《经济数学基础》课程PPT教学课件（线性代数）第四章 线性方程组

第四章 线性方程组 一.高斯消元法 二.齐次线性方程组 三.非齐次线性方程组

1 第四章 线性方程组 一. 高斯消元法 二. 齐次线性方程组 三. 非齐次线性方程组

一.高斯消元法 设一般线性方程组为 411X1 L12X2 十 + = b L21X1 + 422X2 十. S : : : (1) amx1 + 0m2t2 三 02 则称矩阵A= 21 为方程组()的系数矩阵。 m2 mn 2

2 一. 高斯消元法 设一般线性方程组为 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 (1) n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b  + + + =   + + + =     + + + = 则称矩阵 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a A a a a     =         为方程组(1)的系数矩阵

1 12 ain 称矩阵B=(A,b)= a2i a22 a2n : Am2 Amn 为方程组()的增广矩阵。 当b=0(i=1,2,.,m)时，齐次线性方程组 411x1+012X2 十 ainXn 0 421x1 L22X2 。 + 0 (2) : am2X2 3 0 称为方程组（1)的导出组， 或称为（1)对应的齐次线性方程组。 3

3 称矩阵 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 ( , ) n n m m mn m a a a b a a a b B A b a a a a     = =         为方程组(1)的增广矩阵。 称为方程组（1）的导出组， 或称为（1）对应的齐次线性方程组。 当 0 ( 1,2, , ) i b i m = = 时,齐次线性方程组 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0 0 (2) 0 n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x  + + + =   + + + =     + + + =

定义：线性方程组的初等变换 (1)用一非零的数乘某一方程 (2)把一个方程的倍数加到另一个方程 (3)互换两个方程的位置 可以证明一个线性方程组经过若干次初等变换， 所得到的新的线性方程组与原方程组同解 对一个方程组进行初等变换，实际上就是对它的增广矩阵 做初等行变换 初等行变换 B=(A,b) 4

4 定义：线性方程组的初等变换 （1） 用一非零的数乘某一方程 （2） 把一个方程的倍数加到另一个方程 （3） 互换两个方程的位置 可以证明一个线性方程组经过若干次初等变换， 所得到的新的线性方程组与原方程组同解 对一个方程组进行初等变换，实际上就是对它的增广矩阵 做初等行变换 B A b = ⎯⎯→ ( , ) 初等行变换

S11 S12 Sir S1,+1 Sin t 0 S22. Sir S2,+1. S20 : : 化为行阶 梯形矩阵 0 0. S」 t 入 S,r+1. rn 0 0. 0 0 0 r+ 0 0. 0 0 0 0 : : 0 0. 0 0 0 5

5 11 12 1 1, 1 1 1 22 1 2, 1 2 2 , 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 r r n r r n rr r r rn rr s s s s s t s s s s t s s s tt +++ +     ⎯⎯→   化为行阶 梯形矩阵