第五章 矩阵的对角化问题 一.方阵的特征值与特征向量 二.相似矩阵及其性质 三.矩阵可对角化的条件 四.实对称矩阵的对角化
1 第五章 矩阵的对角化问题 一. 方阵的特征值与特征向量 二. 相似矩阵及其性质 三. 矩阵可对角化的条件 四. 实对称矩阵的对角化
一.方阵的特征值与特征向量 1定义 2.求法 3.性质 1.特征值与特征向量的定义 定义1：设A是n阶方阵， 若数人和n维非零列向量X,使得 x=x成立，则称 入是方阵A的一个特征值， 飞为方阵A的对应于特征值入的一个特征向量。 注：(A是方阵 (2)特征向量x是非零列向量 (3)方阵A的与特征值入对应的特征向量不唯一 (4)一个特征向量只能属于一个特征值
2 一. 方阵的特征值与特征向量 1. 特征值与特征向量的定义 定义1: 注： 设 A 是 n 阶方阵， 若数 和 n 维非零列向量 x ，使得 Ax x = 成立，则称 是方阵 A 的一个特征值， x 为方阵 A 的对应于特征值 的一个特征向量。 (1) A 是方阵 1.定义 2.求法 3.性质 （2）特征向量 x 是非零列向量 （4）一个特征向量只能属于一个特征值 （3）方阵 A 的与特征值 对应的特征向量不唯一
2.特征值与特征向量的求法 Ax=九x →（A-元E)x=0或（2E-A)x=0 已知X≠0，所以齐次线性方程组有非零解 台A-E=0或2E-A=0 定义2：Ann=(ag）nm’数元 411- L12 。 L21 022-λ 。 A-元E= an Ln- 是关于入的一个多项式，称为矩阵A的特征多项式
3 2. 特征值与特征向量的求法 Ax x = − = ( A E x ) 0 或 (E A x − = ) 0 已知 x 0, 所以齐次线性方程组有非零解 − = A E 0 或 E A − = 0 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a A E a a a − − − = − 定义2： ( ) , n n ij n n A a = 数 是关于 的一个多项式，称为矩阵 A的特征多项式
12 f(2)=A-E= 022- =0 : : : -2 称为矩阵A的特征方程。 求特征值、特征向量： (1)A-九E=0求出入即为特征值； (2)Ax=九x→（A-兄E)x=0 把得到的特征值入代入上式， 求齐次线性方程组(A一兄E)x=0的非零解x 即为所求特征向量
4 ( ) 11 12 1 21 22 2 1 2 0 n n n n nn a a a a a a f A E a a a − − = − = = − 称为矩阵 A 的特征方程。 求特征值、特征向量： (1) 0 A E − = 求出 即为特征值; (2) Ax x = − = ( A E x ) 0 把得到的特征值 代入上 式， 求齐次线性方程组 ( A E x − = ) 0 的非零解 x 即为所求特征向量
-1 1 例1：求矩阵A= -4 3 的特征值和全部特征向量， 10 2 解： 第一步：写出矩阵A的特征方程，求出特征值。 -1-2 1 A-AE= -4 3-兄 =0 0 2-2 (2-)(2-1)2=0 特征值为入1=2,22=23=1 第二步：对每个特征值入代入齐次线性方程组 (A-九E)x=0,求非零解。 5
5 解： 第一步：写出矩阵A的特征方程，求出特征值. 例1： 求矩阵 的特征值和全部特征向量. 1 1 0 4 3 0 1 0 2 A − = − A E − = 1 1 0 4 3 0 0 1 0 2 − − − − = − ( )( ) 2 2 1 0 − − = 特征值为 1 2 3 = = = 2, 1 第二步：对每个特征值 代入齐次线性方程组 ( A E x − = ) 0, 求非零解