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华东师范大学：《矩阵计算》课程教学资源（讲义）矩阵计算课堂讲义 Matrix Computations（主讲：潘建瑜）

第一讲线性代数基础第二讲线性方程组直接方法第三讲线性最小二乘问题第四讲非对称特征值问题第五讲对称特征值问题第六讲线性方程组定常迭代法第七讲 Krylov子空间迭代法第八讲特征值问题的迭代解法附录A IEEE浮点运算标准附录B 数值计算中的误差附录C 高性能计算 – 科学计算软件介绍

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文档详细内容（约273页）

仅供课堂教学使用，请勿外传目录第零讲引言 1 0.1 计算数学介绍 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0.2 数值线性代数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 第一讲线性代数基础 5 1.1 线性空间与内积空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1 线性空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2 内积空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.3 正交与正交补 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 矩阵与投影 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.1 矩阵的秩 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.2 特征值与特征向量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.3 特征值的粗略估计 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.4 不变子空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.5 投影变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3 向量范数与矩阵范数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3.1 向量范数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3.2 矩阵范数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.3.3 谱半径与范数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.3.4 最佳逼近与正交投影 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.4 矩阵标准型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.4.1 Jordan 标准型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.4.2 Schur 分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.5 几类特殊矩阵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.5.1 对称正定矩阵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.5.2 对角占优矩阵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.5.3 不可约矩阵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.6 Kronecker 积 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 iii

仅供课堂教学使用，请勿外传 · iv · 目录第二讲线性方程组直接方法 33 2.1 LU 分解与 Gauss 消去法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.1.1 LU 分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.1.2 LU 分解的实现 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.1.3 Gauss 消去法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.1.4 选主元 LU 分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.1.5 矩阵求逆 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.1.6 分块 LU 分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.2 特殊方程组的求解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.2.1 对称正定线性方程组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.2.2 对称不定线性方程组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.2.3 三对角线性方程组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.2.4 带状线性方程组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.2.5 Toeplitz 线性方程组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.3 扰动分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.3.1 矩阵条件数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.3.2 δx 与 xˆ 的关系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.3.3 δx 与 x∗ 的关系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.3.4 δx 与残量的关系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.3.5 相对扰动分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.4 误差分析 * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.4.1 LU 分解的舍入误差分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.4.2 Gauss 消去法的舍入误差分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.5 解的改进 * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.5.1 高精度运算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.5.2 矩阵元素缩放或平衡 (Scaling or equilibration) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.5.3 迭代改进法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 第三讲线性最小二乘问题 63 3.1 问题介绍 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.1.1 超定方程组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.1.2 欠定方程组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.2 几类重要的矩阵变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.2.1 初等矩阵变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 http://math.ecnu.edu.cn/~jypan

仅供课堂教学使用，请勿外传目录 · v · 3.2.2 Gauss 变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.2.3 Householder 变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.2.4 Givens 变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.2.5 正交变换的舍入误差分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.3 QR 分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.3.1 QR 分解的存在性与唯一性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.3.2 基于 MGS 的 QR 分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.3.3 基于 Householder 变换的 QR 分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.3.4 列主元 QR 分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.3.5 基于 Givens 变换的 QR 分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.3.6 QR 分解的稳定性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.4 奇异值分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.4.1 奇异值，奇异向量和奇异值分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.4.2 奇异值基本性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.4.3 奇异值更多性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 3.4.4 奇异值扰动分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 3.5 线性最小二乘问题的求解方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 3.5.1 正规方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 3.5.2 Cholesky 分解法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 3.5.3 QR 分解法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.5.4 奇异值分解法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.6 广义逆与最小二乘 * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.6.1 广义逆 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.6.2 广义逆基本性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.6.3 广义逆的计算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 3.6.4 广义逆与线性最小二乘 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 3.6.5 左逆和右逆 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 3.7 最小二乘扰动分析 * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 3.8 推广与应用 * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 3.8.1 最小二乘问题的推广 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 3.8.2 最小二乘问题的应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 http://math.ecnu.edu.cn/~jypan

仅供课堂教学使用，请勿外传 · vi · 目录第四讲非对称特征值问题 100 4.1 幂迭代法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 4.1.1 算法介绍 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 4.1.2 收敛性分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 4.1.3 位移策略 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4.2 反迭代法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 4.2.1 算法介绍 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 4.2.2 Rayleigh 商迭代 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 4.3 正交迭代法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 4.4 QR 迭代法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 4.4.1 QR 迭代与幂迭代的关系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 4.4.2 QR 迭代与反迭代的关系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 4.4.3 QR 迭代与正交迭代的关系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 4.4.4 QR 迭代的收敛性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 4.4.5 带位移的 QR 迭代法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 4.5 带位移的隐式 QR 迭代法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 4.5.1 上 Hessenberg 矩阵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 4.5.2 隐式 QR 迭代 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 4.5.3 位移的选取 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 4.5.4 收缩 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 4.6 特征向量的计算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 4.7 广义特征值问题 * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 4.7.1 广义特征值基本理论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 4.7.2 广义 Schur 分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 4.7.3 QZ 迭代法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 4.8 应用 * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 4.8.1 多项式求根 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 4.8.2 Goolge 网页排名：PageRank . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 第五讲对称特征值问题 125 5.1 Jacobi 迭代法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 5.2 Rayleigh 商迭代法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 5.3 对称 QR 迭代法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 5.4 分而治之法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 http://math.ecnu.edu.cn/~jypan

仅供课堂教学使用，请勿外传目录 · vii · 5.5 对分法和反迭代法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 5.6 奇异值分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 5.6.1 二对角化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 5.6.2 Golub-Kahan SVD 算法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 5.6.3 dqds 算法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 5.6.4 Jacobi 算法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 5.7 扰动分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 5.7.1 特征值与 Rayleigh 商 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 5.7.2 对称矩阵特征值的扰动分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 5.7.3 对称矩阵特征向量的扰动 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 5.7.4 Rayleigh 商逼近 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 5.7.5 相对扰动分析 * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 5.8 应用 * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 5.8.1 SVD 与图像压缩 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 第六讲线性方程组定常迭代法 154 6.1 定常迭代法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 6.2 矩阵分裂迭代法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 6.2.1 Jacobi 迭代法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 6.2.2 Gauss-Seidel 迭代法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 6.2.3 SOR 迭代法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 6.2.4 SSOR 迭代法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 6.2.5 AOR 迭代法 * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 6.2.6 Richardson 迭代法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 6.2.7 分块迭代法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 6.3 收敛性分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 6.3.1 基本概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 6.3.2 不可约对角占优矩阵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 6.3.3 对称正定矩阵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 6.3.4 相容次序矩阵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 6.4 应用: Poisson 方程求解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 6.4.1 一维 Poisson 方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 6.4.2 二维 Poisson 方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 6.4.3 收敛性分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 http://math.ecnu.edu.cn/~jypan

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