来,由此我们可以将整个复平面上的点分为若干类型,具体地说有如 下定义 定义2设X是复空间,A:X→X是线性算子,A∈C (1)若-A是正则算子,称A是A的正则点,A的正则点的 全体记为p(A),称p(4A)为A的正则集 (2)若M-A不是正则算子,称λ是A的谱点,A的谱点的全 体记为a(A),称σ(A)为A的谱集 (3)特别地,若M-A不是可逆的(即a-A不是一一的),称 几为A的特征值,A的特征值的全体记为on(A (4)若M-A可逆,但不是到上的,而值空间R(AI-A)在X中 稠密,则称λ为A的连续谱,连续谱的全体记为。(A), (5)若a-A可逆,而值空间R(AI-A)不在X中稠密,则称λ 为A的剩余谱,其全体记为σ(A) σn(4),σ(A),G(A)分别称为A的点谱,连续谱和剩余谱集 此外,若(-A)-存在,则称R(,A)=(-A)-是A的预解式 明显地,若∈p(4),则存在x≠0使得(-A)x=0,此时称 x是A的相应于A的特征向量.称N(M-A)是A的相应于A的特征 向量空间 由定义还知道复平面C=p(4)Ua(4)并且p(A)∩a(4)=⑧.另 外G,(A),(A),,(A互不相交并且 o(4)=a2(4)Ua(4)U(4) 算子谱的概念和算子方程的解的状况有直接联系算子方程解的 存在性,唯一性乃至解关于所给初始条件的连续依赖性都可以由谱来 决定 6
6 来，由此我们可以将整个复平面上的点分为若干类型， 具体地说有如 下定义. 定义 2 设 X 是复空间， A：X → X 是线性算子， λ ∈C . (1) 若 λI − A 是正则算子，称 λ 是 A 的正则点， A 的正则点的 全体记为 ρ(A)，称 ρ(A)为 A 的正则集. (2) 若 λI − A不是正则算子， 称 λ 是 A 的谱点， A 的谱点的全 体记为 σ (A)，称 σ (A)为 A 的谱集. (3) 特别地, 若 λI − A 不是可逆的(即 λI − A 不是一一的)， 称 λ 为 A 的特征值， A 的特征值的全体记为 (A) σ p . (4) 若 λI − A可逆，但不是到上的，而值空间 R( ) λI A − 在 X 中 稠密，则称 λ 为 A 的连续谱，连续谱的全体记为 (A) σ c ， (5) 若 λI − A可逆，而值空间 R( ) λI A − 不在 X 中稠密，则称 λ 为 A 的剩余谱，其全体记为 ( ) σ r A . (A) σ p , (A) σ c , ( ) σ r A 分别称为 A 的点谱, 连续谱和剩余谱集. 此外, 若 1 ( ) − λI − A 存在，则称 1 ( , ) ( ) − R λ A = λI − A 是 A 的预解式. 明显地, 若 (A) λ ∈σ p ，则存在 x ≠ 0 使得 (λI − A)x = 0， 此时称 x 是 A 的相应于 λ 的特征向量. 称 N(λI − A) 是 A 的相应于 λ 的特征 向量空间. 由定义还知道复平面 C = ρ(A) ∪σ (A) 并且 ρ() () A A ∩σ = ∅ . 另 外 (A) σ p ， ( ), ( ), σ c r A A σ 互不相交并且 () () () () σ A AAA = σσσ pcr ∪ ∪ . 算子谱的概念和算子方程的解的状况有直接联系.算子方程解的 存在性，唯一性乃至解关于所给初始条件的连续依赖性都可以由谱来 决定
定理4设X是 Banach空间,A∈B(X) 1)A∈p(A)当且仅当非齐次方程 (l-A)x=y (5-1-3) 对于任何ν∈X的解存在,唯一.此时存在常数c>0使得 ‖x|cy‖,其中x是与y相应的(5-1-3)的解 (2)∈n(4)当且仅当齐次方程 (a-A)x=0 有非0解 (3)A∈a(A)∪a(A)当且仅当齐次方程(5-1-4)有唯一0解而相 应的非齐次方程(5-1-3)不是对于每个y∈X有解 证明1°4∈p(A),则(4-A)∈B(X)并且 (-A)(-A)=I,故 x=(-A)(-A)x=(4-A)y, 并且 x‖=(AI-A)ys‖(I-A)-1Ⅲy‖ 由于当y=0时x=0,故解是唯一的 反之,若所说的条件成立,当y=0时,x=0,即方程 (-A)x=0有唯一的0解或N(-A)x={0}M-A是一一映射, (/-A)存在,(-A)x=y对于每个y有解,故A-A是到上的, 由定理1(4)知a-A是正则算子,即∈p(A) 2°若A∈n(4),则石-A不可逆(不是一一的),于是存在 ,x2∈X ≠x (-A)x1=(/-A)x2 从而 (-A)(x1-x2)=0,x1-x2≠0.即齐次方程有非0解.反之若 x∈X,x≠0,(-A)x=0,但显然(-A)0=0,故A-A不是
7 定理 4 设 X 是 Banach 空间， A∈ Β(X ) . (1) λ ∈ ρ(A) 当且仅当非齐次方程 ( ) λI − = Ax y (5-1-3) 对于任何 y X ∈ 的解存在，唯一 . 此时存在常数 c > 0 使 得 || || || || x ≤ c y ，其中 x 是与 y 相应的(5-1-3)的解. (2) (A) λ ∈σ p 当且仅当齐次方程 (λI − A)x = 0 (5-1-4) 有非 0 解. (3) () () λ ∈σ σ c r A A ∪ 当且仅当齐次方程(5-1-4)有唯一 0 解而相 应的非齐次方程(5-1-3)不是对于每个 y X ∈ 有解. 证 明 D 1 λ ∈ ρ(A) , 则 ( ) ( ) 1 I − A ∈ Β X − λ 并 且 I − A I − A = I − ( ) ( ) 1 λ λ ，故 1 1 x ( )( ) ( ) λλ λ I A I Ax I A y − − =− − =− ， 并且 1 1 || || || ( ) || || ( ) || x IAy IA λ λ − − =− ≤− || || y 由于当 y = 0时 x = 0，故解是唯一的. 反之，若所说的条件成立，当 y = 0 时 ， x = 0 ，即方程 (λI − A)x = 0有唯一的 0 解或 N(λI − A)x = {0}. λI − A是一一映射， 1 ( ) − λI − A 存在， ( ) λI − = Ax y 对于每个 y 有解，故 λI − A是到上的， 由定理 1(4)知 λI − A是正则算子，即 λ ∈ ρ(A) . D 2 若 (A) λ ∈σ p ， 则 λI − A 不可逆 (不是一一的 ),于是存在 x1 , x2 ∈ X ， 1 2 x ≠ x ， 1 2 (λI − A)x = (λI − A)x ，从而 ( )( ) 0 λI − A x1 − x2 = ， 0 x1 − x2 ≠ . 即齐次方程有非 0 解 . 反之若 x ∈ X ， x ≠ 0 ， (λI − A)x = 0，但显然 (λI − A)0 = 0 ，故 λI − A不是