还有其它几多具体问题中的出现的函数y=f(x)都 具有这样的特征:与自变量的增量△x相对应的函数的 增量Ay=f(x+Ax)-f(x)可以表达为△的线性函 数Nx与Ax的高阶无穷小0(△x)的两部分和.由此,我 们引入以下概念 下
还有其它几多具体问题中的出现的函数 都 具有这样的特征：与自变量的增量 相对应的函数的 增量 可以表达为 的线性函 数 与 的高阶无穷小 的两部分和．由此，我 们引入以下概念： y f = ( ) x ∆x ∆ = y f ( x x + ∆ ) − f ( ) x ∆x A∆x ∆x o x ( ∆ )
2微分的定义 定义设函数y=f(x)在x的某个领域内有定义,当 自变量在x0处取得增量△(点x+Ax仍在该领域)时, 如果相应的函数增量△y=f(x0+Ax)-f(x0)可以表 示为 △y=AAx+O(Ax) 其中A是与x有关的而与△无关的常数,o(x)是△的 高阶无穷小(当Ax→>0),那么称函数y=f(x)在点x0 是可微的,Ax称为函数y=f(x)在点x相应于自变量 下
2.微分的定义 定义 设函数 在 的某个领域内有定义，当 自变量在 处取得增量 (点 仍在该领域 ) 时， 如果相应的函数增量 可以表 示为 y f = ( ) x 0 x 0 x ∆x 0 x x +∆ 0 0 ∆y f = + ( ) x ∆x − f (x ) ∆y = ∆A x + o(∆x), 其中A是与 有关的而与 无关的常数， 是 的 高阶无穷小(当 )，那么称函数 在点 是可微的， 称为函数 在点 相应于自变量 0 x ∆x o x (∆ ) ∆x ∆x→0 y f = ( ) x 0 x A∆x y f = ( ) x 0 x
的增量△x微分,记为,即 dy=AAr
的增量 ∆x微分，记为dy，即 dy = A∆x
3可微的条件 定理函数y=f(x)在点x处可微的充要条件是函数 y=f(x)在点x处可导且有 dy=f(x)△x 证必要性:设函数y=f(x)在点x处可微分,则 由定义,对给定的自变量的增量△相应函数的增量为 Ay=f(xo+Ax)-f(xo)=AAx+o(Ax), 即 △y A △x 下
3.可微的条件 定理 函数 在点 处可微的充要条件是函数 在点 处可导且有 0 y f = ( ) x x 0 y f = ( ) x x 0 dy = f ′( ) x ∆x. 证 必要性： 设函数 在点 处可微分，则 由定义，对给定的自变量的增量 相应函数的增量为 y f = ( ) x 0 x ∆x ∆ = y f ( ) x x 0 0 + ∆ − f (x A ) = ∆x + o(∆x), 即： ( ) , y o x A x x ∆ ∆ = + ∆ ∆
注意到: △ f(xo)=lim==lim A+ △ Ax→>0 即有 力y=f(x0)Ax 充分性:设函数y=f(x)在x处可导,即有 △ lim=f(o) 由极限与无穷小的关系:得 下
注意到： ( ) 0 0 0 ( ) lim lim , x x y o x f x A A ∆ → x x ∆ → ∆ ⎛ ⎞ ∆ ′ = = + ⎜ ⎟ = ∆ ∆ ⎝ ⎠ 即有： 0 dy = f ′( ) x ∆x. 充分性：设函数 y f = ( ) x 在 x0处可导，即有 0 0 lim ( ), x y f x ∆ → x ∆ = ′ ∆ 由极限与无穷小的关系：得