数值分析 第三讲线性最小二乘问题 QR分解 专 目录 3.1问题介绍 3.2 Householder变换和Givens变换 3.3QR分解 M 3.4奇异值分解 3.5线性最小二乘问题的求解方法 https://math.ecnu.edu.cn/-jypan/Teaching/NA
数值分析 第三讲 线性最小二乘问题 QR 分解 3.1 问题介绍 3.2 Householder 变换和 Givens 变换 3.3 QR 分解 3.4 奇异值分解 3.5 线性最小二乘问题的求解方法 目录 https://math.ecnu.edu.cn/~jypan/Teaching/NA
3-3|OR分解 3.3QR分解 3.3.1QR分解的存在性与唯一性 3.3.2基于MGS的QR分解 3.3.3基于Householder分解的QR分解 3.3.4基于Givens变换的QR分解 3.3.5 QR分解的稳定性 潘建瑜@MATH.ECNU https://math.ecnu.edu.cn/~jypan/Teaching/NA
3-3 QR 分解 3.3 QR 分解 3.3.1 QR 分解的存在性与唯一性 3.3.2 基于 MGS 的 QR 分解 3.3.3 基于 Householder 分解的 QR 分解 3.3.4 基于 Givens 变换的 QR 分解 3.3.5 QR 分解的稳定性 潘建瑜 @MATH.ECNU https://math.ecnu.edu.cn/~jypan/Teaching/NA
QR分解 A-QR 全Q分解是将一个矩阵分解一个正交矩阵（酉矩阵）和一个三角矩阵的乘积 空Q分解被广泛应用于线性最小二乘问题的求解和矩阵特征值的计算 http://math.ecnu.edu.cn/-jypan 3/25
QR 分解 A = QR QR 分解是将一个矩阵分解一个正交矩阵 (酉矩阵) 和一个三角矩阵的乘积. QR 分解被广泛应用于线性最小二乘问题的求解和矩阵特征值的计算. http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 3/25
3-3-1QR分解的存在性与唯一性 定理设A∈Cmxn(m之n,则存在一个单位列正交矩阵Q∈Cmxm(即Q*Q=Inxn) 和一个上三角矩阵R∈Cnxn,使得 A=QR (3.1) 若A列满秩，则存在一个具有正对角线元素的上三角矩阵R使得(3.1)成立，且此时QR 分解唯一，即Q和R都唯一 多存在性可通过构造法证明 假定A列满秩，记A=[a1,a2,.·,an]∈Cmx”,则QR分解就是对A的列向量组进行 Gram-Schmidt正交化过程 http://ath.ecnu.edu.cn/-jypan 4/25
3-3-1 QR 分解的存在性与唯一性 定理 设 A ∈ C m×n (m ≥ n), 则存在一个单位列正交矩阵 Q ∈ C m×n (即 Q∗Q = In×n) 和一个上三角矩阵 R ∈ C n×n , 使得 A = QR (3.1) 若 A 列满秩, 则存在一个具有正对角线元素的上三角矩阵 R 使得 (3.1) 成立, 且此时 QR 分解唯一, 即 Q 和 R 都唯一. 存在性 可通过构造法证明. 假定 A 列满秩, 记 A = [a1, a2, . . . , an] ∈ C m×n , 则 QR 分解就是对 A 的列向量组进行 Gram-Schmidt 正交化过程. http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 4/25
算法Gram-Schmidt过程 1:r11=llaill2 2:q1=a1/T11 3:for j=2 to n do 4: qi=aj 5: for i=1toj-1 do 6: r)=aj%g表示共轭转置 7: qj=qi-rijqi 8: end for 9 ris llgjlle 10: 4贴=巧/T方 11:end for http://math.ecnu.edu.cn/-jypan 5/25
算法 Gram-Schmidt 过程 1: r11 = ∥ a 1 ∥ 2 2: q 1 = a 1 / r11 3: for j = 2 to n do 4: qj = a j 5: for i = 1 to j − 1 do 6: rij = q ∗i a j % q ∗i 表示共轭转置 7: qj = qj − rij q i 8: end for 9: rjj = ∥ qj ∥ 2 10: qj = qj / rjj 11: end for http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 5/25