统的动态方程为 x(k+1) 分析系统的能观性 解由能观性判别准则,有 C ranks, =rank CA 203 ank 所以,系统是能观的 例6.9已知系统的动态方程为 x(k+1)=0-21x(k)+-1(k) 分析系统的能观性 浙江工业大学自动化研究所
自 动 控 制 原 理 电 子 教 案 2 0 1 0 1 1 0 1 0 2 1 2 1 1 0 1 0 = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − rankS = rank rank o 所以，系统是能观的。 例 6.7 已知系统的动态方程为 x x y [ ] 1 1 x 0 1 1 0 = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ & = 分析系统的能观性。 解 乍一看， 中既有 ，又有 ，系统似乎是能观的，但事实正好相 反，因为初始状态所激励的响应为 y x1 x2 t t t y t x e x e x x e − − − ( ) = + = ( + ) 10 20 10 20 显然当 时， ，不可能从 中测出 和 ，因此是不能观 的。 10 20 x = −x y(t) ≡ 0 y(t) x10 x20 下面用能观性判别准则判别。 1 2 1 1 1 1 = < = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ rankS = rank n o 所以，系统是不可观的。 从上面的例子可见，不能直观地判别系统的能观性，必须根据能观性判别 准则判别。 例 6.8 已知系统的动态方程为 ( ) 0 1 0 1 0 0 ( ) ( ) 0 1 2 1 2 0 2 0 3 ( 1) y k x k x k x k ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + = − − 分析系统的能观性。 解 由能观性判别准则,有 rank n CA CA C rankS rank o = = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 3 0 4 3 4 3 12 1 2 0 2 0 3 0 1 0 1 0 0 2 所以，系统是能观的。 例 6.9 已知系统的动态方程为 ( ) 1 0 0 0 0 1 ( ) ( ) 1 1 2 ( ) 3 0 2 0 2 1 1 0 1 ( 1) y k x k x k x k u k ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − + = 分析系统的能观性。 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 9
解由能观性判别准则 C rankS. =rank CA =rank 000000 =2<3=n 所以,系统是不能观的 6.3.3能观性第二判别准则 能观性第二判别准则:设线性定常系统x=Ax+Ba,y=Cx中的A阵具有重 特征值,且每一个重特征值只对应一个特征向量,则系统状态完全能观的充要 条件是经非奇异线性变换后的约当标准型 Bl 0 的C中与每个约当块J首行相对应的那些列,其元素不全为零 作为特例,当A阵具有互不相同的特征值时,则其状态完全能观的充分必 要条件是经非奇异线性变换后的对角线标准形 的c中不含有元素全为零的列。 根据能观性第二判别准则,不难看出下列系统的能观性。这里要注意特征 值互不相同这个条件。 (1)文=0-50y=645系统完全能观 00-1 0 0 002 y=B320}系统不完全能观 (3) y=pok系统完全能观 (4)x= y=p系统不完全能观 310 (5)x=0-30 系统完全能观 浙江工业大学自动化研究所
自 动 控 制 原 理 电 子 教 案 解 由能观性判别准则 rank n CA CA C rankS rank o = < = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 2 3 2 0 3 9 0 1 1 0 1 3 0 2 1 0 0 0 0 1 2 所以，系统是不能观的。 6.3.3 能观性第二判别准则 能观性第二判别准则：设线性定常系统 x& = Ax + Bu, y = Cx 中的 阵具有重 特征值，且每一个重特征值只对应一个特征向量，则系统状态完全能观的充要 条件是经非奇异线性变换后的约当标准型 A y Cx x Bu J J J x k = + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = L M O M L & 0 0 2 1 (6.10) 的C 中与每个约当块 J 首行相对应的那些列，其元素不全为零。 i 作为特例，当 阵具有互不相同的特征值时，则其状态完全能观的充分必 要条件是经非奇异线性变换后的对角线标准形 A y Cx x x Bu n = + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = λ λ λ L M O M L & 0 0 2 1 (6.11) 的c 中不含有元素全为零的列。 根据能观性第二判别准则，不难看出下列系统的能观性。这里要注意特征 值互不相同这个条件。 （1） x x y [6 4 5 x 系统完全能观 0 0 1 0 5 0 7 0 0 = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − & = ] （2） x x y [3 2 0]x 系统不完全能观 0 0 1 0 5 0 7 0 0 = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − & = （3） x x y [1 0]x 系统完全能观 0 2 2 1 = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − & = （4） x x y [0 1]x 系统不完全能观 0 2 2 1 = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − & = （5） x x y x 系统完全能观 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 3 0 3 1 0 & 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 10