非负矩阵谱半径的一个估计 定理设A∈Rnxn非负，x∈R”为正向量. (1)如果ax≤Ax≤Bx,则a≤p(A)≤B. (2)如果ax<Ax<Bx,则a<p(A)<B. (板书)】 推论设A∈Rnxn非负.如果A有正特征向量，则其对应的特征值一定是p(A),即若 A≥0，x>0且Ax=入x,则入=p(A). http://math.ecmu.edu.cn/-jypan 12/65
非负矩阵谱半径的一个估计 定理 设 A ∈ R n×n 非负, x ∈ R n 为正向量. (1) 如果 αx ≤ Ax ≤ βx, 则 α ≤ ρ(A) ≤ β. (2) 如果 αx < Ax < βx, 则 α < ρ(A) < β. (板书) 推论 设 A ∈ R n×n 非负. 如果 A 有正特征向量, 则其对应的特征值一定是 ρ(A), 即若 A ≥ 0, x > 0 且 Ax = λx, 则 λ = ρ(A). http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 12/65
2-1-2 正矩阵及其性质 正矩阵除了具有非负矩阵的性质外，还具有一些更好的性质 引理设A∈Rnxn是正矩阵，如果存在非零向量x∈C”使得Ax=入x且川=p(A),则 Ad=p(A)l且>0. (板书) http://math.ecnu.edu.cn/-jypan 13/65
212 正矩阵及其性质 正矩阵除了具有非负矩阵的性质外, 还具有一些更好的性质 引理 设 A ∈ R n×n 是正矩阵, 如果存在非零向量 x ∈ C n 使得 Ax = λx 且 |λ| = ρ(A), 则 A|x| = ρ(A)|x| 且 |x| > 0. (板书) http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 13/65
正矩阵的模最大特征值 根据前面的引理，我们可以立即得到下面的结论。 定理设A是正矩阵，则p(A)是A的特征值，且存在正向量x∈R”使得Ax=p(A)x. 定理设A是正矩阵，则存在正向量y∈歌”使得ATy=p(A)别，即yA=p(A)y (将前面的结论作用到AT上即可) 结论：正矩阵的谱半径是特征值，且存在正的左、右特征向量. http://math.ecmu.edu.cn/-jypan 14/65
正矩阵的模最大特征值 根据前面的引理, 我们可以立即得到下面的结论. 定理 设 A 是正矩阵, 则 ρ(A) 是 A 的特征值, 且存在正向量 x ∈ R n 使得 Ax = ρ(A)x. 定理 设 A 是正矩阵, 则存在正向量 y ∈ R n 使得 A ⊺ y = ρ(A)y, 即 y ⊺A = ρ(A)y ⊺ . (将前面的结论作用到 A ⊺ 上即可) 结论: 正矩阵的谱半径是特征值, 且存在正的左、右特征向量. http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 14/65
最大特征值的几何重数 引理设A是正矩阵.如果存在非零向量x∈C”满足Ax=入x且川=p(A),则存在一 个实数0∈R使得ei0x=|d>0. (板书)】 推论设A是正矩阵.如果入是A的特征值，且入卡p(A),则<p(A),也就是说，如 果入是A的特征值，且I川=p(A),则入=p(A) (板书) 推论设A是正矩阵，则p(A)的几何重数为1. (板书)】 结论：正矩阵的谱半径是唯一模最大特征值， http://math.ecmu.edu.cn/-jypan 15/65
最大特征值的几何重数 引理 设 A 是正矩阵. 如果存在非零向量 x ∈ C n 满足 Ax = λx 且 |λ| = ρ(A), 则存在一 个实数 θ ∈ R 使得 e −i θ x = |x| > 0. (板书) 推论 设 A 是正矩阵. 如果 λ 是 A 的特征值, 且 λ ̸= ρ(A), 则 |λ| < ρ(A), 也就是说, 如 果 λ 是 A 的特征值, 且 |λ| = ρ(A), 则 λ = ρ(A). (板书) 推论 设 A 是正矩阵, 则 ρ(A) 的几何重数为 1. (板书) 结论: 正矩阵的谱半径是 唯一模最大 特征值. http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 15/65
Perron向量 由前面的结论可知，若A∈Rnxn是正矩阵，则存在唯一的正向量x∈R”使得 Ax=p(A)x且 ∑=1. 该向量就称为A的Perron向量， http://math.ecnu.edu.cn/-jypan 16/65
Perron 向量 由前面的结论可知, 若 A ∈ R n×n 是正矩阵, 则存在唯一的正向量 x ∈ R n 使得 Ax = ρ(A)x 且 ∑n i=1 xi = 1. 该向量就称为 A 的 Perron 向量. http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 16/65