第五章 数列 解析由等差数列性质得a2十a1o=a5十a,=8. a+2m,…(k,m∈N+)组成公差为md的等差数列.（√） 【思考辨析】 (3)在等差数列{a.}中，已知a3十as=10,则3a5十a,= 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画 20. (N) “√”，错误的画“×” (4)若数列{am},{b.}分别是以d1,d:为公差的等差数 (I)等差数列{a.}去掉前n项后余下的项仍组成等差 列，则数列{pan十gbn}(p,q是常数)是以pd1十qd2为公差 数列. (/) 的等差数列. (/) (2)若数列{an}是等差数列，公差为d,则a,a+m 课堂 重难突破 解析，数列{am},{b.}是等差数列， 探究一 等差数列性质的应用 数列{am一bn}是等差数列. 【例1】(1)已知在等差数列{an}中，a2十a6十a1o=1,求 ∴.(a1-b1)+(a1g-b1g)=2(a1o-b1o) a:十ag的值： .2(a10-b10)=22,∴a10-b10=11. (2)设数列{a.}是公差为正数的等差数列，若a1十a2十 a3=15,a1a2ag=80,求an十a2十a13的值. 探究二等差数列的设法与求解 分析分析题目，可利用等差数列的性质，也可利用通 【例2】三个数成等差数列，和为6，积为一24，求这三 项公式求解 个数 解(1)方法一：根据等差数列的性质a2十ao=a4十 分析根据三个数成等差数列，可设这三个数为a一d, as-2a6. a,a十d(d为公差). 由a2十a,十ao=1,得3a。=1,解得a,=3 解方法一：设等差数列的等差中项为a,公差为d, 则这三个数分别为a一d,a,a十d. a4十ag=2a。=3 依题意，3a=6,且a(a-d)(a十d)=-24, 方法二：设公差为d,根据等差数列的通项公式， 将a=2代入a(a-d)(a十d)=-24, 得a2十a6十ao=(a1+d)+(a1+5d)+(a1+9d)= 化筒得d2=16,于是d=士4， 3a1+15d. 故这三个数为-2,2,6或6,2，-2. 方法二：设首项为a,公差为d,这三个数分别为a,a十 由随这知，a1十15d=1,即a1十5d=号 d,a+2d, 依题意，3a十3d=6,且a(a十d)(a十2d)=一24， a4+a8=2a1+10d=2(a1+5d)=2. 将a=2-d,代入a(a十d)(a+2d)=-24, (2)设公差为d,,a1十a3=2a2, 得2(2-d)(2+d)=-24,4-d2=-12, .a1十a2十a,=15=3a2,.a2=5. 即d2=16,于是d=士4.当d=4时，a=-2; 又a1a2ag=80,数列{am}是公差为正数的等差数列， 当d=一4时，a=6.故三个数为-2,2,6或6,2，一2. ∴a1ag=(5-d)(5十d)=16,解得d=3或d=-3 反思感悟 (舍去)， a12=a2+10d=35,a11十a2十a13=3a12=105, L.等差数列的通项公式am=a1十(n一1)d中涉及 四个量a。,a1,n,d,这四个量中已知其中的三个，便可 反思感悟 求出第四个，解题中要注意方程思想的运用. 在等差数列题目中，一般有两种运算方法：一是利 2.当多个数成等差数列时，设未知数的技巧如下 用基本量，借助a1,d建立方程组进行运算，这是最基 (1)当等差数列{a}的项数n为奇数时，可设中间 本的方法；二是利用等差数列的性质，可简化计算。 一项为a,再用公差为d向两边分别设项：…，a一2d, a-d,a,a+d,a+2d,…. 【变式训练1】已知数列{an},{b}是两个等差数列，其 (2)当等差数列{a.}的项数n为偶数时，可设中间 中a1=3,b1=-3,且a19-b1g=16,那么a0-b1o的值 两项为a一d,a十d,再以公差为2d向两边分别设 为() 项：…，a-3d,a-d,a十d,a十3d,…,这样可减少计 A.-6 算量 B.6 C.0 【变式训练2】四个数成递增等差数列，中间两数的和为 D.11 2,首末两项的积为一8，求这四个数 答案D 解方法一：设这四个数为a-3d,a-d,a十d,a十3d 21
第五章 数列 解析 由等差数列性质得a2+a10=a5+a7=8. 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画 “√”,错误的画“×”. (1)等差数列{an}去掉前n 项后余下的项仍组成等差 数列. (√) (2)若数列{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m, ak+2m,…(k,m∈N+ )组成公差为md 的等差数列. (√) (3)在等差数列{an}中,已知a3+a8=10,则3a5+a7= 20. (√) (4)若数列{an},{bn}分别是以d1,d2 为公差的等差数 列,则数列{pan+qbn}(p,q是常数)是以pd1+qd2 为公差 的等差数列. (√) 课堂·重难突破 探究一 等差数列性质的应用 【例1】(1)已知在等差数列{an}中,a2+a6+a10=1,求 a4+a8 的值; (2)设数列{an}是公差为正数的等差数列,若a1+a2+ a3=15,a1a2a3=80,求a11+a12+a13 的值. 分析 分析题目,可利用等差数列的性质,也可利用通 项公式求解. 解 (1)方法一:根据等差数列的性质a2+a10=a4+ a8=2a6. 由a2+a6+a10=1,得3a6=1,解得a6= 1 3 , ∴a4+a8=2a6= 2 3 . 方法二:设公差为d,根据等差数列的通项公式, 得a2+a6+a10=(a1+d)+(a1+5d)+(a1+9d)= 3a1+15d. 由题意知,3a1+15d=1,即a1+5d= 1 3 . ∴a4+a8=2a1+10d=2(a1+5d)= 2 3 . (2)设公差为d,∵a1+a3=2a2, ∴a1+a2+a3=15=3a2,∴a2=5. 又a1a2a3=80,数列{an}是公差为正数的等差数列, ∴a1a3=(5-d)(5+d)=16,解得d=3或d=-3 (舍去), ∴a12=a2+10d=35,a11+a12+a13=3a12=105. 在等差数列题目中,一般有两种运算方法:一是利 用基本量,借助a1,d 建立方程组进行运算,这是最基 本的方法;二是利用等差数列的性质,可简化计算. 【变式训练1】已知数列{an},{bn}是两个等差数列,其 中a1=3,b1=-3,且a19-b19=16,那么a10-b10 的值 为( ) A.-6 B.6 C.0 D.11 答案 D 解析 ∵数列{an},{bn}是等差数列, ∴数列{an-bn}是等差数列. ∴(a1-b1)+(a19-b19)=2(a10-b10). ∴2(a10-b10)=22,∴a10-b10=11. 探究二 等差数列的设法与求解 【例2】三个数成等差数列,和为6,积为-24,求这三 个数. 分析 根据三个数成等差数列,可设这三个数为a-d, a,a+d(d 为公差). 解 方法一:设等差数列的等差中项为a,公差为d, 则这三个数分别为a-d,a,a+d. 依题意,3a=6,且a(a-d)(a+d)=-24, 将a=2代入a(a-d)(a+d)=-24, 化简得d2=16,于是d=±4, 故这三个数为-2,2,6或6,2,-2. 方法二:设首项为a,公差为d,这三个数分别为a,a+ d,a+2d, 依题意,3a+3d=6,且a(a+d)(a+2d)=-24, 将a=2-d,代入a(a+d)(a+2d)=-24, 得2(2-d)(2+d)=-24,4-d2=-12, 即d2=16,于是d=±4.当d=4时,a=-2; 当d=-4时,a=6.故三个数为-2,2,6或6,2,-2. 1.等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d 中涉及 四个量an,a1,n,d,这四个量中已知其中的三个,便可 求出第四个,解题中要注意方程思想的运用. 2.当多个数成等差数列时,设未知数的技巧如下. (1)当等差数列{an}的项数n为奇数时,可设中间 一项为a,再用公差为d 向两边分别设项:…,a-2d, a-d,a,a+d,a+2d,…. (2)当等差数列{an}的项数n为偶数时,可设中间 两项为a-d,a+d,再以公差为2d 向两边分别设 项:…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,…,这样可减少计 算量. 【变式训练2】四个数成递增等差数列,中间两数的和为 2,首末两项的积为-8,求这四个数. 解 方法一:设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d 21
数学 选择性必修第三册 配人教B版 (公差为2d), 且首项为b1=一7，公差为d'=一20. 依题意，2a=2,且(a-3d)(a十3d)=-8, 所以b.=b1十(n-1)d'=-7+(n-1)×(-20)= 即a=1,a2-9dl2=-8, 13-20m. .d2=1,.d=1或d=-1 (3)因为m=4n一1，n∈N+,所以当n=110时，m=4× 又四个数成递增等差数列，所以d>0, 110-1=439. .d=1,故所求的四个数为一2,0,2,4. 所以数列{b.}中的第110项是数列{am}中的第439项. 方法二：若设这四个数为a,a十d,a十2d,a十3d(公差 为d),依题意，2a十3d=2,且a(a十3d)=一8，得a= 易错辨析 1-号d,起a=1-号d代入aa+3d)=-8, 等差数列性质使用不正确而致误 【典例】设数列{a.}是等差数列，a=q,a,=p(p≠g), 得1-2)(1+d)=-8,即1-4=-8. 试求apta 错解，数列{a.}是等差数列， 化简得d2=4,所以d=2或d=-2. 又四个数成递增等差数列，所以d>0, aptn=ap十a,=q十p. 所以小=2u=1号×2=-2 以上解答过程中都有哪些错误？出错的原因是什么？ 你如何改正？你如何防范？ 故所求的四个数为一2,0,2,4. 提示性质am十an=ap十ag中必须是两项相加等于两 项相加，如a7十a=a6十ag,并不是下标和相等即可，如一 探究三等差数列的综合问题 般情况下，a15=a7+8≠a,十a8: 【例3】在数列{an}中，a1=2,ar+1=a.十2"+1 正解设数列{an}的公差为d, (1)求证：数列{a。一2"}为等差数列； ap=an十(p-q)d, (2)设数列{b.}满足bn=2log2(a.十1一n),求{b.}的通 d=a,-ag=g-2 =-1 项公式 p一9卫一q 分析先用定义证明数列{am一2}是等差数列，并求出 从而atn=ap十gd=g十qX(-1)=0, 其通项，进而求出am,再代入b。得{b}的通项公式. ∴aptn=0. (1)证明a+1=an十2十1， 防范措施 a+1-2t1-(ae-2")=an十2十1-2t1-am十2"=1 使用性质“若m十n=p十q,则am十an=ap十ag ∴数列{am一2"}是以a1一2=0为首项，以1为公差的 时，一定注意结论中等式两边项数相同」 等差数列. (2)解由(1)知a。一2"=n-1, 【变式训练】已知数列{a.}为等差数列，a5=8,a0= 20,求a5· ∴an=2"+n-1. 解设公差为d, ∴.b.=2log2(an十1-n)=2log2(2+n-1十1-n)= 21. 则d=80-a5=20-8-4 60-15 =45=15 反思感悟一 已知数列的递推公式求数列的通项时，要对递推 因此an=aw十(75-60)d=20+15×号=24 公式进行合理变形，构造出等差数列求通项，需掌握常 随堂训练 见的几种变形形式，考查推理能力与分析问题的能力. 1在等差数列{an}中，已知a5十ag=l6,则a6十as=( 【变式训练3】已知等差数列{am},首项a1=3,公差 A.12 B.16 C.20 D.24 d=-5,依次取出项的序号被4除余3的项组成数列{b.}. 答案B (1)求b1和b2: 解析由等差数列的性质知，a5十ag=a6十a8=l6. (2)求数列{b,}的通项公式： 故选B. (3)数列{b.}中的第110项是数列{a.}中的第几项？ 2.已知实数m是1和5的等差中项，则m等于() 解(l)由题意知等差数列{am}的通项公式为am= A.5 B.士5 C.3 D.±3 3-5(n-1)=8-5. 设数列{bn}的第n项是数列{a}的第m项， 答案C 则需满足m=4n一1，n∈N+, 解析根据等差中项的定义得2m=1十5，即m=3. 所以b1=a3=8-5×3=-7,b2=a7=8-5X7=-27. 故选C. (2)由(1)知bn+1-bn=a4a+-1-an-1=4d=-20, 3.已知数列{an}是等差数列，若a1一a5十ag一as十a1n= 即新数列{b,}也为等差数列， 117,则a3十a5= 22
数 学 选择性必修 第三册 配人教B版 (公差为2d), 依题意,2a=2,且(a-3d)(a+3d)=-8, 即a=1,a2-9d2=-8, ∴d2=1,∴d=1或d=-1. 又四个数成递增等差数列,所以d>0, ∴d=1,故所求的四个数为-2,0,2,4. 方法二:若设这四个数为a,a+d,a+2d,a+3d(公差 为d),依题意,2a+3d=2,且a(a+3d)=-8,得a= 1- 3 2 d,把a=1- 3 2 d 代入a(a+3d)=-8, 得 1- 3 2 d 1+ 3 2 d =-8,即1- 9 4 d2=-8, 化简得d2=4,所以d=2或d=-2. 又四个数成递增等差数列,所以d>0, 所以d=2,a=1- 3 2 ×2=-2. 故所求的四个数为-2,0,2,4. 探究三 等差数列的综合问题 【例3】在数列{an}中,a1=2,an+1=an+2n +1. (1)求证:数列{an-2n}为等差数列; (2)设数列{bn}满足bn=2log2(an+1-n),求{bn}的通 项公式. 分析 先用定义证明数列{an-2n}是等差数列,并求出 其通项,进而求出an,再代入bn 得{bn}的通项公式. (1)证明 ∵an+1=an+2n +1, ∴an+1-2n+1-(an-2n)=an+2n+1-2n+1-an+2n=1. ∴数列{an-2n}是以a1-2=0为首项,以1为公差的 等差数列. (2)解 由(1)知an-2n =n-1, ∴an=2n +n-1. ∴bn=2log2(an+1-n)=2log2(2n +n-1+1-n)= 2n. 已知数列的递推公式求数列的通项时,要对递推 公式进行合理变形,构造出等差数列求通项,需掌握常 见的几种变形形式,考查推理能力与分析问题的能力. 【变式训练3】已知等差数列{an},首项a1=3,公差 d=-5,依次取出项的序号被4除余3的项组成数列{bn}. (1)求b1 和b2; (2)求数列{bn}的通项公式; (3)数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第几项? 解 (1)由题意知等差数列{an}的通项公式为an = 3-5(n-1)=8-5n. 设数列{bn}的第n项是数列{an}的第m 项, 则需满足m=4n-1,n∈N+ , 所以b1=a3=8-5×3=-7,b2=a7=8-5×7=-27. (2)由(1)知bn+1-bn=a4(n+1)-1-a4n-1=4d=-20, 即新数列{bn}也为等差数列, 且首项为b1=-7,公差为d'=-20, 所以bn=b1+(n-1)d'=-7+(n-1)×(-20)= 13-20n. (3)因为m=4n-1,n∈N+ ,所以当n=110时,m=4× 110-1=439, 所以数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第439项. 易 错 辨 析 等差数列性质使用不正确而致误 【典例】设数列{an}是等差数列,ap=q,aq=p(p≠q), 试求ap+q. 错解 ∵数列{an}是等差数列, ∴ap+q=ap+aq=q+p. 以上解答过程中都有哪些错误? 出错的原因是什么? 你如何改正? 你如何防范? 提示 性质am+an=ap+aq 中必须是两项相加等于两 项相加,如a7+a8=a6+a9,并不是下标和相等即可,如一 般情况下,a15=a7+8≠a7+a8. 正解 设数列{an}的公差为d, ∵ap=aq+(p-q)d, ∴d= ap-aq p-q = q-p p-q =-1. 从而ap+q=ap+qd=q+q×(-1)=0, ∴ap+q=0. 使用性质“若m+n=p+q,则am +an=ap+aq” 时,一定注意结论中等式两边项数相同. 【变式训练】已知数列{an}为等差数列,a15=8,a60= 20,求a75. 解 设公差为d, 则d= a60-a15 60-15 = 20-8 45 = 4 15 . 因此a75=a60+(75-60)d=20+15× 4 15 =24. 随堂训练 1.在等差数列{an}中,已知a5+a9=16,则a6+a8=( ) A.12 B.16 C.20 D.24 答案 B 解析 由等差数列的性质知,a5+a9=a6+a8=16. 故选B. 2.已知实数m 是1和5的等差中项,则m 等于( ) A.5 B.± 5 C.3 D.±3 答案 C 解析 根据等差中项的定义得2m=1+5,即m=3. 故选C. 3.已知数列{an}是等差数列,若a1-a5+a9-a13+a17= 117,则a3+a15= . 22
第五章数列 答案234 5.已知三个数成等差数列，其和为15，首末两项的积为9，求 解析因为a3十a15=a1十a1n=a5十a3, 这三个数. 所以ag=117. 解由题意，可设这三个数分别为a一d,a,a十d, 所以a3十a5=2ag=234. 则a-d)+a+(a+d)=l5. 4.已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5， l(a-d)(a十d)=9, 则m和n的等差中项是 答案3 厚件化但5 所以，当d=4时，这三个数为1,5,9： 解析由题意得 m+2m=8,① 2m十n=10,② 当d=-4时，这三个数为9,5,1 ①十②得3(m十n)=18,得m十n=6, 所以这三个数为1,5,9或9,5,1 即m,n的等差中项为m=3 2 课后·训练提升 基础·巩固 5.在等差数列{a.}中，a1=8,a5=2,若在每相邻两项间各插 入一个数，使之成等差数列，则新的等差数列的公差为 1.已知在等差数列{an}中，a2十as=l6,则a5的值为( A.8 B.10 C.16 D.24 c-9 D.-1 答案A 解析由题意可知a2十a8=2a=l6,则a5=8. 答案B 2.已知在等差数列{an}中，a5十a6十a7=15,那么a:十 解析设插入的四个数为xy,z,r,则新的数列为a1,x, a4十…十ag等于() a2y,a3z,a4,r,a5,共9项， A.21 B.30 C.35 D.40 故d=；-04-2二8=-3 答案C 9-18 4 解析因为a5十ag十a7=(a;十a7)十a6=2as十a6= 6.若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，则 m与n的等差中项是 3a6=15, 所以a6=5. 答案3 所以ag十a4十十ag=(ag十ag)十(a,十ag)十(a5十 解析由m和2n的等差中项为4，则m十2n=8, a7)十a6=7a6=35. 又由2m和n的等差中项为5，则2m十n=10. 3.已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3十a6十a1o十 两式相加，得m十n=6. a13=32,若am=8,则m等于() A.8 B.4 C.6 D.12 因此m与n的等装中项为”士=号=8 答案A 故应填3. 7.已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为 解析因为ag十a6十ao十a1=4a8=32, 4的等差数列，则△ABC的面积为 所以ag=8,即m=8. 4.设x是a与b的等差中项，x2是a2与一b2的等差中项， 答案153 则a,b的关系是() 解析不妨设角A=120°，c<b, A.a=-b 则a=b十4，c=b一4， B.a=3b 于是0s120-+6-4)2-6+4=-1 C.a=一b或a=3b 2b(b-4) 2 D.a=b=0 解得b=10,所以a=14,c=6. 答案C 所以Sax=2csin120°-155. 2x2=262 解析由等差中项的定义知，江=a十也 2 8已知数列{a,}为等差数列，a1十a,十an=乏，则an(a:十 =e),甲a-2a6-=0 a2)的值为 故a=-b或a=3b. 答案 23
第五章 数列 答案 234 解析 因为a3+a15=a1+a17=a5+a13, 所以a9=117. 所以a3+a15=2a9=234. 4.已知m 和2n 的等差中项是4,2m 和n 的等差中项是5, 则m 和n的等差中项是 . 答案 3 解析 由题意得 m+2n=8,① 2m+n=10,② ①+②得3(m+n)=18,得m+n=6, 即m,n的等差中项为 m+n 2 =3. 5.已知三个数成等差数列,其和为15,首末两项的积为9,求 这三个数. 解 由题意,可设这三个数分别为a-d,a,a+d, 则 (a-d)+a+(a+d)=15, (a-d)(a+d)=9, 解得 a=5, d=4 或 a=5, d=-4. 所以,当d=4时,这三个数为1,5,9; 当d=-4时,这三个数为9,5,1. 所以这三个数为1,5,9或9,5,1. 课后·训练提升 基础 巩固 1.已知在等差数列{an}中,a2+a8=16,则a5 的值为( ) A.8 B.10 C.16 D.24 答案 A 解析 由题意可知a2+a8=2a5=16,则a5=8. 2.已知在等差数列{an}中,a5 +a6 +a7 =15,那么a3+ a4+…+a9 等于( ) A.21 B.30 C.35 D.40 答案 C 解析 因为a5+a6+a7=(a5+a7)+a6=2a6 +a6= 3a6=15, 所以a6=5. 所以a3+a4+…+a9=(a3+a9)+(a4+a8)+(a5+ a7)+a6=7a6=35. 3.已知等差数列{an}的公差为d(d≠0),且a3+a6+a10+ a13=32,若am=8,则m 等于( ) A.8 B.4 C.6 D.12 答案 A 解析 因为a3+a6+a10+a13=4a8=32, 所以a8=8,即m=8. 4.设x 是a与b的等差中项,x2 是a2 与-b2 的等差中项, 则a,b的关系是( ) A.a=-b B.a=3b C.a=-b或a=3b D.a=b=0 答案 C 解析 由等差中项的定义知,x= a+b 2 ,x2= a2-b2 2 , 得 a2-b2 2 = a+b 2 2 ,即a2-2ab-3b2=0. 故a=-b或a=3b. 5.在等差数列{an}中,a1=8,a5=2,若在每相邻两项间各插 入一个数,使之成等差数列,则新的等差数列的公差为 ( ) A. 3 4 B.- 3 4 C.- 6 7 D.-1 答案 B 解析 设插入的四个数为x,y,z,r,则新的数列为a1,x, a2,y,a3,z,a4,r,a5,共9项, 故d= a5-a1 9-1 = 2-8 8 =- 3 4 . 6.若m 和2n 的等差中项为4,2m 和n 的等差中项为5,则 m 与n的等差中项是 . 答案 3 解析 由m 和2n的等差中项为4,则m+2n=8, 又由2m 和n的等差中项为5,则2m+n=10. 两式相加,得m+n=6. 因此m 与n的等差中项为 m+n 2 = 6 2 =3. 故应填3. 7.已知△ABC 的一个内角为120°,并且三边长构成公差为 4的等差数列,则△ABC 的面积为 . 答案 153 解析 不妨设角A=120°,c<b, 则a=b+4,c=b-4, 于是cos120°= b2+(b-4)2-(b+4)2 2b(b-4) =- 1 2 , 解得b=10,所以a=14,c=6. 所以S△ABC= 1 2 bcsin120°=153. 8.已知数列{an}为等差数列,a1+a7+a13= π 2 ,则tan(a2+ a12)的值为 . 答案 3 23
数学 选择性必修第三册 配人教B版 解析a,十a;十au=受 D数列a,的通项公式是a,-受-2 3a,=a,=a:ta=a,= 答案ABCD 解析数列{an}满足am十a+2=2am+1(n∈N+),则效列 ∴iama:tag)=tan晋=5】 {a.}为等差数列， 9.构成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数 a1十a2十aa=9,a4=8, 之积为40，求这四个数. 3a1+3d=9,a1十3d=8, 解设这四个数为a-3d,a-d,a十d,a十3d, 5 1 ∴d=2a=心a.= 则由题意，得 4 (a-3d)+(a-d)+(a+d)+(a+3d)=26, 3.若数列(a.}满足a1=一3a+= 2n+1)a(n∈N+) a+2n (a-d)(a十d)=40, 则a。的最小值为 1313 a2 a=2' 答案一8 解得 或 3 解析am+1= 2n+a,整理得a+1a,=2(n+1） am十2n 故所求四个数为2,5,8,11或11,8,5,2 a-2na+1, 10.在等差数列{an}中： 两边同时除以a1a.可得2n十卫_2-1，则数列 (1)a2十a3十a1b十a11=48,求a6十a7: a+1 an (2)a1-a4-ag-a12十a1s=2,求aa十a18; 图}是公送为1的等送数列…积-子+(a-1少X1,中 (3)a3十a1=10,求a2十a4十as an a1 解(1)：a2十an=aa十a0=a6十a7: d=- 2 5 而a2十a3十a10十a11=48, n-2 .2(a6十a7)=48,故a6十a7=24. ,当n≥3时，am>0:当n=2时，an=-8,∴an的最 (2),a1十a1s=a4十a12=2a8, 小值是一8. 而a1十a5-(a4十a12十ag)=2, 4.已知数列{am}满足递推公式a.=3am-十3”-1(n≥2)，又 即2ag-3a8=2,∴a8=-2, ∴a3十aa=2a8=-4. =5则使得 为等差数列的实数入= (3)a3十an=2a7=10,∴.a7=5. 又a2十a4十a15=a7十a7十a7=3a7, a2十a4十a5=15. 拓展：提高 解析由已知得a1=5,a2=23,aa=95, 1.若数列{an}是等差数列，且a1十a4十a7=45,a2十a5十 令6n=a,十 3 ,则6，=5+2 27 a8=39,则as十a6十ag=() b1十b3=2b2a=-2 1 A.39 B.20 5.已知数列{an}是等差数列，若a4十a,十ao=17,a4十a十 C.19.5 a6十…+a2十as十a4=77,且a=13,则公差d= D.33 ,k= 答案D 答案号 18 解析a1十a4十a7=3a4=45,∴a4=15. a2十a5十a8=39,3a5=39,a5=13, 解析由已知，得3a7=17,11ag=77, .d=a5-a4=-2, a1 a6=as十d=l1l, 3ag=7 a3十a6十ag=3ag=3X11=33. 又ag=a,+2d,.d= 2 3 2.（多选题)若数列{an}满足an十am+2=2a+1(n∈N+),且 a1十a2十aa=9,a4=8,则下列说法正确的是(） -7+号k-9)=13 2 .ae=ag十(k一9)· A.数列{an}是等差数列 解得k=18 B数列a,的公差是号 6.已知等差数列{an}是递增数列，若a2十a4=16,a1as=28, 则通项a。=」 C.数列{an}的首项是2 答案3m-1 24
数 学 选择性必修 第三册 配人教B版 解析 ∵a1+a7+a13= π 2 , ∴3a7= π 2 ,a7= π 6 ,∴a2+a12=2a7= π 3 . ∴tan(a2+a12)=tan π 3 = 3. 9.构成等差数列的四个数之和为26,第二个数与第三个数 之积为40,求这四个数. 解 设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d, 则由题意,得 (a-3d)+(a-d)+(a+d)+(a+3d)=26, (a-d)(a+d)=40, 解得 a= 13 2 , d= 3 2 或 a= 13 2 , d=- 3 2 . 故所求四个数为2,5,8,11或11,8,5,2. 10.在等差数列{an}中: (1)a2+a3+a10+a11=48,求a6+a7; (2)a1-a4-a8-a12+a15=2,求a3+a13; (3)a3+a11=10,求a2+a4+a15. 解 (1)∵a2+a11=a3+a10=a6+a7, 而a2+a3+a10+a11=48, ∴2(a6+a7)=48,故a6+a7=24. (2)∵a1+a15=a4+a12=2a8, 而a1+a15-(a4+a12+a8)=2, 即2a8-3a8=2,∴a8=-2, ∴a3+a13=2a8=-4. (3)∵a3+a11=2a7=10,∴a7=5. 又a2+a4+a15=a7+a7+a7=3a7, ∴a2+a4+a15=15. 拓展 提高 1.若数列{an}是等差数列,且a1+a4+a7=45,a2+a5+ a8=39,则a3+a6+a9=( ) A.39 B.20 C.19.5 D.33 答案 D 解析 ∵a1+a4+a7=3a4=45,∴a4=15. ∵a2+a5+a8=39,∴3a5=39,∴a5=13, ∴d=a5-a4=-2, ∴a6=a5+d=11, a3+a6+a9=3a6=3×11=33. 2.(多选题)若数列{an}满足an+an+2=2an+1(n∈N+ ),且 a1+a2+a3=9,a4=8,则下列说法正确的是( ) A.数列{an}是等差数列 B.数列{an}的公差是 5 2 C.数列{an}的首项是 1 2 D.数列{an}的通项公式是an= 5n 2 -2 答案 ABCD 解析 数列{an}满足an+an+2=2an+1(n∈N+ ),则数列 {an}为等差数列, ∵a1+a2+a3=9,a4=8, ∴3a1+3d=9,a1+3d=8, ∴d= 5 2 ,a1= 1 2 ,∴an= 5n 2 -2. 3.若数列{an}满足a1=- 4 3 ,an+1= 2(n+1)an an+2n (n∈N+ ), 则an 的最小值为 . 答案 -8 解析 ∵an+1= 2(n+1)an an+2n ,整理得an+1an =2(n+1)· an-2nan+1, 两边同时除以an+1an 可得 2(n+1) an+1 - 2n an =1,则数列 2n an 是公差为1的等差数列,∴ 2n an = 2 a1 +(n-1)×1,即 an= 2n n- 5 2 . ∵当n≥3时,an>0;当n=2时,an=-8,∴an 的最 小值是-8. 4.已知数列{an}满足递推公式an=3an-1+3n -1(n≥2),又 a1 = 5,则 使 得 an+λ 3n 为 等 差 数 列 的 实 数 λ = . 答案 - 1 2 解析 由已知得a1=5,a2=23,a3=95, 令bn= an+λ 3n ,则b1= 5+λ 3 ,b2= 23+λ 9 ,b3= 95+λ 27 . ∵b1+b3=2b2,∴λ=- 1 2 . 5.已知数列{an}是等差数列,若a4+a7+a10=17,a4+a5+ a6+ … +a12 +a13 +a14 =77,且ak=13,则公差 d= ,k= . 答案 2 3 18 解析 由已知,得3a7=17,11a9=77, ∴a7= 17 3 ,a9=7. 又a9=a7+2d,∴d= 2 3 , ∴ak=a9+(k-9)· 2 3 =7+ 2 3 (k-9)=13, 解得k=18. 6.已知等差数列{an}是递增数列,若a2+a4=16,a1a5=28, 则通项an= . 答案 3n-1 24
第五章数列 解析设公差为d,a2十a,=a1十a5=l6, (1)求数列{a,}的通项公式 由/a十a=16, (2)若从数列{a.}中，依次取出第2项，第4项，第6 la1a5=28 项，…，第2项，按原来顺序组成一个新数列{bm},试 解得0=2或=14， 求出数列{b}的通项公式. la5=14la5=2. 解(1)a1十a2十ag=12,∴a2=4, ,等差数列{an}是递增数列， ag=a2十(8-2)d, a1=2,a5=14. ∴.16=4+6d,.d=2. ,∴.am=a2十(n-2)d=4十(n-2)X2=2n (2)已知数列{an}的通项公式为a.=2n, ∴an=a1+(n-1)d=2+3(n-1)=3n-1. 则a2=4,a4=8,a8=16,…,a2n=2X2n=4n. 挑战·创新 当n>1时，a2n-a2u-D=4n-4(n-1)=4 {b}是以4为首项，4为公差的等差数列. 已知数列{an}是等差数列，且a1十a2十aa=12,ag=16. ,∴.b.=b1十(n-1)d=4十4(n-1)=4n. 5.2.2等差数列的前n项和 第1课时等差数列的前n项和 1.理解等差数列前n项和公式的推导方法—倒序相加法。 课标定位 2.掌握等差数列前n项和公式，掌握等差数列五个量a1,n,d,au,S。之间的关系. 素养阐释 3.掌握由S。求an的方法. 4.提高逻辑推理、数学运算和数学抽象的能力」 课前·基础认知 等差数列的前n项和 法是S=1+2十3+…+99+100， 【问题思考】 把加数倒序写一遍S=100+99+98+…+2十1. 1.如图，建筑工地上堆放着一些钢管，最上面的一层有 所以有2S=(1十100)+(2十99)十·+(99十2)十 4根，下面的每一层都比上一层多一根，共6层.在不逐个相 (100+1)=100×101, 加的情况下，你能想办法算出这些钢管共有多少根吗？ 所以S=50×101=5050. 3.你能借鉴上面两个问题中的计算方法推导出一般等 差数列{a,}的前n项和公式吗？ 提示Sn=a1十a2十ag十…十aw-l十am Sn=a.十a。-1十aa-2十…十a2十a1 ∴.2Sn=(a1十am)Xn, 提示在这堆钢管的旁边再倒放上同样的一堆钢管， ..S,=n(aita.) 如图. 2 4.你能将等差数列{a.}的前n项和公式用其首项a1, 公差d,项数n表达出来吗？ 1 提示S.=a1十2(n-1)d. 则这样共有钢管(4十9)X6=78根，故原来有锅管 5.填空：等差数列前n项和公式的推导方法为“倒序相 加法”，等差数列的前项和公式如下表所示. 39根 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 2.你知道高斯求和的故事吗？请同学们交流一下，高斯 是怎样求1十2十3++100的结果的？ 求和公式 S,= n(a1十a.） 2 S。=a1+nn-1) 提示对于这个问题，著名数学家高斯的思路和解答方 2 25
第五章 数列 解析 设公差为d,∵a2+a4=a1+a5=16, ∴由 a1+a5=16, a1a5=28, 解得 a1=2, a5=14 或 a1=14, a5=2. ∵等差数列{an}是递增数列, ∴a1=2,a5=14. ∴d= a5-a1 5-1 = 12 4 =3, ∴an=a1+(n-1)d=2+3(n-1)=3n-1. 挑战 创新 已知数列{an}是等差数列,且a1+a2+a3=12,a8=16. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若从数列 {an}中,依次取出第 2 项,第 4 项,第 6 项,…,第2n项,按原来顺序组成一个新数列{bn},试 求出数列{bn}的通项公式. 解 (1)∵a1+a2+a3=12,∴a2=4, ∵a8=a2+(8-2)d, ∴16=4+6d,∴d=2, ∴an=a2+(n-2)d=4+(n-2)×2=2n. (2)已知数列{an}的通项公式为an=2n, 则a2=4,a4=8,a8=16,…,a2n=2×2n=4n. 当n>1时,a2n-a2(n-1)=4n-4(n-1)=4. ∴{bn}是以4为首项,4为公差的等差数列. ∴bn=b1+(n-1)d=4+4(n-1)=4n. 5.2.2 等差数列的前n 项和 第1课时 等差数列的前n 项和 课标定位 素养阐释 1.理解等差数列前n项和公式的推导方法———倒序相加法. 2.掌握等差数列前n项和公式,掌握等差数列五个量a1,n,d,an,Sn 之间的关系. 3.掌握由Sn 求an 的方法. 4.提高逻辑推理、数学运算和数学抽象的能力. 课前·基础认知 等差数列的前n项和 【问题思考】 1.如图,建筑工地上堆放着一些钢管,最上面的一层有 4根,下面的每一层都比上一层多一根,共6层.在不逐个相 加的情况下,你能想办法算出这些钢管共有多少根吗? 提示 在这堆钢管的旁边再倒放上同样的一堆钢管, 如图. 则这样共有钢管(4+9)×6=78根,故原来有钢管 78 2 = 39根. 2.你知道高斯求和的故事吗? 请同学们交流一下,高斯 是怎样求1+2+3+…+100的结果的? 提示 对于这个问题,著名数学家高斯的思路和解答方 法是S=1+2+3+…+99+100, 把加数倒序写一遍S=100+99+98+…+2+1. 所以有2S=(1+100)+(2+99)+…+(99+2)+ (100+1)=100×101, 所以S=50×101=5050. 3.你能借鉴上面两个问题中的计算方法推导出一般等 差数列{an}的前n项和公式吗? 提示 ∵Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an, Sn=an+an-1+an-2+…+a2+a1, ∴2Sn=(a1+an)×n, ∴Sn= n(a1+an) 2 . 4.你能将等差数列{an}的前n 项和公式用其首项a1, 公差d,项数n表达出来吗? 提示 Sn=na1+ 1 2 n(n-1)d. 5.填空:等差数列前n 项和公式的推导方法为“倒序相 加法”,等差数列的前n项和公式如下表所示. 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和公式 Sn= n(a1+an) 2 Sn=na1+ n(n-1) 2 d 25