《数学分析》课程教学课件（PPT讲稿）第二十一章 重积分 第三节 格林公式曲线积分与路线的无关

lxdy,其中曲线AB是半径为r的圆在例1 计算ABy第一象限部分(图21-16)A解对半径为r的四分之一圆域D,应用格林公式：D-[ do-d, xdy0LBxD[xdy+ (,xdy+ Irxdy.图21-16JOABO由于[o,xdy=0,[xdy=0,因此OAB1[, xdy = -{[ do =--元r?AB4D前页后页返回

前页 后页 返回 第一象限部分(图21-16). 解 对半径为 r的四分之一圆域 D, 应用格林公式: d d L D  x y − − =   d d d . OA AB BO = + + x y x y x y    由于 d 0, d 0, OA BO x y x y = =   因此 1 2 d d π . AB 4 D x y r = − = −    例1 计算 d , AB x y  其中曲线 AB 是半径为r的圆在 O x 图 21 16 − L − B A D y

例2 计算 I =d, xdy- ydx其中L为任一不包含原9ix'+y点的闭区域的边界线解因为ay-xx福x?+ y)(x +y")?axa(yjy2-x?丽++y它们在上述区域D上连续且相等，于是前页后页返回

前页 后页 返回 例2 计算 2 2 d d , L x y y x I x y − = +  其中L 为任一不包含原 点的闭区域的边界线. 解 因为 2 2 2 2 2 2 2 , ( ) x y x x x y x y  −   =      + + 2 2 2 2 2 2 2 , ( ) y y x y x y x y  − −   =    + +   它们在上述区域 D 上连续且相等, 于是

[()()dg=0,2所以由格林公式立即可得I = 0.在格林公式中,令P=-y,Q=x,则得到一个计算平面区域D的面积S,的公式：S, - J do--9, xdy- ydx.(2)D后页返回前页

前页 后页 返回 2 2 2 2 d 0, D x y x y x y x y      −       − =           + +    所以由格林公式立即可得 I = 0. 在格林公式中, 令 P y Q x = − = , , 则得到一个计算平 面区域 D 的面积 SD 的公式: 1 d d d . 2 D L D S x y y x = = −    (2)