线性方程组。迭代方法与预处理 第二讲非负矩阵与M矩阵 目录 2.1 非负矩阵 2.2 不可约非负矩阵 2.3 M矩阵和单调矩阵
线性方程组 • 迭代方法与预处理 第二讲 非负矩阵与 M-矩阵 2.1 非负矩阵 2.2 不可约非负矩阵 2.3 M-矩阵和单调矩阵 目录
参考资料 关于非负矩阵的相关参考资料 Berman Plemmons,Nonnegative Matrices in the Mathematical Sciences,1994. Horn Johnson,Matrir Analysis,1985. 张谋成，黎稳，非负矩阵论，广东高教出版社，广州，1995 如非特别指出，本讲中涉及的矩阵都是指实数矩阵， http://math.ecmu.edu.cn/-jypan 3/65
参考资料 关于非负矩阵的相关参考资料 Berman & Plemmons, Nonnegative Matrices in the Mathematical Sciences, 1994. Horn & Johnson, Matrix Analysis, 1985. 张谋成, 黎稳, 非负矩阵论, 广东高教出版社, 广州, 1995. 如非特别指出, 本讲中涉及的矩阵都是指实数矩阵. http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 3/65
2-11 非负矩阵 元素都是非负实数的矩阵称为非负矩阵，元素都是正实数的矩阵称为正矩阵 2.1非负矩阵 2.1.1 非负矩阵基本性质 2.1.2 正矩阵及其性质 2.1.3非负矩阵更多性质 http://math.ecmu.edu.cn/-jypan 4/65
21 非负矩阵 元素都是非负实数的矩阵称为非负矩阵, 元素都是正实数的矩阵称为正矩阵 2.1 非负矩阵 2.1.1 非负矩阵基本性质 2.1.2 正矩阵及其性质 2.1.3 非负矩阵更多性质 http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 4/65
记号说明 设A=[a∈Rmxn,B=[b∈Rmxm,则 0A≥B表示a之b,1≤i≤m,1≤j≤n 0A>B表示a时>b,1≤i≤m,1≤j≤n OA≥B表示A≥B且A卡B )相类似地，我们可以定义记号“≤”，“<”和“≤” 。A的绝对值定义为|A=[l http://math.ecnu.edu.cn/-jypan 5/65
记号说明 设 A = [aij] ∈ R m×n , B = [bij] ∈ R m×n , 则 A ≥ B 表示 aij ≥ bij, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n A > B 表示 aij > bij, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n A ⪈ B 表示 A ≥ B 且 A ̸= B 相类似地, 我们可以定义记号 “≤”, “<” 和 “⪇” A 的绝对值定义为 |A| = [ |aij| ] http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 5/65
简单性质 定理设矩阵A,B∈Cmxn,向量x∈Cn,则 (1)A≤Al$: (2)AB≤AIB: (3)A≤1A,k=1,2, (4)IIAl =IIAI1,IIAll=IIAIll,IIAIlF=IIIAIllF; (5)A≤|B→‖A1≤IB1,Alo≤IIB,AlF≤IB\F. (留作课外自习)】 思考：结论(4和（⑤）对2-范数是否成立？ http://math.ecmu.edu.cn/-jypan 6/65
简单性质 定理 设矩阵 A, B ∈ C n×n , 向量 x ∈ C n , 则 (1) |Ax| ≤ |A| |x|; (2) |AB| ≤ |A| |B|; (3) |Ak | ≤ |A| k , k = 1, 2, . . .; (4) ∥A∥1 = ∥ |A| ∥1, ∥A∥∞ = ∥ |A| ∥∞, ∥A∥F = ∥ |A| ∥F; (5) |A| ≤ |B| =⇒ ∥A∥1 ≤ ∥B∥1, ∥A∥∞ ≤ ∥B∥∞, ∥A∥F ≤ ∥B∥F. (留作课外自习) 思考：结论 (4) 和 (5) 对 2-范数是否成立? http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 6/65