《数学分析》课程教学课件（PPT讲稿）第二十一章 重积分 第三节 格林公式曲线积分与路线的无关

dp[%do =$, P(x, )dx.ayD将上述两个结果相加即得(0.0P)ddo = Φ, Pdx + Qdy.(axQy0L(ii)若区域D 是由一条LDD按段光滑的闭曲线围成D3L且可用几段光滑曲线将图 21-14D分成有限个既是x型后页返回前页

前页 后页 返回 d ( , )d . L D P P x y x y   − =    将上述两个结果相加即得 d d d . L D Q P P x Q y x y      − = +         (ii) 若区域 D 是由一条 按段光滑的闭曲线围成, 且可用几段光滑曲线将 D 分成有限个既是x 型 图 21 14 − L3 D1 L2 L1 D3 D2

又是y型的子区域(如图21-14),则可逐块按(i)得到它们的格林公式，然后相加即可如图21-14所示的区域D，可将它分成三个既是x型又是y型的区域 Di,D,,D.于是apada1axayDapapapaQaQaQdgda+da+axaxayaxayayD,D3D后页返回前页

前页 后页 返回 又是 y 型的子区域(如图21-14), 则可逐块按 (i)得到 它们的格林公式, 然后相加即可. 如图21-14 所示的区域 D, 可将它分成三个既是x 型又是y型的区域 1 2 3 D D D ,. 于是 d D Q P x y      −        1 2 3 ddd D D D Q P Q P Q P x y x y x y              = − + − + −                     

-$, Pdx + Qdy + Φ, Pdx + Qdy + $, Pdx + Qdy= Φ, Pdx + Qdy.门(ii)若区域D由几条闭曲线EGCDF所围成,如图21-15所示.这L,B时可适当添加线段AB,CE把区域化为(i)的情形来处图21-15理.在图21-15中添加了AB,CE 后,D 的边界则由 AB,L,,BA,AFC,CE,L,EC后页返回前页

前页 后页 返回 1 2 3 d d d d d d L L L = + + + + + P x Q y P x Q y P x Q y    d d . L = + P x Q y  (iii) 若区域 D 由几条闭曲线 所围成, 如图21-15 所示. 这 把区域化为(ii)的情形来处 图 21 15 − L1 D L3 L2 C A B E F G 时可适当添加线段 AB CE , , 理. 在图21-15中添加了 AB, 后, D 的边界则由 2 3 CE AB L BA AFC CE L EC , , , , ,

及CGA 构成.由(ii)知ap1%doay++J((Pdx + Qdy)+,+++7ARJBALAFCCF-($, +9,+9, )Pax+d)=, Pdx+dy.注1并非任何单连通区域都可分解为有限多个既是x型又是y型区域的并集，例如由后页返回前页

前页 后页 返回 d D Q P x y      −          2 3 ( d d ) AB L BA AFC CE L EC CGA = + + + + + + + + P x Q y         ( ) 2 3 1 ( d d ) LLL = + + + P x Q y  d d . L = + P x Q y  注1 并非任何单连通区域都可分解为有限多个既是 x 型又是 y 型区域的并集, 例如由 及 CGA 构成. 由(ii)知

7y = x sin-,x e(0,1l; y=-l;x = 0;x =1x所围成的区域便是如此注2为便于记忆，格林公式（1）也可写成下述形式aado = d, Pdx + Qdy.axay1DPQ注3应用格林公式可以简化某些曲线积分的计算请看以下二例：后页返回前页

前页 后页 返回 3 1 y x x y x x sin , (0,1]; 1; 0; 1 x =  = − = = 所围成的区域便是如此. 注2 为便于记忆, 格林公式 (1) 也可写成下述形式: d d d . L D x y P Q  P x Q y     = +   注3 应用格林公式可以简化某些曲线积分的计算. 请看以下二例: