模最大特征值的代数重数 引理设A∈Rnxm是正矩阵，x,y∈Rn分别为p(A)的左，右正特征向量，且xy=1,即 Ax=p(A)x,Ay=p(A)y,y=1. 定义矩阵L≌xy,则L>0且 (1)(A-p(A)L)=A-(p(A)L,k=1,2, (2)A-p(A)L的所有非零特征值均为A的特征值； (3)p(A-p(A)L<p(A)月 (4) lim p(A)1 xy'. (板书)】 http://math.ecnu.edu.cn/-jypan 17/65
模最大特征值的代数重数 引理 设 A ∈ R n×n 是正矩阵, x, y ∈ R n 分别为 ρ(A) 的左, 右正特征向量, 且 x ⊺ y = 1, 即 Ax = ρ(A)x, A ⊺ y = ρ(A)y, x ⊺ y = 1. 定义矩阵 L ≜ xy ⊺ , 则 L > 0 且 (1) (A − ρ(A) L) k = Ak − (ρ(A))k L, k = 1, 2, ...; (2) A − ρ(A)L 的所有非零特征值均为 A 的特征值; (3) ρ (A − ρ(A) L) < ρ(A); (4) lim k→∞ ( 1 ρ(A) A )k = xy ⊺ . (板书) http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 17/65
模最大特征值的代数重数(Cont.) 定理设A∈Rn×m是正矩阵，则特征值p(A)的代数重数为1，即入=p(A)是A的单重 特征值. (板书) http://math.ecnu.edu.cn/-jypan 18/65
模最大特征值的代数重数 (Cont.) 定理 设 A ∈ R n×n 是正矩阵, 则特征值 ρ(A) 的代数重数为 1, 即 λ = ρ(A) 是 A 的单重 特征值. (板书) http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 18/65
Perron定理 定理(Perron定理)设A∈Rmxn是正矩阵，则 (1)p(A)>0: (2)p(A)是A的单重特征值： (3)A的所有其它特征值的模都小于p(A): (4)存在正向量x∈R”,使得Ax=p(A),同时，如果y∈R”是p(A)对应的特征向量， 则l>0: (5)1im k→00 西4=以>0其中工是正向童，满足 Ax=p(A)Z,ATy=p(A)y,y=1. http://math.ecmu.edu.cn/-jypan 19/65
Perron 定理 定理 (Perron 定理) 设 A ∈ R n×n 是正矩阵, 则 (1) ρ(A) > 0; (2) ρ(A) 是 A 的单重特征值; (3) A 的所有其它特征值的模都小于 ρ(A); (4) 存在正向量 x ∈ R n , 使得 Ax = ρ(A) x, 同时, 如果 y ∈ R n 是 ρ(A) 对应的特征向量, 则 |y| > 0; (5) lim k→∞ ( 1 ρ(A) A )k = xy ⊺ > 0 其中 x, y 是正向量, 满足: Ax = ρ(A)x, A ⊺ y = ρ(A)y, x ⊺ y = 1. http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 19/65
2-1-3 非负矩阵的更多性质 正矩阵的一些性质可以推广到非负矩阵情形 引理设A∈Rnxn非负，则 (1)p(A)是A的特征值： (2)存在向量x≥0和y≥0，使得 Ax=p(A)z,Ay=p(A)y. (板书)】 需要指出的是，正矩阵的谱半径一定是正的，但非负矩阵可能为0，如零矩阵 http://math.ecnu.edu.cn/-jypan 20/65
213 非负矩阵的更多性质 正矩阵的一些性质可以推广到非负矩阵情形. 引理 设 A ∈ R n×n 非负, 则 (1) ρ(A) 是 A 的特征值; (2) 存在向量 x ⪈ 0 和 y ⪈ 0, 使得 Ax = ρ(A)x, A ⊺ y = ρ(A)y. (板书) ✍ 需要指出的是, 正矩阵的谱半径一定是正的, 但非负矩阵可能为 0, 如零矩阵 http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 20/65
谱半径的性质 引理设A∈Rmxm非负.如果存在实数a∈R和向量x∈R”,使得x≥0且Ax≥ax, 则p(A)≥a. (板书) 注意该结论与之前非负矩阵性质的区别：前面要求x>0,而此处只要求x≥0. 8思考：设A非负，存在B>0和向量x≥0，使得Ax≤B红则是否有p(A)≤？ http://math.ecmu.edu.cn/-jypan 21/65
谱半径的性质 引理 设 A ∈ R n×n 非负. 如果存在实数 α ∈ R 和向量 x ∈ R n , 使得 x ⪈ 0 且 Ax ≥ αx, 则 ρ(A) ≥ α. (板书) ✍ 注意该结论与之前非负矩阵性质的区别: 前面要求 x > 0, 而此处只要求 x ⪈ 0. 思考：设 A 非负, 存在 β > 0 和向量 x ⪈ 0, 使得 Ax ≤ βx, 则是否有 ρ(A) ≤ β? http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 21/65