数值分析 第三讲线性最小二乘问题 奇异值分解(SVD) 目录 3.1问题介绍 3.2 Householder变换和Givens变换 3.3QR分解 3.4奇异值分解 3.5线性最小二乘问题的求解方法 https://math.ecnu.edu.cn/-jypan/Teaching/NA
数值分析 第三讲 线性最小二乘问题 奇异值分解 (SVD) 3.1 问题介绍 3.2 Householder 变换和 Givens 变换 3.3 QR 分解 3.4 奇异值分解 3.5 线性最小二乘问题的求解方法 目录 https://math.ecnu.edu.cn/~jypan/Teaching/NA
CLEVE'S CORNER Professor SVD BY CLEVE MOLER Stanford computer science professor Gene Golub has done more than anyone to make the singular value decomposition one of the most powerful and widely used tools in modern matrix computation. Gene Golub oC APR C AL IF OR NIA 7200s anying worm compuring can be aoda的&matn probiom PROF SVD THE LINEAR ALCEURA ND GOGLE William Kahan Formaimd住E7i4 osting po情ormeto M0情Co5t相o campure wi probablno侧 Tw numbvs'ridid of dea:mn cowfs Gee Golbse pae phogaped by Poksor PM Kmxrerbeg leiden Lhiventy
3-41 奇异值分解 3.4奇异值分解 3.4.1奇异值与奇异值分解 3.4.2奇异值的性质 潘建瑜@MATH.ECNU https://math.ecnu.edu.cn/-jypan/Teaching/NA SVD不仅是矩阵计算中的重要工具之一，也是图像处理、压缩感知、机器学习、数据科 学等领域的重要技术
3-4 奇异值分解 3.4 奇异值分解 3.4.1 奇异值与奇异值分解 3.4.2 奇异值的性质 潘建瑜 @MATH.ECNU https://math.ecnu.edu.cn/~jypan/Teaching/NA SVD 不仅是矩阵计算中的重要工具之一, 也是图像处理、压缩感知、机器学习、数据科 学等领域的重要技术
3-4-1奇异值与奇异值分解 定理设A∈Cmxn(m≥n),则存在酉矩阵U∈Cmxm和V∈Cnxn使得 U'AV v", (3.1) 其中∑=diag(a1,o2,,on）∈Rnxm,且 01≥02≥..20n≥0. 分解(3.1I)称为A的奇异值分解(SVD),而01，o2,,0n则称为A的奇异值. (板书)】 http://math.ecnu.edu.cn/-jypan 4/13
3-4-1 奇异值与奇异值分解 定理 设 A ∈ C m×n (m ≥ n), 则存在酉矩阵 U ∈ C m×m 和 V ∈ C n×n 使得 U ∗AV = [ Σ 0 ] 或 A = U [ Σ 0 ] V ∗ , (3.1) 其中 Σ = diag(σ1, σ2, . . . , σn) ∈ R n×n , 且 σ1 ≥ σ2 ≥ . . . ≥ σn ≥ 0. 分解 (3.1) 称为 A 的奇异值分解 (SVD ), 而 σ1, σ2, . . . , σn 则称为 A 的奇异值. (板书) 如果 A ∈ R m×n 是实矩阵, 则 U, V 也都可以是实矩阵. http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 4/13
3-4-1奇异值与奇异值分解 定理设A∈Cmxn(m≥n,则存在酉矩阵U∈Cmxm和V∈Cnxn使得 (3.1) 其中2=diag(o1,o2,,on)∈Rmxm,且 01≥02≥.20n≥0. 分解(3.1)称为A的奇异值分解(SVD),而o1,02,,0n则称为A的奇异值. (板书)】 如果A∈Rmxn是实矩阵，则U,V也都可以是实矩阵 http://math.ecnu.edu.cn/-jypan 4/13
3-4-1 奇异值与奇异值分解 定理 设 A ∈ C m×n (m ≥ n), 则存在酉矩阵 U ∈ C m×m 和 V ∈ C n×n 使得 U ∗AV = [ Σ 0 ] 或 A = U [ Σ 0 ] V ∗ , (3.1) 其中 Σ = diag(σ1, σ2, . . . , σn) ∈ R n×n , 且 σ1 ≥ σ2 ≥ . . . ≥ σn ≥ 0. 分解 (3.1) 称为 A 的奇异值分解 (SVD ), 而 σ1, σ2, . . . , σn 则称为 A 的奇异值. (板书) 如果 A ∈ R m×n 是实矩阵, 则 U, V 也都可以是实矩阵. http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 4/13