体积 、旋转体的体积 旋转体就是由一个平面图形绕这平面内 条直线旋转一周而成的立体。这直线叫做 旋转轴 圆柱 圆锥 圆台
旋转体就是由一个平面图形绕这平面内 一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做 旋转轴． 圆柱 圆锥 圆台 体 积 一、旋转体的体积
一般地,如果旋转体是由连续曲线y=f(x)、 直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形绕 x轴旋转一周而成的立体,体积为多少? 取积分变量为x, x∈[a,b 在[a,b上任取小区 间[x,x+xl, a lxde b 取以为底的窄边梯形绕轴旋转而成的薄 片的体积为体积元素,=叫f(x) 旋转体的体积为 alf(x)idx
一般地，如果旋转体是由连续曲线y = f (x)、 直线x = a、x = b及x 轴所围成的曲边梯形绕 x轴旋转一周而成的立体，体积为多少？ 取积分变量为x ， x[a,b] 在[a,b]上任取小区 间[x, x + dx]， 取以dx为底的窄边梯形绕x 轴旋转而成的薄 片的体积为体积元素， dV f x dx 2 = [ ( )] 旋转体的体积为 V f x dx b a 2 [ ( )] = x y o y = f (x) x x + dx
类似地,由连续曲线x=g(y),及直线y=c,y=d,x=0 所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周所成的立体的体积 为 V=r(y)dy 例1求椭圆 × =o(y 所围成的平面图形分别绕x 轴和y轴旋转一周所成的旋 转体(旋转椭球体)的体积
x = ( y),及直线y = c, y = d, x = 0 所围成的曲边梯形绕 y 轴旋转一周所成的立体的体积 为 = d c V ( y)dy 2 x y o x = ( y) c d 例1 求椭圆 1 2 2 2 2 + = b y a x 所围成的平面图形分别绕 x 轴和 y 轴旋转一周所成的旋 转体（旋转椭球体）的体积 类似地，由连续曲线
解①这个旋转体可以看成是由半个椭圆 a-x 及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转而成的立体 b 2Va'-x dx=rab 3 ②与上同理椭球体也可以看成由半个椭圆 b 及y轴围成的平面图形绕y轴旋转而成的立体
①这个旋转体可以看成是由半个椭圆 2 2 a x a b y = − 及 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转而成的立体 a x dx a b V a a 2 2 2 2 1 = − − 2 3 4 = ab ②与上同理 椭球体也可以看成由半个椭圆 2 2 b y b a x = − 及 y 轴围成的平面图形绕 y 轴旋转而成的立体 解
2 2=zJ2√b2-y24=,m2b 3 特别当a=b时旋转体成为球体 3 二V2 3 例2求星形线x3+y3=m3(a>0)绕x轴旋转 构成旋转体的体积 3 2 解 x∈|-u,a
b y dy b a V b b 2 2 2 2 2 = − − a b 2 3 4 = 特别当 a = b 时 旋转体成为球体 3 1 2 3 4 V =V = a 例 2 求星形线 3 2 3 2 3 2 x + y = a (a 0)绕x轴旋转 构成旋转体的体积. 解 , 3 2 3 2 3 2 y = a − x 3 3 2 3 2 2 y = a − x x[−a, a]