数学 选择性必修第三册 配人教B版 6.做一做：(1)已知数列{a.}的通项公式am=n2十1，若 其前n项和为S。,则S= (3)S,=n(aIta.) 2 (2)已知数列{am}为等差数列，首项a1=2,公差d=2, 0(2+10) =72,得n=12. 则其前n项和S。=」 2 (3)已知数列{am}为等差数列，a1=2,am=10,S.=72, 【思考辨析】 则n= 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画 答案(1)17 “/”,错误的画“×”. (2)n2+n (1)am=S.-S.-1成立的条件是n∈N+. (X) (2)在等差数列中涉及a1,d,n,am,S。五个量，利用方 (3)12 程思想可以“知三求二” () 解析(1)，an=n2十1， (3)在等差数列{an}中，若a1=3,d=2,则So=120. ∴.a1=2,a2=5,a3=10, (/) ∴Sg=a1十a2十a3=17. (4)在等差数列{a.}中，若a1=2,ag=10,则Sg=45. (2)S.=nnDd (×) 2 ∴.Sn=2十n(n-1)=n2+n. 课堂·重难突破 .a6=a1+5X3=8, 探究一 等差数列前n项和的计算 a1=-7, 【例1】根据下列条件分别求出等差数列的前n项和. S6=10X(-7)+10X9 2 ×3=65. (1)a1=1,a1o=21,n=10: (2)在等差数列{am}中，a6,a7是方程x2十3x一1=0的 (2)a1=100,d=-2,n=50: 两根， (3)a1=2,a.=32,d=2. .a6十a7=-3,又a1十a12=a6十a7 解（1)由S.=a+am,知5=a+an)X10 2 2 六数列(a,}的前12项的和为Se=na1a2= 2 110. 12 12 (2)由S.=a1+u2Dd,知S0=50×100十 a,+a,)=号x(-3)=-18 2 50×49×(-2)=250. 探究二与S有关的基本量的计算 2 (3)am=a1十(n-1)d,.32=2+(n-1)X2, 【例2】已知数列{a.}是等差数列， 得m=16.56=a十ag)X16-2+32)×16=272 (1)若a1=1,am=-512,Sn=-1022,求公差d: 2 2 (2)若a2十a5=19,S=40,求a10; (3)若a,=9,ag=一6，S,=63,求n的值 ①反思感悟 分析利用等差数列通项公式与求和公式列方程（组） 等差数列的前n项和公式有两个，在解题时，要根 求解 据题目中所给的条件，合理进行选择，若已知a1,a.,则 解(1)，a.=a1十(n-1)d, 选择公式S.=naa,若已知a1,d,则选择公式 2 S.=m1+nn-1 d 2 S,=nata(n-D d a1=1,am=-512,S.=-1022 1+(n-1)d=-512, 【变式训练1】(1)设等差数列{a.}的前n项和为S.,若 1 公差d=3,a6=8,则So的值为() n+2(m-1)d=-1022, A.65 B.62 C.59 D.56 解得n=4,d=-171. (2)在等差数列{an}中，若a6,a7是方程x2十3x-1=0 (2)方法一：设数列{am}的公差为d, 的两根，则{a.}的前12项的和为(） (a1+d+a1+4d=19, A.6 B.18 C.-18 D.-6 由已知可得 答案(1)A(2)C 解得a1=2,d=3, 解析(1)，a。=a1十(n一1)·d, 即a1o=a1十9d=29. 26
数 学 选择性必修 第三册 配人教B版 6.做一做:(1)已知数列{an}的通项公式an=n2+1,若 其前n项和为Sn,则S3= . (2)已知数列{an}为等差数列,首项a1=2,公差d=2, 则其前n项和Sn= . (3)已知数列{an}为等差数列,a1=2,an=10,Sn=72, 则n= . 答案 (1)17 (2)n2+n (3)12 解析 (1)∵an=n2+1, ∴a1=2,a2=5,a3=10, ∴S3=a1+a2+a3=17. (2)∵Sn=na1+ n(n-1)d 2 , ∴Sn=2n+n(n-1)=n2+n. (3)∵Sn= n(a1+an) 2 , ∴ n(2+10) 2 =72,得n=12. 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画 “√”,错误的画“×”. (1)an=Sn-Sn-1 成立的条件是n∈N+ . (×) (2)在等差数列中涉及a1,d,n,an,Sn 五个量,利用方 程思想可以“知三求二”. (√) (3)在等差数列{an}中,若a1=3,d=2,则S10=120. (√) (4)在等差数列{an}中,若a1=2,a9=10,则S9=45. (×) 课堂·重难突破 探究一 等差数列前n项和的计算 【例1】根据下列条件分别求出等差数列的前n项和. (1)a1=1,a10=21,n=10; (2)a1=100,d=-2,n=50; (3)a1=2,an=32,d=2. 解 (1)由Sn = (a1+an)n 2 ,知S10= (a1+a10)×10 2 = 110. (2)由 Sn =na1 + n(n-1) 2 d,知 S50 =50×100+ 50×49 2 ×(-2)=2550. (3)∵an=a1+(n-1)d,∴32=2+(n-1)×2, 得n=16,∴S16= (a1+a16)×16 2 = (2+32)×16 2 =272. 等差数列的前n项和公式有两个,在解题时,要根 据题目中所给的条件,合理进行选择.若已知a1,an,则 选择公式Sn= n(a1+an) 2 ;若已知a1,d,则选择公式 Sn=na1+ n(n-1) 2 d. 【变式训练1】(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若 公差d=3,a6=8,则S10 的值为( ) A.65 B.62 C.59 D.56 (2)在等差数列{an}中,若a6,a7 是方程x2+3x-1=0 的两根,则{an}的前12项的和为( ) A.6 B.18 C.-18 D.-6 答案 (1)A (2)C 解析 (1)∵an=a1+(n-1)·d, ∴a6=a1+5×3=8, ∴a1=-7, ∴S10=10×(-7)+ 10×9 2 ×3=65. (2)在等差数列{an}中,a6,a7 是方程x2+3x-1=0的 两根, ∴a6+a7=-3,又a1+a12=a6+a7, ∴数列 {an}的 前 12 项 的 和 为 S12 = n(a1+a12) 2 = 12 2 (a6+a7)= 12 2 ×(-3)=-18. 探究二 与Sn 有关的基本量的计算 【例2】已知数列{an}是等差数列, (1)若a1=1,an=-512,Sn=-1022,求公差d; (2)若a2+a5=19,S5=40,求a10; (3)若a4=9,a9=-6,Sn=63,求n的值. 分析 利用等差数列通项公式与求和公式列方程(组) 求解. 解 (1)∵an=a1+(n-1)d, Sn=na1+ n(n-1) 2 d, 又a1=1,an=-512,Sn=-1022, ∴ 1+(n-1)d=-512, n+ 1 2 n(n-1)d=-1022, 解得n=4,d=-171. (2)方法一:设数列{an}的公差为d, 由已知可得 a1+d+a1+4d=19, 5a1+ 5×4 2 d=40, 解得a1=2,d=3, 即a10=a1+9d=29. 26
第五章 数列 方法二：设数列{am}的公差为d, 48 由S5=5as=40,得a3=8. 方法二：由5，-5〔a寸a-24,得a1+a,= 2 所以a2十a5=aa-d+a3+2d=2a3十d=16+d=19, 48 得d=3 因此a2十a=a1十a= 所以a1o=a3十7d=8十3X7=29. 探究三等差数列前n项和公式的实 (3)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d, 则/+3d=9. 际应用 la1+8d=-6. 【例3】某抗洪指挥部接到预报，有一洪峰将于24h后 /a1=18, 到达，为确保安全，该指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一 解得d=-3. 道堤坝作为第二道防线.经计算，除现有的参战军民连续奋 S.=a1+0n14=18m-3m(2-1=63. 战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24h. 2 2 从各地紧急抽调的同型号翻斗车中，目前只有一辆投入使 解得n=6或n=7. 用，每隔20min能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那 反思感悟 么在24h内能否构筑成第二道防线？ a1,n,d称为等差数列的三个基本量，am和S。都 解从第一辆车投入工作算起各车工作时间（单位：h) 可以用这三个基本量来表示，五个量a1,n,d,am,S。中 依次设为a1,a2…,a5.由题意可知，此数列为等差数列，且 可“知三求二”，一般是通过通项公式和前n项和公式 a1=24,公差d=-3 1 列出关于基本量a1和d的方程（组）求解，这种方法是 25辆翻斗车完成的工作量为a1十a2十…十a5=S5,即 解决数列问题的基本方法.在具体求解过程中应注意 整体代换思想的运用，以便简化计算. Sa=25×24+524×(-号）=50，而舍要充成的工作 2 量为24×20=480. 【变式训练2】已知在等差数列{a.}中， 因为500>480，所以在24h内能构筑成第二道防线. D若a,=3 2,d=一1，S。=-15,求n及a2； 飞反思感悟 (2)若S12=84,Sm=460,求am; 1.本题属于与等差数列前n项和有关的应用题， (3)若S5=24,求a2十a4. 其关键在于构造合适的等差数列。 解1：S.=u1+n02D4=n·号+m-D× 2 2.逼到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数 2 2 列知识联系，构造数列，具体解决要注意以下两点， (-2）=-15. (1)抓住实际问题的特征，明确是什么类型的 整理得n2-7m一60=0， 数列. 解得n=12或n=-5(舍去)， (2)深入分析题意，确定是求通项公式am,或是求 a=+2-10x(←2=-4 前n项和S.,还是求项数n 【变式训练3】一支车队有15辆车，某天依次出发执行 (2)设数列{a.}的公差为d, 任务.第1辆车于下午2时出发，第2辆车于下午2时10分 fsa=12a,+12X14=84. 出发，第3辆车于下午2时20分出发，依此类推.假设所有 由题意得 20×1 的司机都连续开车，并且都在下午6时停下休息， Sm=20a1+ 2 d=460, (1)到下午6时，最后一辆车行驶了多长时间？ 蓥理得2a+11d=14, (2)如果每辆车的行驶速度都是60km/h,那么这支车 2a1+19d=46. 队当天一共行驶了多少路程？ 即=-15. 解由题意，知第1辆车行驶了240min,各辆车行驶的 ld=4. 时间构成一个等差数列{am},其中a1=240,公差d=一10， .a.=a1+(n-1)d=-15+4(n-1)=4n-19. 则am=240-10(n一1)=-10n十250. (3)方法一：设等差数列的首项为a1,公差为d, (1)因为am=-10n+250,所以a15=-10×15十250= 则S,=5a1+5(5D4=24, 100, 2 所以到下午6时，最后一辆车行驶了100min. 即得5a1十10d=24, (2)这支车队所有车辆行驶的总时间为S1= a+24=4 @+aX15-240+100×15=250(mim）-空.所以 2 a2十a=a1+d+a1十3d=2(a1+2d)=2× 2448 551 这支车队当天一共行我的路程为×60=250(km。 27
第五章 数列 方法二:设数列{an}的公差为d, 由S5=5a3=40,得a3=8. 所以a2+a5=a3-d+a3+2d=2a3+d=16+d=19, 得d=3. 所以a10=a3+7d=8+3×7=29. (3)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d, 则 a1+3d=9, a1+8d=-6, 解得 a1=18, d=-3. ∴Sn=na1+ n(n-1)d 2 =18n- 3n(n-1) 2 =63, 解得n=6或n=7. a1,n,d 称为等差数列的三个基本量,an 和Sn 都 可以用这三个基本量来表示,五个量a1,n,d,an,Sn 中 可“知三求二”,一般是通过通项公式和前n 项和公式 列出关于基本量a1 和d 的方程(组)求解,这种方法是 解决数列问题的基本方法.在具体求解过程中应注意 整体代换思想的运用,以便简化计算. 【变式训练2】已知在等差数列{an}中, (1)若a1= 3 2 ,d=- 1 2 ,Sn=-15,求n及a12; (2)若S12=84,S20=460,求an; (3)若S5=24,求a2+a4. 解 (1)∵Sn=na1+ n(n-1) 2 d=n· 3 2 + n(n-1) 2 × - 1 2 =-15, 整理得n2-7n-60=0, 解得n=12或n=-5(舍去), a12= 3 2 +(12-1)× - 1 2 =-4. (2)设数列{an}的公差为d, 由题意得 S12=12a1+ 12×11 2 d=84, S20=20a1+ 20×19 2 d=460, 整理得 2a1+11d=14, 2a1+19d=46, 即 a1=-15, d=4. ∴an=a1+(n-1)d=-15+4(n-1)=4n-19. (3)方法一:设等差数列的首项为a1,公差为d, 则S5=5a1+ 5(5-1) 2 d=24, 即得5a1+10d=24, ∴a1+2d= 24 5 . a2+a4=a1+d+a1+3d=2(a1+2d)=2× 24 5 = 48 5 . 方法二:由S5= 5(a1+a5) 2 =24,得a1+a5= 48 5 . 因此a2+a4=a1+a5= 48 5 . 探究三 等差数列前n 项和公式的实 际应用 【例3】某抗洪指挥部接到预报,有一洪峰将于24h后 到达,为确保安全,该指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一 道堤坝作为第二道防线.经计算,除现有的参战军民连续奋 战外,还需调用20台同型号翻斗车,平均每辆车工作24h. 从各地紧急抽调的同型号翻斗车中,目前只有一辆投入使 用,每隔20min能有一辆翻斗车到达,一共可调集25辆,那 么在24h内能否构筑成第二道防线? 解 从第一辆车投入工作算起各车工作时间(单位:h) 依次设为a1,a2,…,a25.由题意可知,此数列为等差数列,且 a1=24,公差d=- 1 3 . 25辆翻斗车完成的工作量为a1+a2+…+a25=S25,即 S25=25×24+ 25×24 2 × - 1 3 =500,而需要完成的工作 量为24×20=480. 因为500>480,所以在24h内能构筑成第二道防线. 1.本题属于与等差数列前n 项和有关的应用题, 其关键在于构造合适的等差数列. 2.遇到与正整数有关的应用题时,可以考虑与数 列知识联系,构造数列,具体解决要注意以下两点. (1)抓住实际问题的特征,明确是什么类型的 数列. (2)深入分析题意,确定是求通项公式an,或是求 前n项和Sn,还是求项数n. 【变式训练3】一支车队有15辆车,某天依次出发执行 任务.第1辆车于下午2时出发,第2辆车于下午2时10分 出发,第3辆车于下午2时20分出发,依此类推.假设所有 的司机都连续开车,并且都在下午6时停下休息. (1)到下午6时,最后一辆车行驶了多长时间? (2)如果每辆车的行驶速度都是60km/h,那么这支车 队当天一共行驶了多少路程? 解 由题意,知第1辆车行驶了240min,各辆车行驶的 时间构成一个等差数列{an},其中a1=240,公差d=-10, 则an=240-10(n-1)=-10n+250. (1)因为an=-10n+250,所以a15=-10×15+250= 100, 所以到下午6时,最后一辆车行驶了100min. (2)这 支 车 队 所 有 车 辆 行 驶 的 总 时 间 为 S15 = (a1+a15)×15 2 = 240+100 2 ×15=2550(min)= 85 2 (h),所以 这支车队当天一共行驶的路程为 85 2 ×60=2550(km). 27
数学 选择性必修 第三册 配人教B版 易错辨析 A.1 R号 C.2 D.3 忽略S.与a,的关系而致误 答案C 【典例】已知数列{a.}的前n项和S.=n2+n一1，试判 a1+2d=6, 断{am}是否为等差数列，为什么？ 解析由题意得 错解a。=S。-Sw-1=(n2十n-1) a+32=12. [(n-1)2+(n-1)-1]=2m. 解得d=2. 又an-am-1=2n-2(n-1)=2, 2.设S.是等差数列{an}的前n项和，已知a2=3,a6=11, 即数列{an}的每一项与前一项的差是同一个常数， 则S,等于( ) 所以数列{a.}是等差数列. A.13 B.35 C.49 D.63 以上解答过程中都有哪些错误？出错的原因是什么？ 答案C 你如何改正？你如何防范？ 解析：a2十a6=a1十a7=14, 提示用公式an=S。一Sm-1时，要求n≥2，忽视了这一 ∴S,= 7(a1+a7) =49. 条件而不去验证当n=1的情况从而导致判断错误。 2 正解当n≥2时，a。=S。-S.-1=(n2十n-1) 3.在等差数列{am}中，a1=1,ag十a5=14,其前n项和S.= [(n-1)2+(n-1)-1]=2: 100,则n= 当n=1时，a1=S1=1,不符合上式. 答案10 1,n=1, 解析设等差数列的公差为d,则aa十a5=2a1十6d=2十 a.={2,n≥2， 6d=14,解得d=2. ∴数列{an}不是等差数列. 则S。=+n(n- X2=n2 防范措施 2 S.=100, 已知数列的前n项和S。求数列的通项公式时，需 n2=100. 分类讨论，即分n=1与n≥2两种情况：当n=1满足 解得n=10或n=-10(舍去). am(n≥2)的式子时，才能用同一个式子来表达，否测必 4.设等差数列{an}的前n项和为S.,若a6=S3=l2,则数列 须分段表示」 {an}的通项am= 【变式训练】已知数列{a,}的前n项和S。的公式满足 答案2n S.=a,十1)，求{a}的通项公式. 解析设数列{am}的公差为d, |a1+5d=12, 解当n=1时a1=S=a1+12,解得a=1 则《 3×2 3a1+ 2d=12, 解好化子 当m≥2时a,=S.-S-1=[a.十1-a-十11 因此an=2+(n-1)×2=2m. 5.在等差数列{a.}中，已知公差d=2,am=11,S.=35,求 整理得(an十a-1)(am一a-1一2)=0， a1和n. an十am-1≠0， am=a1+(n-1)d, am-am-1=2. 解由 ∴数列{an}是以a1=1为首项，2为公差的等差数列. S.=na+u(nDd, 2 ∴.an=2m-1 a1+2(n-1)=11, 随堂训练。。·。·。。 na+n(n-1). 得{ 2 2=35. 1.已知数列{a.}为等差数列，其前n项和为S。,若ag=6, n=5, S3=12,则公差d等于() 解方程组得 a1=-1 课后·训练提升 基础·巩固 A.58 B.88 C.143 D.176 1在等差数列{am}中，已知a4十ag=l6,则该数列前11项的 答案B 和S1=( 28
数 学 选择性必修 第三册 配人教B版 易 错 辨 析 忽略Sn 与an 的关系而致误 【典例】已知数列{an}的前n项和Sn=n2+n-1,试判 断{an}是否为等差数列,为什么? 错解 an = Sn - Sn-1 = (n2 + n - 1)- [(n-1)2+(n-1)-1]=2n. 又an-an-1=2n-2(n-1)=2, 即数列{an}的每一项与前一项的差是同一个常数, 所以数列{an}是等差数列. 以上解答过程中都有哪些错误? 出错的原因是什么? 你如何改正? 你如何防范? 提示 用公式an=Sn-Sn-1 时,要求n≥2,忽视了这一 条件而不去验证当n=1的情况从而导致判断错误. 正解 当n≥2 时,an =Sn -Sn-1 = (n2 +n-1)- [(n-1)2+(n-1)-1]=2n; 当n=1时,a1=S1=1,不符合上式. ∴an= 1,n=1, 2n,n≥2. ∴数列{an}不是等差数列. 已知数列的前n项和Sn 求数列的通项公式时,需 分类讨论,即分n=1与n≥2两种情况;当n=1满足 an(n≥2)的式子时,才能用同一个式子来表达,否则必 须分段表示. 【变式训练】已知数列{an}的前n 项和Sn 的公式满足 Sn= 1 4 (an+1)2,求{an}的通项公式. 解 当n=1时,a1=S1= 1 4 (a1+1)2,解得a1=1. 当n≥2时,an=Sn-Sn-1= 1 4 [(an+1)2-(an-1+1)2]. 整理得(an+an-1)(an-an-1-2)=0, ∵an+an-1≠0, ∴an-an-1=2. ∴数列{an}是以a1=1为首项,2为公差的等差数列. ∴an=2n-1. 随堂训练 1.已知数列{an}为等差数列,其前n 项和为Sn,若a3=6, S3=12,则公差d 等于( ) A.1 B. 5 3 C.2 D.3 答案 C 解析 由题意得 a1+2d=6, 3a1+ 3×2 2 d=12, 解得d=2. 2.设Sn 是等差数列{an}的前n 项和,已知a2=3,a6=11, 则S7 等于( ) A.13 B.35 C.49 D.63 答案 C 解析 ∵a2+a6=a1+a7=14, ∴S7= 7(a1+a7) 2 =49. 3.在等差数列{an}中,a1=1,a3+a5=14,其前n 项和Sn= 100,则n= . 答案 10 解析 设等差数列的公差为d,则a3+a5=2a1+6d=2+ 6d=14,解得d=2. 则Sn=n+ n(n-1) 2 ×2=n2. ∵Sn=100, ∴n2=100. 解得n=10或n=-10(舍去). 4.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a6=S3=12,则数列 {an}的通项an= . 答案 2n 解析 设数列{an}的公差为d, 则 a1+5d=12, 3a1+ 3×2 2 d=12, 解得 a1=2, d=2, 因此an=2+(n-1)×2=2n. 5.在等差数列{an}中,已知公差d=2,an=11,Sn=35,求 a1 和n. 解 由 an=a1+(n-1)d, Sn=na1+ n(n-1) 2 d, 得 a1+2(n-1)=11, na1+ n(n-1) 2 ×2=35, 解方程组得 n=5, a1=3 或 n=7, a1=-1. 课后·训练提升 基础 巩固 1.在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则该数列前11项的 和S11=( ) A.58 B.88 C.143 D.176 答案 B 28
第五章数列 解析S= 11×(a1+an 2 ,a1+a11=a4十as=16, 7已知数列a}为等差数列，S.为其前m项和若a1=之 S1=1X16=88.故选B S2=a3,则a2= :S= 2 2.若等差数列{a.}的前5项和S;=25,且a2=3,则a,= 答案1n(n+1) 4 解析S2=aa=a1十a2 A.12 B.13 C.14 D.15 a,-a,=d=a1= 答案B 1 1 六a:=atd=2+2=1. 解折S,=5(a十a_5Caa=25. 1 2 2 I n a.=2+m-1)×2=2, .a2十a4=10. 又a2=3,a4=7,.公差d=2. ∴.a7=a4十3d=7十3X2=13. .S=- 2 4 3.设S。为等差数列{am}的前n项和，若a1=1,公差d=2, 8.等差数列{a.}的前n项和为S.,已知am-1十am+1一a= S+2-S。=24,则k=(） 0,S2m-1=38,则m1= A.8 B.7 C.6 D.5 答案10 答案D 解析因为数列{an}是等差数列， 解析由a1=1,公差d=2得通项公式am=2-1,又 所以am-1十am+1=2am S+2-Se=a+1十a+2,所以2k十1十2k十3=24，得k= 由am-1十amt1一a品=0，得2am一a2=0. 5.故选D. 由S2m-1=38知am≠0， 4.已知数列{a。}的前n项和S.=n2一9m,第k项满足5< 所以am=2.又S2m-1=38, a<8,则k等于() p2m-l)(g+a-2=38. A.9 B.8 C.7 D.6 2 答案B 即(2m-1)×2=38,解得m=10. 9.已知等差数列{a。},解答下列问题： 解析当n≥2时，am=S。一S-1=(n2一9m)一 (1)已知a1=5,a0=95,求S10: [(m-1)2-9(n-1)]=2m-10: (2)已知a1=100,d=-2,求S0: 当n=1时，a1=S1=-8,满足上式 (3)已知a1=20,am=54,Sn=999,求n,d; 所以am=2n-10(n∈N+). (4)已知d=2,S1o=10000,求a1与a 由5<ae<8得5<2k-10<8,解得7.5<k<9. 又k∈N+,因此k=8. 解1)So=10(a,十an_10X(5+95)=50, 2 5.已知等差数列{a.}前9项的和为27，a1o=8,则a1o= (2)S=50X10+50X49×(-2)=250. 2 A.100 B.99 C.98 D.97 8s.=nata2_n20+54=999, 答案C 2 2 解析由等差数列性质，知S,=9(a十a)-9X2a= n=27.d=a,-a1=54-20_17 n-127-1-131 2 2 9a5=27,得a6=3,而a10=8,因此公差d=a0二a=1, (4:Sm=100a1+100X99×2=10000. 2 10-5 a1=1,an=a1+(m-1)d=2m-1. 所以a1o0=a0十90d=98.故选C, 10.已知等差数列{am}的前n项和为S.,且a1十S,=20, 6.在等差数列{am}中，其前n项和为Sm,若S2=8S4,则 S5=50. 2 (1)求数列{a.}的通项公式： (2)请确定3998是否是数列{a.}中的项？ 答案品 解(1)设数列{an}的公差为d, ,12×11 解析，S12=12a1 2d,s,=4u1+4X3 2d, 由题毫有但十3a十3)=20解得a1=2.d=4, l5a1+10d=50, ∴.12a1+66d=32a1+48d.∴.20a1=18d. 则数列{a.}的通项公式为a.=2十4(n一1)= 增8品 4n-2. (2)假设3998是数列{a.}中的项，有4n一2= 29
第五章 数列 解析 ∵S11= 11×(a1+a11) 2 ,a1+a11=a4+a8=16, ∴S11= 11×16 2 =88.故选B. 2.若等差数列{an}的前5项和S5=25,且a2=3,则a7= ( ) A.12 B.13 C.14 D.15 答案 B 解析 S5= 5(a1+a5) 2 = 5(a2+a4) 2 =25, ∴a2+a4=10. 又a2=3,∴a4=7,∴公差d=2. ∴a7=a4+3d=7+3×2=13. 3.设Sn 为等差数列{an}的前n项和,若a1=1,公差d=2, Sk+2-Sk=24,则k=( ) A.8 B.7 C.6 D.5 答案 D 解析 由a1=1,公差d=2得通项公式an =2n-1,又 Sk+2-Sk=ak+1+ak+2,所以2k+1+2k+3=24,得k= 5.故选D. 4.已知数列{an}的前n 项和Sn=n2-9n,第k 项满足5< ak<8,则k等于( ) A.9 B.8 C.7 D.6 答案 B 解析 当 n ≥2 时,an =Sn -Sn-1 = (n2 -9n)- [(n-1)2-9(n-1)]=2n-10; 当n=1时,a1=S1=-8,满足上式. 所以an=2n-10(n∈N+ ). 由5<ak<8得5<2k-10<8,解得7.5<k<9. 又k∈N+ ,因此k=8. 5.已知等差数列{an}前9项的和为27,a10=8,则a100= ( ) A.100 B.99 C.98 D.97 答案 C 解析 由等差数列性质,知S9= 9(a1+a9) 2 = 9×2a5 2 = 9a5=27,得a5=3,而a10=8,因此公差d= a10-a5 10-5 =1, 所以a100=a10+90d=98.故选C. 6.在等差数列{an}中,其前n 项和为Sn,若S12=8S4,则 a1 d = . 答案 9 10 解析 ∵S12=12a1+ 12×11 2 d,S4=4a1+ 4×3 2 d, ∴12a1+66d=32a1+48d.∴20a1=18d. ∴ a1 d = 18 20 = 9 10 . 7.已知数列{an}为等差数列,Sn 为其前n 项和.若a1= 1 2 , S2=a3,则a2= ;Sn= . 答案 1 n(n+1) 4 解析 ∵S2=a3=a1+a2, ∴a3-a2=d=a1= 1 2 , ∴a2=a1+d= 1 2 + 1 2 =1. an= 1 2 +(n-1)× 1 2 = n 2 , ∴Sn= n 1 2 + n 2 2 = n(n+1) 4 . 8.等差数列{an}的前n项和为Sn,已知am-1+am+1-a2 m = 0,S2m-1=38,则m= . 答案 10 解析 因为数列{an}是等差数列, 所以am-1+am+1=2am. 由am-1+am+1-a2 m=0,得2am-a2 m=0. 由S2m-1=38知am ≠0, 所以am=2.又S2m-1=38, 即 (2m-1)(a1+a2m-1) 2 =38, 即(2m-1)×2=38,解得m=10. 9.已知等差数列{an},解答下列问题: (1)已知a1=5,a10=95,求S10; (2)已知a1=100,d=-2,求S50; (3)已知a1=20,an=54,Sn=999,求n,d; (4)已知d=2,S100=10000,求a1 与an. 解 (1)S10= 10(a1+a10) 2 = 10×(5+95) 2 =500. (2)S50=50×100+ 50×49 2 ×(-2)=2550. (3)∵Sn= n(a1+an) 2 = n(20+54) 2 =999, ∴n=27.∴d= an-a1 n-1 = 54-20 27-1 = 17 13 . (4)∵S100=100a1+ 100×99 2 ×2=10000, ∴a1=1,∴an=a1+(n-1)d=2n-1. 10.已知等差数列{an}的前n 项和为Sn,且a1+S3=20, S5=50. (1)求数列{an}的通项公式; (2)请确定3998是否是数列{an}中的项? 解 (1)设数列{an}的公差为d, 由题意有 a1+(3a1+3d)=20, 5a1+10d=50, 解得a1=2,d=4, 则数列 {an}的通项公式为an =2+4(n-1)= 4n-2. (2)假设 3998 是数列 {an}中的项,有 4n-2= 29
数学 选择性必修 第三册 配人教B版 3998,得n=1000, 5.植树节当天，某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每 故3998是数列{a.}中的第1000项. 人植树一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中 拓展·提高 放置在某一棵树坑旁边，使每名同学从各自树坑出发前来 领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为 1.在等差数列{am}中，a1十a4十a,=39,a3十a6十ag=27,则 米. 数列{a.}前9项的和S,等于() 答案2000 A.66 B.99 C.144 D.297 解析假设20名同学是1号到20号依次排列，使每名同 答案B 学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最 解析，数列{a.}是等差数列，a1十a4十a7,a2十a5十 小，则树苗需放在第10号或第11号树坑旁，此时两侧的 ag,ag十a6十ag成等差数列. 同学所走的路程分别组成以20为首项，20为公差的等差 a2十a+a=（afa,Far十(a十a+a) 数列，故所有同学往返的总路程为S=9X20+9X8× 2 2 39+27=33. 20+10×20+10×9 2 2 ×20=2000米. .Sg=a1十a2十…十ag=(a1十a,十a7)十(a2十a5十 6.设Sn是等差数列{a.}的前n项和，a12=一8，Sg=一9，则 ag)十(a3十a8十ag)=39十33十27=99. S16= 2.（多选题)已知数列{an}为等差数列，其前n项和为S.,且 答案-72 2a1十3aa=S6,则下列结论正确的是() 解析：等差数列{a.}的前n项和S.=n(a1十a) Aa10=0 B.S1o最小 2 C.S,=S12 D.S19=0 S,=9as:Sw=16(aaw=8a1+a). 2 答案ACD 又Sg=-9,a12=-8, 解析A因为数列{am}为等差数列，2a1十3a3=S6,即 ∴a5=-1. 5a1十6d=6a1十15d,即a1+9d=a1o=0,A正确： 由等差数列的性质得a1十a1s=a5十a12, B.因为a10=0,所以Sg=S1o,但是无法推出数列 .S16=-72. {am}的单调性，故无法确定S。是最大值还是最小值，B 7.已知数列{a.}的前n项和为S.(S。≠0)，且满足am十 错误： 1 C.因为a8十ag十ao十an十a2=5a1o=0, 2S.S.-1=0(n≥2)，a1=2 所以S2=S,十as十ag十a1o十an十a12=S,十0=S, 山求证：数列传侵}是等差数列： C正确； (2)求数列{a.}的通项公式. D.S6=aaX19=19a=0,D正确，故选ACD, 2 (1)证明-an=2SS。-1(n≥2) 3.设等差数列{am}的前n项和为Sm,若Sm-1=一2，Sm=0, .-S.十S.-1=2SS。-1(n≥2)， Sm+1=3,则m=() 又Sm≠0(n=1,2,3,…) A.3 B.4 C.5 D.6 2 答案C 解析，数列{am}是等差数列，Sm-1=一2，Sm=0, 1=1=2, 又5a, am=Sm-Sm-1=2. Smt=3,am=Smt-Sm=3 鼓列侵}是以2为首项2为公差的等差载列。 ∴.d=amt1一am=l 1 (2)解由1)可知5.=2+(n-1D·2=2m, 又s=ma,ta)_ma+2=0. 2 2 .S.=2m ∴a1=-2,∴am=-2十(m-1)·1=2, 1 .m=5. 当n≥2时，a.=S。-S-1=2元2m-五 4.设数列{am}为等差数列，公差d=-2,S。为其前n项和， 若S。=S1,则a1= 2m(n-1)1 答案20 当n=1时S,=a1= 解析S1=S1o十a11,So=S1, .an=0. 2n=1, 由an=a1十10d,且d=-2,解得a1=20. 1 2n(n-1)n≥2. 30
数 学 选择性必修 第三册 配人教B版 3998,得n=1000, 故3998是数列{an}中的第1000项. 拓展 提高 1.在等差数列{an}中,a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27,则 数列{an}前9项的和S9 等于( ) A.66 B.99 C.144 D.297 答案 B 解析 ∵数列{an}是等差数列,∴a1+a4+a7,a2+a5+ a8,a3+a6+a9 成等差数列. ∴a2 +a5 +a8 = (a1+a4+a7)+(a3+a6+a9) 2 = 39+27 2 =33. ∴S9=a1+a2+…+a9=(a1+a4+a7)+(a2+a5+ a8)+(a3+a6+a9)=39+33+27=99. 2.(多选题)已知数列{an}为等差数列,其前n项和为Sn,且 2a1+3a3=S6,则下列结论正确的是( ) A.a10=0 B.S10 最小 C.S7=S12 D.S19=0 答案 ACD 解析 A.因为数列{an}为等差数列,2a1+3a3=S6,即 5a1+6d=6a1+15d,即a1+9d=a10=0,A正确; B.因为a10=0,所以S9=S10,但是无法推出数列 {an}的单调性,故无法确定S10 是最大值还是最小值,B 错误; C.因为a8+a9+a10+a11+a12=5a10=0, 所以S12=S7+a8+a9+a10+a11+a12=S7+0=S7, C正确; D.S19= a1+a19 2 ×19=19a10=0,D正确.故选 ACD. 3.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm =0, Sm+1=3,则m=( ) A.3 B.4 C.5 D.6 答案 C 解析 ∵数列{an}是等差数列,Sm-1=-2,Sm=0, ∴am=Sm-Sm-1=2. ∵Sm+1=3,∴am+1=Sm+1-Sm=3, ∴d=am+1-am=1. 又Sm= m(a1+am) 2 = m(a1+2) 2 =0, ∴a1=-2,∴am=-2+(m-1)·1=2, ∴m=5. 4.设数列{an}为等差数列,公差d=-2,Sn 为其前n 项和, 若S10=S11,则a1= . 答案 20 解析 ∵S11=S10+a11,S10=S11, ∴a11=0. 由a11=a1+10d,且d=-2,解得a1=20. 5.植树节当天,某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每 人植树一棵,相邻两棵树相距10米,开始时需将树苗集中 放置在某一棵树坑旁边,使每名同学从各自树坑出发前来 领取 树 苗 往 返 所 走 的 路 程 总 和 最 小,此 最 小 值 为 米. 答案 2000 解析 假设20名同学是1号到20号依次排列,使每名同 学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最 小,则树苗需放在第10号或第11号树坑旁,此时两侧的 同学所走的路程分别组成以20为首项,20为公差的等差 数列,故所有同学往返的总路程为S=9×20+ 9×8 2 × 20+10×20+ 10×9 2 ×20=2000米. 6.设Sn 是等差数列{an}的前n项和,a12=-8,S9=-9,则 S16= . 答案 -72 解析 ∵等差数列{an}的前n项和Sn= n(a1+an) 2 , ∴S9=9a5,S16= 16(a1+a16) 2 =8(a1+a16). 又S9=-9,a12=-8, ∴a5=-1. 由等差数列的性质得a1+a16=a5+a12, ∴S16=-72. 7.已知数列{an}的前n 项和为Sn(Sn ≠0),且满足an + 2SnSn-1=0(n≥2),a1= 1 2 . (1)求证:数列 1 Sn 是等差数列; (2)求数列{an}的通项公式. (1)证明 ∵-an=2SnSn-1(n≥2), ∴-Sn+Sn-1=2SnSn-1(n≥2), 又Sn≠0(n=1,2,3,…), ∴ 1 Sn - 1 Sn-1 =2. 又 1 S1 = 1 a1 =2, ∴数列 1 Sn 是以2为首项,2为公差的等差数列. (2)解 由(1)可知 1 Sn =2+(n-1)·2=2n, ∴Sn= 1 2n . 当n ≥2 时,an =Sn -Sn-1 = 1 2n - 1 2(n-1)= - 1 2n(n-1) ; 当n=1时,S1=a1= 1 2 . ∴an= 1 2 ,n=1, - 1 2n(n-1) ,n≥2. 30