数学 选择性必修第三册 配人教B版 “/”,错误的画“X” (3)等差数列的定义用符号语言表示，即am=a。-十d. (1)当公差d=0时，数列不是等差数列」 (X) (×) (2)若数列的每一项与它的前一项的差都等于常数，则 (4)等差数列的公差是相邻两项的差 (X) 这个数列是等差数列. (X) 课堂·重难突破 探究一等差数列的通项公式及应用 探究二等差数列的判定与证明 【例1】(1)在等差数列{a.}中，已知a5=10,a2=31,求 【例2】已知数列a}满足a1=4,a.=4一4 (n>1), 通项公式am: n-1 2②)已知数列a,}为等差数列a,=号a,=- 5 4求 记6.=1 am一2 as的 (1)求证：数列{b.}是等差数列； 分析设出首项与公差，列出方程组，并求出首项与公 (2)求数列{a.}的通项公式. 差，再写出通项公式 分析先用am表示ba+1,b,再验证b+1一b.为常数， 解(I)设等差数列{a.}的公差为d, 最后可求出数列{a}的通项公式 ag=10ae=31,则十4d=10, 1 1 (1)证明：b+1-b。= a1+11d=31, an+1-2-a。-2 解得12， 1 1 an 1 an-2 I 1d=3. (4-4）-2a.-22a.-2)a.-22a.-2=2 a 因此这个等差数列的首项是一2，公差是3. 1 .a.=-2+3(n-1)=3m-5. 又b1= a1-2-2 (2)设等差数列{an}的公差为d,首项为a1, 5 a:+2d=5 11 故载到伍.是首项为宁，公差为的等差载列。 a3= 4 Γ4” a4' 由 得 解得 1 7 a1+6d= 7 = 3 a7= 4， 4， @解为6，=合+a-1Dx分-可 1 即aw=a+15-1Dd-4+14x(←）=- b= am-21 1 +2=2+2 反思感悟 .aa一b 1.等差数列的通项公式可由首项与公差确定，因 .数列{an}的通项公式为an= 2十2 此要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差 即可， 飞反思感悟 2.等差数列{an}的通项公式an=a1十(n一1)d中 判断一个数列是不是等差数列一极用定义法，即 共含有四个参数，即a1,d,n,a如果知道了其中的任 am一aa-1=d(常数)(n≥2且n∈N+)台数列{an}为等 意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数，这一 差数列 求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一” 提示：am+1一an=d(d为常数，n∈N+)对任意n∈ 3.通项公式可变形为a.=dm十(a1一d),可把an N+都要恒成立，若只有几项成立，则数列{an}不是等 看作自变量为n的一次函数. 差数列。 【变式训练1】已知等差数列2,5,8,11，…，则23是这个 【变式训练2】已知等差数列{a.}的首项为a1,公差为 数列的() d,在数列{bn}中，bn=3a.十4，试判断{bn}是否为等差数列？ A第5项 B.第6项 解方法一：由题意可知，an=a1十(n一l)d(a1,d为 C第7项 D.第8项 常数)， 答案D 则bn=3a.十4=3[a1十(n-1)d]+4=3a1十3(n- 解析由已知得等差数列的首项a1=2,公差d=3,令 1)d+4=3dm+3a1-3d+4. 2十(n-1)×3=23,解得n=8. 由于b。是关于n的一次函数（或常数函数，当d=0 时)，故数列{b}是等差数列. 方法二：根据题意知b+1=3am+1十4， 16
数 学 选择性必修 第三册 配人教B版 “√”,错误的画“×”. (1)当公差d=0时,数列不是等差数列. (×) (2)若数列的每一项与它的前一项的差都等于常数,则 这个数列是等差数列. (×) (3)等差数列的定义用符号语言表示,即an=an-1+d. (×) (4)等差数列的公差是相邻两项的差. (×) 课堂·重难突破 探究一 等差数列的通项公式及应用 【例1】(1)在等差数列{an}中,已知a5=10,a12=31,求 通项公式an; (2)已知数列{an}为等差数列,a3= 5 4 ,a7=- 7 4 ,求 a15 的值. 分析 设出首项与公差,列出方程组,并求出首项与公 差,再写出通项公式. 解 (1)设等差数列{an}的公差为d, ∵a5=10,a12=31,则 a1+4d=10, a1+11d=31, 解得 a1=-2, d=3. 因此这个等差数列的首项是-2,公差是3. ∴an=-2+3(n-1)=3n-5. (2)设等差数列{an}的公差为d,首项为a1, 由 a3= 5 4 , a7=- 7 4 , 得 a1+2d= 5 4 , a1+6d=- 7 4 , 解得 a1= 11 4 , d=- 3 4 . 即a15=a1+(15-1)d= 11 4 +14× - 3 4 =- 31 4 . 1.等差数列的通项公式可由首项与公差确定,因 此要求等差数列的通项公式,只需求出首项与公差 即可. 2.等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d 中 共含有四个参数,即a1,d,n,an.如果知道了其中的任 意三个数,那么就可以由通项公式求出第四个数,这一 求未知量的过程,我们通常称之为“知三求一”. 3.通项公式可变形为an=dn+(a1-d),可把an 看作自变量为n的一次函数. 【变式训练1】已知等差数列2,5,8,11,…,则23是这个 数列的( ) A.第5项 B.第6项 C.第7项 D.第8项 答案 D 解析 由已知得等差数列的首项a1=2,公差d=3,令 2+(n-1)×3=23,解得n=8. 探究二 等差数列的判定与证明 【例2】已知数列{an}满足a1=4,an=4- 4 an-1 (n>1), 记bn= 1 an-2 . (1)求证:数列{bn}是等差数列; (2)求数列{an}的通项公式. 分析 先用an 表示bn+1,bn,再验证bn+1-bn 为常数, 最后可求出数列{an}的通项公式. (1) 证明 ∵ bn+1 - bn = 1 an+1-2 - 1 an-2 = 1 4- 4 an -2 - 1 an-2 = an 2(an-2)- 1 an-2 = an-2 2(an-2)= 1 2 . 又b1= 1 a1-2 = 1 2 , 故数列{bn}是首项为 1 2 ,公差为 1 2 的等差数列. (2)解 由(1)知bn= 1 2 +(n-1)× 1 2 = 1 2 n. ∵bn= 1 an-2 , ∴an= 1 bn +2= 2 n +2. ∴数列{an}的通项公式为an= 2 n +2. 判断一个数列是不是等差数列一般用定义法,即 an-an-1=d(常数)(n≥2且n∈N+ )⇔数列{an}为等 差数列. 提示:an+1-an=d(d 为常数,n∈N+ )对任意n∈ N+ 都要恒成立,若只有几项成立,则数列{an}不是等 差数列. 【变式训练2】已知等差数列{an}的首项为a1,公差为 d,在数列{bn}中,bn=3an+4,试判断{bn}是否为等差数列? 解 方法一:由题意可知,an=a1+(n-1)d(a1,d 为 常数), 则bn=3an+4=3[a1+(n-1)d]+4=3a1+3(n- 1)d+4=3dn+3a1-3d+4. 由于bn 是关于n 的一次函数(或常数函数,当d=0 时),故数列{bn}是等差数列. 方法二:根据题意知bn+1=3an+1+4, 16
第五章 数列 因此b+1-bn=3amt1十4-(3am十4)=3(a+1-a.)= 以上解答过程中都有哪些错误？出错的原因是什么？ 3d(常数). 你如何改正？你如何防范？ 由等差数列的定义知，数列{bn}是等差数列. 提示a一a2=a2一a1=常数，不能满足等差数列的定 探究三等差数列的单调性及应用 义中“从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常 数”的要求 【例3】已知在数列{a。}中，a1=32,a1z=一32，通项公 正解因为an=10十lg2"=10十nlg2, 式是项数n的一次函数. 所以aw+1=10十(n十1)lg2. (1)求数列{a}的通项公式： 所以aa+1-a.=[10+(n+1)lg2]-(10+nlg2)=lg2 (2)一88是不是数列{a}中的项？ (常数). (3)该数列从第几项起开始为负？ 所以数列{a.}为等差数列. 解(1)由题意知，数列{am}为等差数列，可设am=n十 防范措施 b,其中，k,b为常数， 则a1=k十b=32,①a17=17k十b=-32.② 等差数列的定义是判断一个数列是否为等差数列 由①②得k=-4,b=36. 的重要依据，要证明一个数列{am}为等差数列，即证对 故a.=-4n十36(n∈N+). 任意n∈N+,都有at1一a.=d(常数). (2)令一4n+36=-88,得n=31 故一88是数列{an}中的项. 【变式训练】已知数列{an}的通项an=4-1,n∈N+ (3)令-4n十36<0，则n>9. (1)求log2a2,log2as: 故数列{am}从第l0项起开始为负. (2)求证：数列{log2am}是等差数列. 反思感悟 (1)解1og2a2=log24=2, logza3=l0g216=4. 数列{an}是等差数列的充要条件是am=kn十b,其 (2)证明log2an=log24"-1=(n-1)log24=21-2, 中k,b是常数.特别地，当k≠0时，am是n的一次函 ∴.log2aw+1=2(n+1)-2=2n. 数.因此，可以判定该数列为等差数列，从而可用待定 .log2am+1-1og2a.=2-(2-2)=2. 系数法求出其通项公式 又log2a1=log24°=0， 【变式训练3】若等差数列{a.}的公差d<0,且a2a4= 故数列{log2a.}是首项为0，公差为2的等差数列. 12,a2十a4=8,则数列{an}的通项公式是( 随堂训练 Aa.=2m-2(n∈N+) B.am=2n+4(n∈N+) 1.数列{an}的通项公式am=2十5，则此数列( C.am=-2+12(n∈N+) A.是公差为2的等差数列 D.a.=-2m十10(n∈N+） B.是公差为5的等差数列 答案D C,是首项为5的等差数列 a2a4=12, D.是公差为n的等差数列 解析因为a2十a4=8, 答案A d<0. 解析am+1-a.=2(n十1)十5-(2n+5)=2, 所以：=6·解得a1=8, ∴数列{am}是公差为2的等差数列. la4=2, d=-2, 2.在数列{an}中，a1=2,am+1=am十2，则a0=（ 所以a.=a1十(n-l)d, A.38 B.40 C.-36 D.-38 即a.=8十(n-1)×(-2). 答案B 得a.=-2n十10. 解析aut1=am十2，∴am+1一am=2,∴.数列{an}是公差 易错辨析 为2的等差数列。 对等差数列的定义理解不透而致误 a1=2,.a0=2+(20-1)X2=40. 【典例】若数列{a.}的通项公式为a.=l0十lg2"(n∈ 3.已知等差数列{an}的前3项依次是x一1，x十1,2x十3， N+),求证：数列{am}为等差数列. 则其通项公式为 错解因为a.=10十lg2"=10十nlg2, 答案a.=2n-3 所以a1=10+lg2,a2=10+2lg2,a4=10+3lg2, 解析，a1=x-1,a2=x十1， 所以a2-a1=lg2,ag-a2=lg2, ∴a1十d=a2,即x-1十d=x十1， 则a2-a1=a3一a2 ∴d=2. 故数列{an}为等差数列. 又a3-a1=2d, 17
第五章 数列 因此bn+1-bn=3an+1+4-(3an+4)=3(an+1-an)= 3d(常数). 由等差数列的定义知,数列{bn}是等差数列. 探究三 等差数列的单调性及应用 【例3】已知在数列{an}中,a1=32,a17=-32,通项公 式是项数n的一次函数. (1)求数列{an}的通项公式; (2)-88是不是数列{an}中的项? (3)该数列从第几项起开始为负? 解 (1)由题意知,数列{an}为等差数列,可设an=kn+ b,其中,k,b为常数, 则a1=k+b=32,① a17=17k+b=-32.② 由①②得k=-4,b=36. 故an=-4n+36(n∈N+ ). (2)令-4n+36=-88,得n=31. 故-88是数列{an}中的项. (3)令-4n+36<0,则n>9. 故数列{an}从第10项起开始为负. 数列{an}是等差数列的充要条件是an=kn+b,其 中k,b是常数.特别地,当k≠0时,an 是n 的一次函 数.因此,可以判定该数列为等差数列,从而可用待定 系数法求出其通项公式. 【变式训练3】若等差数列{an}的公差d<0,且a2a4= 12,a2+a4=8,则数列{an}的通项公式是( ) A.an=2n-2(n∈N+ ) B.an=2n+4(n∈N+ ) C.an=-2n+12(n∈N+ ) D.an=-2n+10(n∈N+ ) 答案 D 解析 因为 a2a4=12, a2+a4=8, d<0, 所以 a2=6, a4=2, 解得 a1=8, d=-2, 所以an=a1+(n-1)d, 即an=8+(n-1)×(-2), 得an=-2n+10. 易 错 辨 析 对等差数列的定义理解不透而致误 【典例】若数列{an}的通项公式为an=10+lg2n (n∈ N+ ),求证:数列{an}为等差数列. 错解 因为an=10+lg2n =10+nlg2, 所以a1=10+lg2,a2=10+2lg2,a3=10+3lg2, 所以a2-a1=lg2,a3-a2=lg2, 则a2-a1=a3-a2, 故数列{an}为等差数列. 以上解答过程中都有哪些错误? 出错的原因是什么? 你如何改正? 你如何防范? 提示 a3-a2=a2-a1=常数,不能满足等差数列的定 义中“从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常 数”的要求. 正解 因为an=10+lg2n =10+nlg2, 所以an+1=10+(n+1)lg2. 所以an+1-an=[10+(n+1)lg2]-(10+nlg2)=lg2 (常数). 所以数列{an}为等差数列. 等差数列的定义是判断一个数列是否为等差数列 的重要依据,要证明一个数列{an}为等差数列,即证对 任意n∈N+ ,都有an+1-an=d(常数). 【变式训练】已知数列{an}的通项an=4n-1,n∈N+ . (1)求log2a2,log2a3; (2)求证:数列{log2an}是等差数列. (1)解 log2a2=log24=2, log2a3=log216=4. (2)证明 ∵log2an=log24n-1=(n-1)log24=2n-2, ∴log2an+1=2(n+1)-2=2n. ∴log2an+1-log2an=2n-(2n-2)=2. 又log2a1=log240=0, 故数列{log2an}是首项为0,公差为2的等差数列. 随堂训练 1.数列{an}的通项公式an=2n+5,则此数列( ) A.是公差为2的等差数列 B.是公差为5的等差数列 C.是首项为5的等差数列 D.是公差为n的等差数列 答案 A 解析 ∵an+1-an=2(n+1)+5-(2n+5)=2, ∴数列{an}是公差为2的等差数列. 2.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+2,则a20=( ) A.38 B.40 C.-36 D.-38 答案 B 解析 ∵an+1=an+2,∴an+1-an=2,∴数列{an}是公差 为2的等差数列. ∵a1=2,∴a20=2+(20-1)×2=40. 3.已知等差数列{an}的前3项依次是x-1,x+1,2x+3, 则其通项公式为 . 答案 an=2n-3 解析 ∵a1=x-1,a2=x+1, ∴a1+d=a2,即x-1+d=x+1, ∴d=2. 又a3-a1=2d, 17
数学 选择性必修 第三册 配人教B版 即2x+3-(x-1)=2d=4, 5.已知数列{a.}满足a1=2,a+1 2a x=0,即a1=-1. aa十21 .通项公式为am=-1十(n-1)×2=2n-3. (1)数列1) 是否为等差数列？请说明理由： 4.已知等差数列{a,}的第3项是7，第11项是一1，则它的第 7项是 (2)求a 答案3 解(列 是等差数列.理由如下： 解析设等差数列{an}的首项为a1,公差为d, a1=2,aw+1 2as 由a3=7,an=-1, am十2 得a1十2d=7,a1十10d=-1, 1 1=a十2_1_1+1_11 所以a1=9,d=一1， antl an 2a。a。2 an d2 则a,=a1十(7-1)d=a1+6d=3. 即数列已) 11 是首项为 =弓公差为d=之的学差 数列 (2)由()可知=十(a-1d=号，剩a.=月 an al 课后·训练提升 基础·巩固 79 7 79-9,当a.=0时，n=9=8g,故考虑a。=7, 1在△ABC中，三个内角A,B,C成等差数列，则角B等 ag=一2，故绝对值最小的一项为ag. 于( 5.设等差数列{an}的公差为d.若数列{2}为递减数列， A30° B.609 C.90° D.1209 则( 答案B A.d>0 B.d<o 解析A,B,C成等差数列， C.ad>0 D.ad<0 ∴.B-A=C-B,即2B=A十C 答案D 又A+B+C=180°，∴.B=60. 解析设b。=21“,则b+1=21+ 2.已知在等差数列{an}中，a2十ag=2,a5十an=8,则其公 由于数列{21“}是递减数列，则bn>b+1, 差是() 即219">21“+1 A.6 B.3 C.2 D.1 .ajan>alan+1 答案D .a1am-a1(aw十d)>0, 解析在等差数列{an}中a,十an=8,a2十ag=2, .a1(am-an-d)>0, .a5十a1n-a2-as=6, 即a1(-d)>0,.a1d<0. 即6d=6,d=l.故选D 3.已知数列{am}为等差数列，且a1=2,a2十aa=13,则a4十 6一个等差数列的前4项分别是a,x,6,2红，则号= a十a6等于() A.40 B.42 1 C.43 D.45 答案3 答案B 解所内道老得伦”。 解析设公差为d,则a2十ag=a1十d十a1十2d=2a1十 2x=a十b, 3d=4十3d=13,解得d=3, 即 2b=3x, 因此a,十a;十a6=(a1+3d)+(a1+4d)+(a1+ 3 a1 5d)=3a1+12d=42. .a= 2b=之x心方=3 4.若等差数列{an}的首项为70，公差为一9，则这个数列中 绝对值最小的一项为() 7已知在数列a.3中a1=1a:=号，且亡十 a-1a+1 A.as B.ag C.a1 D.an 答案B 2(m≥2)，则a.一 解析a.=a1+(n-1)d=70+(n-1)×(-9)= 答案吊 18
数 学 选择性必修 第三册 配人教B版 即2x+3-(x-1)=2d=4, ∴x=0,即a1=-1. ∴通项公式为an=-1+(n-1)×2=2n-3. 4.已知等差数列{an}的第3项是7,第11项是-1,则它的第 7项是 . 答案 3 解析 设等差数列{an}的首项为a1,公差为d, 由a3=7,a11=-1, 得a1+2d=7,a1+10d=-1, 所以a1=9,d=-1, 则a7=a1+(7-1)d=a1+6d=3. 5.已知数列{an}满足a1=2,an+1= 2an an+2 . (1)数列 1 an 是否为等差数列? 请说明理由; (2)求an. 解 (1)数列 1 an 是等差数列.理由如下: ∵a1=2,an+1= 2an an+2 , ∴ 1 an+1 - 1 an = an+2 2an - 1 an = 1 2 + 1 an - 1 an = 1 2 , 即数列 1 an 是首项为 1 a1 = 1 2 ,公差为d= 1 2 的等差 数列. (2)由(1)可知 1 an = 1 a1 +(n-1)d= n 2 ,则an= 2 n . 课后·训练提升 基础 巩固 1.在△ABC 中,三个内角A,B,C 成等差数列,则角B 等 于( ) A.30° B.60° C.90° D.120° 答案 B 解析 ∵A,B,C 成等差数列, ∴B-A=C-B,即2B=A+C. 又A+B+C=180°,∴B=60°. 2.已知在等差数列{an}中,a2+a8=2,a5+a11=8,则其公 差是( ) A.6 B.3 C.2 D.1 答案 D 解析 ∵在等差数列{an}中a5+a11=8,a2+a8=2, ∴a5+a11-a2-a8=6, 即6d=6,d=1.故选D. 3.已知数列{an}为等差数列,且a1=2,a2+a3=13,则a4+ a5+a6 等于( ) A.40 B.42 C.43 D.45 答案 B 解析 设公差为d,则a2+a3=a1+d+a1+2d=2a1+ 3d=4+3d=13,解得d=3, 因此a4+a5+a6=(a1+3d)+(a1+4d)+(a1+ 5d)=3a1+12d=42. 4.若等差数列{an}的首项为70,公差为-9,则这个数列中 绝对值最小的一项为( ) A.a8 B.a9 C.a10 D.a11 答案 B 解析 ∵an =a1+(n-1)d=70+(n-1)×(-9)= 79-9n,当an =0 时,n= 79 9 =8 7 9 ,故 考 虑 a8 =7, a9=-2,故绝对值最小的一项为a9. 5.设等差数列{an}的公差为d.若数列{2 a1an }为递减数列, 则( ) A.d>0 B.d<0 C.a1d>0 D.a1d<0 答案 D 解析 设bn=2 a1 an ,则bn+1=2 a1 an+1. 由于数列{2 a1 an }是递减数列,则bn>bn+1, 即2 a1 an >2 a1 an+1. ∴a1an>a1an+1, ∴a1an-a1(an+d)>0, ∴a1(an-an-d)>0, 即a1(-d)>0,∴a1d<0. 6.一个 等 差 数 列 的 前 4 项 分 别 是 a,x,b,2x,则 a b = . 答案 1 3 解析 由题意得 x-a=b-x, 2x-b=b-x, 即 2x=a+b, 2b=3x, ∴a= x 2 ,b= 3 2 x,∴ a b = 1 3 . 7.已知在数列 {an}中,a1 =1,a2 = 2 3 ,且 1 an-1 + 1 an+1 = 2 an (n≥2),则an= . 答案 2 n+1 18
第五章数列 解析：1十=2m≥2)， 答案AD an-1 antl as 1-1=11 解析由已知得1=1,1一1 (n≥2)， a十=3'a十=2，它们分别是等差 au+l an an an-l 数列侣}是等差数列，公差d= 111 数列，}的第3项和第7项，所以其公差d= 1 1 2-+a-a=1+--" 1 2-31 1 1 1 1 an a 2 7-324，首项为 4· a,+1=4+(n-1)×2 2 a,=n十n=1时也成立)。 n十5，所以数列{a.}的通项公式是a.= 19-n 24 n+5 8.若数列{an}是等差数列，且am=an2十n,则实数a= 3.等差数列{a.}的前3项依次为a-l,a十1,2a十3，则实数 a= ,数列{a.}的通项公式为 答案0 答案0an=2n-3 解析，数列{an}是等差数列，设公差为d, 解析等差数列{am}的前3项依次为a-1,a十1,2a十3. at1一an=d(常数). (a+1)-(a-1)=2a十3-(a十1)，解得a=0, ∴.[a(n+1)2+(n+1)]-(an2+n)=2an+a+1= a1=-1,a2=1,a3=3, d(常数. .数列{am}的通项公式为an=-1十(n-1)×2= .2a=0,∴.a=0. 2n-3. 9.已知在等差数列{am}中a2=6,as=15,若bn=a2m,求bm 4.已知数列{am}满足：a1=1,a2=2,2a=a+1十a-1(n 及b15 N+,n≥2)，则a,= 解设等差数列{an}的公差为d, 答案√19 白装客释化：中板6 解析因为2a=a+1十a-(n∈N+,n≥2)， 所以数列{a}是以a=1为首项， 解得13， 以d=a-a=4-1=3为公差的等差数列， ld=3. 所以a2=1+3(n-1)=3n-2, an=3+3(n-1)=3n. 所以an=V√3m-2,n≥1， ∴bn=a2n=3X2n=6n. bs=6×15=90. 所以a,=√3X7-2=√19. 5某人练习写毛笔字，第一天写了4个大字，以后每天比前 拓展·提高 一天都多写，且多写的字数相同，第三天写了12个大字， 1.已知首项为一24的等差数列，从第10项开始为正数，则 则此人每天比前一天多写 个大字 公差d的取值范围是( ) 答案4 A(停+) B.(-∞，3) 解析由题意可知此人每天所写大字数构成首项为4，第 三项为12的等差数列，即a1=4,a4=12, c(停 n(-可 得4二片4 答案C 6.已知数列{am}满足：a1=2,aa十a5=一4 解析由题意得口n=-24+9d>0, (1)若数列{a,}是等差数列，求数列{a。}的通项公式： a。=-24十8d0, (2)若a4=-l,且2am+1=am十am+2十k(n∈N+,k∈R), 得<3 ①证明：数列{a+1一an}是等差数列； ②求数列{an}的通项公式. 2(多选题)已知在数列a,冲，a,=2a,=1.若}为 (I)解：数列{an}是等差数列，设数列的公差为d, 等差数列，则下列说法正确的是( 则/口1=2， .4 l2a1+6d=-4. 解得d=-3, ,}的公差是易 A数列{1 a.=a1+(m-1)×d=2+(n-1)×(-) 数列}的首项是号 4,10 -3n+3 C数列{a,的通项公式是a.=”,5 24 (2)①证明由题意，2a4=ag十a十k, D.数列a.}的通项公式是a.-19-” 即-2=-4十k,k=2. n+5 又a4=2a3-a2-2=3a2-2a1-6,.a2=3. 19
第五章 数列 解析 ∵ 1 an-1 + 1 an+1 = 2 an (n≥2), ∴ 1 an+1 - 1 an = 1 an - 1 an-1 (n≥2), ∴数列 1 an 是等差数列,公差d= 1 a2 - 1 a1 = 1 2 . ∴ 1 an = 1 a1 +(n-1)d=1+ 1 2 (n-1)= n+1 2 . ∴an= 2 n+1 (n=1时也成立). 8.若数列{an}是等差数列,且an =an2 +n,则实数a= . 答案 0 解析 ∵数列{an}是等差数列,设公差为d, ∴an+1-an=d(常数). ∴[a(n+1)2+(n+1)]-(an2+n)=2an+a+1= d(常数). ∴2a=0,∴a=0. 9.已知在等差数列{an}中,a2=6,a5=15,若bn=a2n,求bn 及b15. 解 设等差数列{an}的公差为d, 由题意得 a2=a1+d=6, a5=a1+4d=15, 解得 a1=3, d=3. ∴an=3+3(n-1)=3n. ∴bn=a2n=3×2n=6n. ∴b15=6×15=90. 拓展 提高 1.已知首项为-24的等差数列,从第10项开始为正数,则 公差d 的取值范围是( ) A. 8 3 ,+∞ B.(-∞,3) C. 8 3 ,3 D.- 8 3 ,3 答案 C 解析 由题意得 a10=-24+9d>0, a9=-24+8d≤0, 得 8 3 <d≤3. 2.(多选题)已知在数列{an}中,a3=2,a7=1,若 1 an+1 为 等差数列,则下列说法正确的是( ) A.数列 1 an+1 的公差是 1 24 B.数列 1 an+1 的首项是 1 3 C.数列{an}的通项公式是an= n+5 24 D.数列{an}的通项公式是an= 19-n n+5 答案 AD 解析 由已知得 1 a3+1 = 1 3 , 1 a7+1 = 1 2 ,它们分别是等差 数列 1 an+1 的 第 3 项 和 第 7 项,所 以 其 公 差 d= 1 2 - 1 3 7-3 = 1 24 ,首项为 1 4 .即 1 an+1 = 1 4 +(n-1)× 1 24 = n+5 24 ,所以数列{an}的通项公式是an= 19-n n+5 . 3.等差数列{an}的前3项依次为a-1,a+1,2a+3,则实数 a= ,数列{an}的通项公式为 . 答案 0 an=2n-3 解析 等差数列{an}的前3项依次为a-1,a+1,2a+3, (a+1)-(a-1)=2a+3-(a+1),解得a=0, ∴a1=-1,a2=1,a3=3, ∴数列{an}的通项公式为an=-1+(n-1)×2= 2n-3. 4.已知数列{an}满足:a1=1,a2=2,2a2 n=a2 n+1+a2 n-1(n∈ N+ ,n≥2),则a7= . 答案 19 解析 因为2a2 n=a2 n+1+a2 n-1(n∈N+ ,n≥2), 所以数列{a2 n}是以a2 1=1为首项, 以d=a2 2-a2 1=4-1=3为公差的等差数列, 所以a2 n=1+3(n-1)=3n-2, 所以an= 3n-2,n≥1. 所以a7= 3×7-2= 19. 5.某人练习写毛笔字,第一天写了4个大字,以后每天比前 一天都多写,且多写的字数相同,第三天写了12个大字, 则此人每天比前一天多写 个大字. 答案 4 解析 由题意可知此人每天所写大字数构成首项为4,第 三项为12的等差数列,即a1=4,a3=12, 得d= 12-4 3-1 =4. 6.已知数列{an}满足:a1=2,a3+a5=-4. (1)若数列{an}是等差数列,求数列{an}的通项公式; (2)若a4=-1,且2an+1=an+an+2+k(n∈N+ ,k∈R), ①证明:数列{an+1-an}是等差数列; ②求数列{an}的通项公式. (1)解 ∵数列{an}是等差数列,设数列的公差为d, 则 a1=2, 2a1+6d=-4, 解得d=- 4 3 , ∴an=a1+(n-1)×d=2+(n-1)× - 4 3 = - 4 3 n+ 10 3 . (2)① 证明 由题意,2a4=a3+a5+k, 即-2=-4+k,∴k=2. 又a4=2a3-a2-2=3a2-2a1-6,∴a2=3. 19
数学 选择性必修 第三册 配人教B版 由2ant1=an十art2十2， (1)当a2=一1时，求入及a3的值： 得(at2-a+1)-(aat1-an)=-2, (2)是否存在实数入，使数列{a.}为等差数列？若存在，求 ∴数列{aa+1一am}是以a2-a1=1为首项，一2为公 出入及数列{a.}的通项公式；若不存在，请说明理由. 差的等差数列， 解(1)由于a.+1=(n2+n-入)a.(n=1,2,…) ②解由①知，amt1一an=-2n十3， 且a1=1. 当n≥2时，有am-a-1=-2(n-1)十3， 所以当a2=-1时，一1=2-入.故1=3. 于是，a-1-am-2=-2(n-2)十3， 从而aa=(22十2-3)×(-1)=-3. (2)不存在实数入，使数列{a.》为等差数列.理由 ag-a2=-2X2+3, 如下： a2-a1=-2X1+3. 由a1=1,am+1=(n2十n-入)am, 叠加，得a。-a1=-2[1十2十…十(n-1)门十 得a2=2-入，aa=(6-1)(2-1) 3(n-1)(n≥2). a:=(12-1)(6-1)(2-λ). a.=-2xnn-1」 +3(n-1)十2=-n2+4n 若存在入，使数列{am}为等差数列， 2 则a3一a2=a2一a1, 1(n≥2). 即(5-λ)(2-λ)=1一λ，解得λ=3. 又当n=1时，a1=2也适合，am=-n2十4n-1. 于是a2-a1=1-λ=-2， 挑战·创新 a4-aa=(11-入)(6-1)(2-A)=-24. 这与数列{an}为等差数列矛盾， 数列{am}满足a1=1,a+1=(n2十n-入)a.（n=1,2,…）, 所以不存在入，使数列{a}是等差数列. 入是常数. 第2课时 等差数列的性质及应用 1.理解并掌握等差中项的概念及其应用」 课标定位 2.理解并掌握等差数列的项与序号之间的规律及应用」 素养阐释 3.提高逻辑推理、数学运算能力 课前·基础认知 一、 等差中项 (1)你能计算出每个数列中a1十a;与a2十a,的值吗？ 【问题思考】 (2)各个数列中a1十a5与a2十a:的值有怎样的数量关 1.填空：(1)如果x,A,y是等差数列，那么称A为x与 系？这种关系是巧合吗？ y的等差中项. (3)如果换为a1十a,与a2十a3呢？ (2)如果一个数列中，中间的每一项都是它的前一项与 提示(1)①a1十a5=10,a2十a4=10: 后一项的等差中项，那么这个数列一定是等差数列. ②a1十a5=-2,a2十a4=-2; 2.做一做：若a,b是方程x2-2x-3=0的两根，则a,b ③a1十a5=4,a2十a,=4. 的等差中项为() (2)相等，不是巧合」 A.-1 C.1 D.2 (3)仍然相等. 2.填空： 答案C (1)一般地，如果{am}是等差数列，而且正整数s,t,p,q 解析由已知得a十b=2, 满足s十t=p十q,则a,十a,=a。十ag.特别地，如果2s= 因光a山的等差中项为士少-1 p十q,则2a,=a。十ag (2)数列{a,}是有穷等差数列，则与首末两项等距离的 二、“下标和”性质 两项之和都相等，且等于首末两项之和，即a1十am=a2十 【问题思考】 am-1=a3十am-2=…=ait1十aw-1=…(0≤i≤n-1,i∈ 1.已知下面三个等差数列： N+). ①1,3,5,7,9,13，… 3.做一做：已知数列{an}是等差数列，a2十a1o=8,则 ②5,2，-1，-4，-7，-10， a5十a7= ③2,2,2,2.2.2，… 答案8 20
数 学 选择性必修 第三册 配人教B版 由2an+1=an+an+2+2, 得(an+2-an+1)-(an+1-an)=-2, ∴数列{an+1-an}是以a2-a1=1为首项,-2为公 差的等差数列. ② 解 由①知,an+1-an=-2n+3, 当n≥2时,有an-an-1=-2(n-1)+3, 于是,an-1-an-2=-2(n-2)+3, …… a3-a2=-2×2+3, a2-a1=-2×1+3, 叠加,得an -a1 = -2[1+2+ … + (n-1)]+ 3(n-1)(n≥2), ∴an=-2× n(n-1) 2 +3(n-1)+2=-n2+4n- 1(n≥2). 又当n=1时,a1=2也适合,∴an=-n2+4n-1. 挑战 创新 数列{an}满足a1=1,an+1=(n2+n-λ)an(n=1,2,…), λ是常数. (1)当a2=-1时,求λ及a3 的值; (2)是否存在实数λ,使数列{an}为等差数列? 若存在,求 出λ及数列{an}的通项公式;若不存在,请说明理由. 解 (1)由于an+1=(n2+n-λ)an(n=1,2,…), 且a1=1, 所以当a2=-1时,-1=2-λ.故λ=3. 从而a3=(22+2-3)×(-1)=-3. (2)不存在实数λ,使数列{an}为等差数列.理由 如下: 由a1=1,an+1=(n2+n-λ)an, 得a2=2-λ,a3=(6-λ)(2-λ), a4=(12-λ)(6-λ)(2-λ). 若存在λ,使数列{an}为等差数列, 则a3-a2=a2-a1, 即(5-λ)(2-λ)=1-λ,解得λ=3. 于是a2-a1=1-λ=-2, a4-a3=(11-λ)(6-λ)(2-λ)=-24. 这与数列{an}为等差数列矛盾. 所以不存在λ,使数列{an}是等差数列. 第2课时 等差数列的性质及应用 课标定位 素养阐释 1.理解并掌握等差中项的概念及其应用. 2.理解并掌握等差数列的项与序号之间的规律及应用. 3.提高逻辑推理、数学运算能力. 课前·基础认知 一、等差中项 【问题思考】 1.填空:(1)如果x,A,y是等差数列,那么称A 为x 与 y的等差中项. (2)如果一个数列中,中间的每一项都是它的前一项与 后一项的等差中项,那么这个数列一定是等差数列. 2.做一做:若a,b是方程x2-2x-3=0的两根,则a,b 的等差中项为( ) A.-1 B.- 3 2 C.1 D. 3 2 答案 C 解析 由已知得a+b=2, 因此a,b的等差中项为 a+b 2 =1. 二、“下标和”性质 【问题思考】 1.已知下面三个等差数列: ①1,3,5,7,9,13,… ②5,2,-1,-4,-7,-10,… ③2,2,2,2,2,2,… (1)你能计算出每个数列中a1+a5 与a2+a4 的值吗? (2)各个数列中a1+a5 与a2+a4 的值有怎样的数量关 系? 这种关系是巧合吗? (3)如果换为a1+a4 与a2+a3 呢? 提示 (1)①a1+a5=10,a2+a4=10; ②a1+a5=-2,a2+a4=-2; ③a1+a5=4,a2+a4=4. (2)相等,不是巧合. (3)仍然相等. 2.填空: (1)一般地,如果{an}是等差数列,而且正整数s,t,p,q 满足s+t=p+q,则as+at=ap +aq.特别地,如果2s= p+q,则2as=ap+aq. (2)数列{an}是有穷等差数列,则与首末两项等距离的 两项之和都相等,且等于首末两项之和,即a1+an =a2+ an-1=a3+an-2=…=ai+1+an-i=…(0≤i≤n-1,i∈ N+ ). 3.做一做:已知数列{an}是等差数列,a2+a10=8,则 a5+a7= . 答案 8 20