定积分在物理学中的应用 前面我们已经介绍了定积分在几何方 面的应用,我们看到,在利用定积分解决几 何上诸如平面图形的面积、平面曲线的弧长 旋转体的体积等问题时,关键在于写出所求 量的微元 定积分在物理方面的应用的关键也是 如此,希望大家注意如何写出所求量的微元 微功、微压力、徼引力等
定积分在物理学中的应用 前面我们已经介绍了定积分在几何方 面的应用，我们看到，在利用定积分解决几 何上诸如平面图形的面积、平面曲线的弧长、 旋转体的体积等问题时，关键在于写出所求 量的微元 定积分在物理方面的应用的关键也是 如此，希望大家注意如何写出所求量的微元 ——微功、微压力、微引力等
、变力沿直线作功 由物理学知道,如果一个物体在常力F 作用下,使得物体沿力的方向作直线运动 物体有位移s时,力F对物体所作的功为: W=F*s 这个公式只有在力F是不变的情况下才 适用,但在实际问题中,物体在运动过程中 所受到的力是变化的。下面我们通过例子来 说明如何利用微元法来求变力所作的功。 例1已知弹簧每伸长0.02m要用9,8N的力, 求把弹簧拉长0,1m需作多少功
由物理学知道，如果一个物体在常力F 作用下，使得物体沿力的方向作直线运动 ， 物体有位移 s 时，力F对物体所作的功为： W=F*s 这个公式只有在力F是不变的情况下才 适用，但在实际问题中，物体在运动过程中 所受到的力是变化的。下面我们通过例子来 说明如何利用微元法来求变力所作的功。 例1 已知弹簧每伸长 0.02 m 要用 9,8 N 的力， 求把弹簧拉长 0,1 m 需作多少功 一、变力沿直线作功
解当我们拉长弹簧时,需要克服弹性力 作功,由Hoke定律,弹性力F与伸长 量x之间有函数关系:F=kx k—弹性系数 由题设98=0.02kk=490F=490 要求的是变力所作的功用微元法 取x为积分变量积分区间为0,0,11 v[x,x+dlc|0,0,11 弹簧由x处拉到x+k处,由F(x) 的连续性,当很小时,弹性力F(x)变 化很小,可近似地看作是不变的(常力)
当我们拉长弹簧时，需要克服弹性力 作功，由 Hoke 定律，弹性力F与伸长 量 x 之间有函数关系：F=kx k ——弹性系数 用微元法 由题设 9.8=0.02k k= 490 要求的是变力所作的功 F=490x 取 x 为积分变量 积分区间为 [0 ,0.1] [x, x + dx] [0,0.1] 弹簧由 x 处拉到 x +dx 处，由 F (x ） 的连续性，当 dx 很小时，弹性力F (x) 变 化很小，可近似地看作是不变的（常力） 解
于是在小区间[x,x+x]上对应的变 力F所作的功近似于把变力F看作常力 F=490x所作的功 dw= F(xdx=490xdx 0.1 H=」490xd=245() 例2发射火箭需要计算克服地球引力所 作的功,设火箭的质量为m,问将火箭 垂直地向上发射到离地面高H时,需作 多少功。并由此计算初速度至少为多少 时,方可使火箭脱离地球的引力范围
于是在小区间 [x， x +dx ]上对应的变 力F所作的功近似于把变力F看作常力 F =490x 所作的功 dW = F(x)dx = 490xdx ( ) = = 0.1 0 W 490xdx 2.45 J 例2 发射火箭需要计算克服地球引力所 作的功，设火箭的质量为 m ，问将火箭 垂直地向上发射到离地面高H 时，需作 多少功。并由此计算初速度至少为多少 时，方可使火箭脱离地球的引力范围
解取Ox轴竖直向上 地球半径设为R质量为M,由万有引力定律, 火箭所受地球的引力f=k X R+H 随火箭发射的高度x而变化 当火箭在地面上即x=R时 火箭所受的引力就是火箭的重力mg mM k-,=mg,→MM=pP2 R 代入上 f=mgR2·-2 为了发射火箭,必须克服地球引力, 克服地球引力的外力F与∫大小相等
解 取 ox 轴竖直向上 x o R R+H 地球半径设为R 质量为M，由万有引力定律， 即 x =R 时 火箭所受的引力就是火箭的重力mg 2 x mM 火箭所受地球的引力 f = k 随火箭发射的高度 x 而变化 当火箭在地面上 2 2 mg, kM gR R mM k = = 代入上式 2 2 1 x f = mgR 为了发射火箭，必须克服地球引力， 克服地球引力的外力F与 f 大小相等