第五章数列 即ag=a1o= 1010 119 易错辨析 方法二：设aE是数列{an}的最大项， 忽视数列中n的取值范围而致误 则之a即 +≥(9. 【典例】数列{a.}的通项公式为a.=n一7，则数列{nan》} 的最小项为第」 _项 a4≥akt1, +(≥+2(9 货解由于m.=aa-7)=-7a=（。-)广-9。 10k+10≥11k, 整理得 解得9≤k≤10， 故当n=3时，数列{nam}的项最小 11k+11≥10k+20, 答案3 因此k=9或k=10, 以上解答过程中都有哪些错误？出错的原因是什么？ 即数列{an}中的最大项为ag=ao= 1010 119 你如何改正？你如何防范？ 反思感悟 提示忽视n∈N+和二次函数的图象的对称性漏掉一 求数列的最大（小）项的两种方法」 个解致误 (1)利用判断函数单调性的方法，先判断数列的增 正解m.=na-7)=-7a=(a-名》°-9 减情况，再求数列的最大项或最小项， 因为n∈N+,所以当n=3或n=4时，数列{nan}的项 (2)设a6是最大项，则有 a2a-1'对任意的k∈ 最小 ak≥a+1' N+,且k≥2都成立，解不等式组即可， 答案3或4 飞防范措施 延伸探究 1.数列是特殊的函数，在解题时需特别注意自变 若将数列{a.}的通项公式改为“a.=一2n2+9m十3”，求 量的取值范围，如本例中，n∈N+,当n=3或n=4时， 数列的最大项 数列{na.}的项最小. 解方法-：a=-2n2+9n+3=-2a-9）°十 2.一个数列是递增数列，其首项是这数列的最小 项；一个数列是递减数列，其首项是这数列的最大项， 1 8 此外，数列的单调性有时需要与函数的性质结合起来， 又n∈N+,.当n=2时，am最大， 【变式训练】已知数列{a.}的通项公式a.=n2-5n十 .最大项为a2=13. 4,n为正整数. 方法二：设a。为数列中的最大项， (1)数列中有几项是负的？ 则a,≥a1… (2)当n为何值时，am有最小值？并求出最小值. lam≥awt1s ÷厂2+9m+32-2a-1)2+90m-1+3. 解(1)由n2-5n十4<0，解得1<n<4,,n∈N+, -2m2+9m+3≥-2(m+1)2+9(n+1)+3, .n=2,3,.数列中有两项是负的. 解得≤n<}a=2ag=13. 11 2a.=n-5n+4=(a-2)-号 .当n=2时，am最大，最大项为a2=13. 又因为n∈N+,所以当n=2或n=3时，am有最小值， 【变式训练4】已知数列{an}的通项公式an=n2- 其最小值为22-5×2+4=-2. 7n一8，求数列{a.}的最小项. 随堂训练。。。·。。。· 解方法-0，=-7m-8=(a-名)°-， 1.在数列{a.}中，若a1=-l,am+1=an-3,则a3等于 n∈N+,当n=3或n=4时，an最小，且最小项 () a3=a4=-20. A.-7 B.-4 C.-1 D.2 方法二：设a。为数列{an}的最小项， 答案A 则a-"其中n>1, 解析a2=a1-3=-1-3=-4,a3=a2-3=-4- laa+ 3=-7. ,jm2-7m-8≤(n-1)2-7(n-1)-8, 即-7m-8≤(m+102-7a+i)-8. 1 2.设数列{an}满足a1=1,am=1十 (n∈N,n>1),则 an- 解得3≤n≤4， a3= 故当n=3或n=4时，aa=a4是数列中的最小项，且最 小项a3=a4=-20. 答案 11
第五章 数列 即a9=a10= 1010 119 . 方法二:设ak 是数列{an}的最大项, 则 ak≥ak-1, ak≥ak+1, 即 (k+1)10 11 k ≥k 10 11 k-1 , (k+1)10 11 k ≥(k+2)10 11 k+1 , 整理得 10k+10≥11k, 11k+11≥10k+20, 解得9≤k≤10, 因此k=9或k=10, 即数列{an}中的最大项为a9=a10= 1010 119 . 求数列的最大(小)项的两种方法. (1)利用判断函数单调性的方法,先判断数列的增 减情况,再求数列的最大项或最小项. (2)设ak 是最大项,则有 ak≥ak-1, ak≥ak+1, 对任意的k∈ N+ ,且k≥2都成立,解不等式组即可. 若将数列{an}的通项公式改为“an=-2n2+9n+3”,求 数列的最大项. 解 方法一:∵an =-2n2+9n+3=-2n- 9 4 2 + 105 8 , 又n∈N+ ,∴当n=2时,an 最大, ∴最大项为a2=13. 方法二:设an 为数列中的最大项, 则 an≥an-1, an≥an+1, ∴ -2n2+9n+3≥-2(n-1)2+9(n-1)+3, -2n2+9n+3≥-2(n+1)2+9(n+1)+3, 解得 7 4 ≤n≤ 11 4 ,∴n=2,a2=13, ∴当n=2时,an 最大,∴最大项为a2=13. 【变式训练 4】已知数列{an}的通项公式an =n2- 7n-8,求数列{an}的最小项. 解 方法一:an=n2-7n-8= n- 7 2 2 - 81 4 , ∵n∈N+ ,∴当n=3或n=4时,an 最小,且最小项 a3=a4=-20. 方法二:设an 为数列{an}的最小项, 则 an≤an-1, an≤an+1, 其中n>1, 即 n2-7n-8≤(n-1)2-7(n-1)-8, n2-7n-8≤(n+1)2-7(n+1)-8, 解得3≤n≤4, 故当n=3或n=4时,a3=a4 是数列中的最小项,且最 小项a3=a4=-20. 易 错 辨 析 忽视数列中n的取值范围而致误 【典例】数列{an}的通项公式为an=n-7,则数列{nan} 的最小项为第 项. 错解 由于nan=n(n-7)=n2-7n= n- 7 2 2 - 49 4 , 故当n=3时,数列{nan}的项最小. 答案 3 以上解答过程中都有哪些错误? 出错的原因是什么? 你如何改正? 你如何防范? 提示 忽视n∈N+ 和二次函数的图象的对称性漏掉一 个解致误. 正解 nan=n(n-7)=n2-7n= n- 7 2 2 - 49 4 . 因为n∈N+ ,所以当n=3或n=4时,数列{nan}的项 最小. 答案 3或4 1.数列是特殊的函数,在解题时需特别注意自变 量的取值范围,如本例中,n∈N+ ,当n=3或n=4时, 数列{nan}的项最小. 2.一个数列是递增数列,其首项是这数列的最小 项;一个数列是递减数列,其首项是这数列的最大项. 此外,数列的单调性有时需要与函数的性质结合起来. 【变式训练】已知数列{an}的通项公式an=n2-5n+ 4,n为正整数. (1)数列中有几项是负的? (2)当n为何值时,an 有最小值? 并求出最小值. 解 (1)由n2-5n+4<0,解得1<n<4,∵n∈N+ , ∴n=2,3,∴数列中有两项是负的. (2)an=n2-5n+4= n- 5 2 2 - 9 4 , 又因为n∈N+ ,所以当n=2或n=3时,an 有最小值, 其最小值为22-5×2+4=-2. 随堂训练 1.在数列{an}中,若a1=-1,an+1=an-3,则a3 等于 ( ) A.-7 B.-4 C.-1 D.2 答案 A 解析 a2=a1-3=-1-3=-4,a3 =a2 -3=-4- 3=-7. 2.设数列{an}满足a1=1,an=1+ 1 an-1 (n∈N,n>1),则 a3= . 答案 3 2 11
数学 选择性必修第三册 配人教B版 解析由已加得a:=1计=20，=1十-号 故a,=(号分) 3已知在数列a.冲a1=1,士=子则数列a.}的适项 4.已知数列{an}的前n项和Sn=n2+1,n为正整数，求其通 项公式aa 公式是 解当n≥2时，a.=S。-S.-1=n2+1-[(n-1)2+1]= 答案a.=(分) 2n-1, 当n=1时，a1=S,=2不符合上式， 解析a.=1X×X…Xa=Xa=1X 2,n=1, a1 a2 an-2 an-1 故am三 1 1 2n-1,n≥2. (n≥2).又a1=1符合上式， 课后·训练提升 基础·巩固 c 1.已知数列{a.},a1=1,am一aa-1=n-1(n≥2)，则a6等 答案C 于( ) A.7 B.11 C.16 D.17 解析令f()=十2(：>0，运周均值不学式得 答案C f(x)≥2√90，当且仅当x=3√10时等号成立， 解析由题可知a6=a1十(a2-a1)十(aa-a2)十(a, 因为an= 90,所以1 1 aa)+(a5-a,)+(a6-a5)=1+1十2+3+4+5=16. n +90290 2.已知在数列{an}中，a1=2,a2=1,a+2=3amt1-an,则 n a6十a4-3a5的值为() 由于n∈N4,因此当n=9或n=10时，a。=1g最大， A.3 B.-2 C.-1 D.0 答案D 6.若数列{am}满足a+1=2am一1，且ag=16,则a6 解析am+2=3at1-am…at2十am=3a+1令n=4, 得a6十a4=3a5,∴a6十a4-3a5=0. 答案号 3.已知在数列{an}中，a-1=ma.十1(n>1),且a2=3,a3= 解析，a+1=2am一1，∴a8=2a,-1=16 5,则实数m等于() .17 号 .17 解得a1=之，又a,=2a。-1=7,解得a6 .19 A.0 C.2 D.5 4 10 答案B 7.已知数列{an}的通项公式为an= n一3 ,则a。的最小 2 解析由题意得a2=ma十1，则3=5m十1，故m= 值为 ,此时n的值为 4.已知在数列{a.}中，a1=b(b为任意正数)，a+1= 答案} 3 a,十n=1,2.3…),能使a.=b的m可以是( 1 ) 10 -n(n3,n∈N+）, A.14 B.15 C.16 D.17 解析依题意，an 1 答案C 3 (n≥4，n∈N+). 1 当n≤3且n∈N+时，am单调递减，即最小值为aa= 解析因为a1=b,au+1= aw十1， 1 b+1 3 所以a=一6中市a=一 ba=b. 当n≥4且n∈N+时，am单调递增，即最小值为a,= 所以数列{a,}的项是以3为周期重复出现的， 所以a1=a1=a7=a1n=a13=a16=b.故选C 3 n 5.若数列{a.}的通项a.-+90则数列{a.}中的最大项 综上所远，a,的最小值为行，此时n的值为3 是() 8.已知数列{an}满足a.≤a+1a.=n2十n,n∈N+,则实数 A.3√10 B.19 入的最小值是 12
数 学 选择性必修 第三册 配人教B版 解析 由已知得a2=1+ 1 a1 =2,a3=1+ 1 a2 = 3 2 . 3.已知在数列{an}中,a1=1, an+1 an = 1 2 ,则数列{an}的通项 公式是 . 答案 an= 1 2 n-1 解析 an =a1 × a2 a1 × a3 a2 × … × an-1 an-2 × an an-1 =1× 1 2 × 1 2 ×…× 1 2 (n-1)个 = 1 2 n-1 (n≥2).又a1=1符合上式, 故an= 1 2 n-1 . 4.已知数列{an}的前n项和Sn=n2+1,n为正整数,求其通 项公式an. 解 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+1-[(n-1)2+1]= 2n-1, 当n=1时,a1=S1=2不符合上式, 故an= 2,n=1, 2n-1,n≥2. 课后·训练提升 基础 巩固 1.已知数列{an},a1=1,an-an-1=n-1(n≥2),则a6 等 于( ) A.7 B.11 C.16 D.17 答案 C 解析 由题可知a6=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(a4- a3)+(a5-a4)+(a6-a5)=1+1+2+3+4+5=16. 2.已知在数列{an}中,a1=2,a2=1,an+2=3an+1-an,则 a6+a4-3a5 的值为( ) A.3 B.-2 C.-1 D.0 答案 D 解析 ∵an+2=3an+1-an,∴an+2+an=3an+1.令n=4, 得a6+a4=3a5,∴a6+a4-3a5=0. 3.已知在数列{an}中,an-1=man+1(n>1),且a2=3,a3= 5,则实数m 等于( ) A.0 B. 2 5 C.2 D.5 答案 B 解析 由题意得a2=ma3+1,则3=5m+1,故m= 2 5 . 4.已 知 在 数 列 {an}中,a1 =b(b 为 任 意 正 数),an+1 = - 1 an+1 (n=1,2,3,…),能使an=b的n可以是( ) A.14 B.15 C.16 D.17 答案 C 解析 因为a1=b,an+1=- 1 an+1 , 所以a2=- 1 b+1 ,a3=- b+1 b ,a4=b. 所以数列{an}的项是以3为周期重复出现的. 所以a1=a4=a7=a10=a13=a16=b.故选C. 5.若数列{an}的通项an= n n2+90 ,则数列{an}中的最大项 是( ) A.3 10 B.19 C. 1 19 D. 10 60 答案 C 解析 令f(x)=x+ 90 x (x>0),运用均值不等式得 f(x)≥2 90,当且仅当x=3 10时等号成立. 因为an= 1 n+ 90 n ,所以 1 n+ 90 n ≤ 1 2 90 . 由于n∈N+ ,因此当n=9或n=10时,an= 1 19 最大. 6.若数列 {an}满 足an+1 =2an -1,且a8 =16,则a6= . 答案 19 4 解析 ∵an+1=2an-1,∴a8=2a7-1=16, 解得a7= 17 2 ,又a7=2a6-1= 17 2 ,解得a6= 19 4 . 7.已知数列{an}的通项公式为an= n- 10 3 ,则an 的最小 值为 ,此时n的值为 . 答案 1 3 3 解析 依题意,an= 10 3 -n(n≤3,n∈N+ ), n- 10 3 (n≥4,n∈N+ ). 当n≤3且n∈N+ 时,an 单调递减,即最小值为a3= 1 3 ; 当n≥4且n∈N+ 时,an 单调递增,即最小值为a4= 2 3 ; 综上所述,an 的最小值为 1 3 ,此时n的值为3. 8.已知数列{an}满足an≤an+1,an=n2+λn,n∈N+ ,则实数 λ的最小值是 . 12
第五章数列 答案-3 A.an=2-1 解析：a≤am+1,∴.n2十入n≤(m十1)2十1(n十1)， a=) C.a.=n2 D.a.=n 即1≥-(2m十1)，又n∈N+,A≥-3. 答案D 故实数λ的最小值是一3. 解析方法一：构造法。 9.已知在数列{an}中，a1=1,am+1= 手3(n∈N+),求通 由已知整理得(n十1)an=iam+1, 项aa 3a 带一只数列侣}是常数列 解a+1一a十3 且=2=1，an=n. ∴am+1(am十3)=3am, n 1 .atia.=3an-3a.t1. 方法二：累乘法 两边同除以3a+1a,得5=a一a. ,111 ,am=n,a-1=n-] 当n≥2时an8n-2 g时片 111 行 把以上这(n一1)个式子累加， 得11=n-1 3 两边分别相乘得=n,又a1=1,∴a,=n. aa 3 ,a1=1,. 3.(多选题)已知数列{am}的通项公式是am=n2十kn十4.则 aw 3 ia n+2 下列说法正确的是() 10.已知数列a}的通项公式a,=(n十2)（号）广，试求数列 A.若k=一5，则数列{an}中有两项是负数 B.若k=一5，则当n=2或3时，am有最小值-2 {an}的最大项. C.若对于n∈N+,都有a+1>am,则实数k的取值范围是 解假设第n项a。为最大项，则 ama-1 (-3,+0∞) an≥aat1 D.若对于n∈N+,都有a+1>a。,则实数k的取值范围是 a+2(9)≥+1(）). (-∞，-3) 答案ABC a+2(9)广≥a+3(9) 解析由n2-5m十4<0，解得1<n<4.因为n∈N+,所以 解。 n=2,3,所以数列{an}中有两项是负数，即为a2,agA 正确 所以n=4或5，故在数列{am}中a4与a5均为最大 5 为a.=m-5m+十4=(a-》-号，由二次画数 项，且a4=as一7 性质，得当n=2或n=3时，a。有最小值，其最小值为 拓展·提高 a2=aa=-2.B正确. 由a+1>am,知该数列{an}是递增数列， 1.若数列{an}的前n项和S.=3n2-2n十1，则数列{a.}的 即(n+1)2+k(n+1)十4>n2+kn+4, 通项公式a。为( ) 整理得k>-2-1,考虑到n∈N+,得k>-2- f2,n=1. 1=一3.所以实数k的取值范国为（一3，十∞）.C正确，D A.a.=6n-5 B.a= 6m-5,n≥2 不正确。 2,n=1, 4.若数列{am}满足：a1十3a2十5a3十…十(2n-1)·an= C.a.=6n十1 D.a,= l6m+1,n≥2 (n-1)·3t1+3(n∈N+),则数列{a.}的通项公式a.= 答案B 解析当n=1时，a1=S1=2, 答案3 当n≥2时，an=S.-Sa-1=6m-5. 解析a1十3a2十5ag十…+(21-3)·am-1+(21-1)· 又当n=1时不满足a.=6一5， a.=(n-1)·3+1+3, 故写成分段函数形式， 把n换成n-1得，a1十3a2十5a3十…十(2n-3)· 2,n=1, 即a.={6n-5,n≥2 am-1=(n一2)·3"十3，两项相减得an=3 2.已知a1=1,an=n(aa+1一am)(n∈N+),则数列{an}的通 5.已知数列{a的通项公式为a.=(m+2)·(日)”，则当 项公式是() a,取得最大值时，n= 13
第五章 数列 答案 -3 解析 ∵an≤an+1,∴n2+λn≤(n+1)2+λ(n+1), 即λ≥-(2n+1),又n∈N+ ,∴λ≥-3. 故实数λ的最小值是-3. 9.已知在数列{an}中,a1=1,an+1= 3an an+3 (n∈N+ ),求通 项an. 解 ∵an+1= 3an an+3 , ∴an+1(an+3)=3an, ∴an+1an=3an-3an+1. 两边同除以3an+1an 得 1 3 = 1 an+1 - 1 an , ∴ 1 a2 - 1 a1 = 1 3 , 1 a3 - 1 a2 = 1 3 ,…, 1 an - 1 an-1 = 1 3 , 把以上这(n-1)个式子累加, 得 1 an - 1 a1 = n-1 3 . ∵a1=1,∴ 1 an = n+2 3 ,∴an= 3 n+2 . 10.已知数列{an}的通项公式an=(n+2)6 7 n ,试求数列 {an}的最大项. 解 假设第n项an 为最大项,则 an≥an-1, an≥an+1, 即 (n+2)6 7 n ≥(n+1)6 7 n-1 , (n+2)6 7 n ≥(n+3)6 7 n+1 . 解得 n≤5, n≥4, 即4≤n≤5, 所以n=4或5,故在数列{an}中a4 与a5 均为最大 项,且a4=a5= 65 74. 拓展 提高 1.若数列{an}的前n项和Sn=3n2-2n+1,则数列{an}的 通项公式an 为( ) A.an=6n-5 B.an= 2,n=1, 6n-5,n≥2 C.an=6n+1 D.an= 2,n=1, 6n+1,n≥2 答案 B 解析 当n=1时,a1=S1=2, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=6n-5. 又当n=1时不满足an=6n-5, 故写成分段函数形式, 即an= 2,n=1, 6n-5,n≥2. 2.已知a1=1,an=n(an+1-an)(n∈N+ ),则数列{an}的通 项公式是( ) A.an=2n-1 B.an= n+1 n n-1 C.an=n2 D.an=n 答案 D 解析 方法一:构造法. 由已知整理得(n+1)an=nan+1, ∴ an+1 n+1 = an n ,∴数列 an n 是常数列, 且 an n = a1 1 =1,∴an=n. 方法二:累乘法. 当n≥2时, an an-1 = n n-1 , an-1 an-2 = n-1 n-2 , …… a3 a2 = 3 2 , a2 a1 = 2 1 , 两边分别相乘得 an a1 =n,又a1=1,∴an=n. 3.(多选题)已知数列{an}的通项公式是an=n2+kn+4.则 下列说法正确的是( ) A.若k=-5,则数列{an}中有两项是负数 B.若k=-5,则当n=2或3时,an 有最小值-2 C.若对于n∈N+ ,都有an+1>an,则实数k的取值范围是 (-3,+∞) D.若对于n∈N+ ,都有an+1>an,则实数k的取值范围是 (-∞,-3) 答案 ABC 解析 由n2-5n+4<0,解得1<n<4.因为n∈N+ ,所以 n=2,3,所以数列{an}中有两项是负数,即为a2,a3.A 正确. 因为an=n2-5n+4= n- 5 2 2 - 9 4 ,由二次函数 性质,得当n=2或n=3时,an 有最小值,其最小值为 a2=a3=-2.B正确. 由an+1>an,知该数列{an}是递增数列, 即(n+1)2+k(n+1)+4>n2+kn+4, 整理得k>-2n-1,考虑到n∈N+ ,得k>-2n- 1=-3.所以实数k的取值范围为(-3,+∞).C正确,D 不正确. 4.若数列{an}满足:a1+3a2+5a3+…+(2n-1)·an= (n-1)·3n+1+3(n∈N+ ),则数列{an}的通项公式an= . 答案 3n 解析 a1+3a2+5a3+…+(2n-3)·an-1+(2n-1)· an=(n-1)·3n+1+3, 把n换成n-1得,a1+3a2+5a3+…+(2n-3)· an-1=(n-2)·3n +3,两项相减得an=3n . 5.已知数列{an}的通项公式为an=(n+2)· 7 8 n ,则当 an 取得最大值时,n= . 13
数学 选择性必修第三册 配人教B版 答案5或6 (m-n-I)=m-1, 解折向老女≥时，有亿 即am-a1=m-1. 又a1=1,∴an=√m. fa+2(g)'≥6a+()， 而a1=1也适合an=√n a+2(g)广≥a+3层）。 故数列{am}的通项公式为an=√m】 挑战·创新 已知数列{am}的前n项和为Sn,点(n,S.)(n∈N+)在函 6.如果数列{an}满足：a1=6,a1十a2十a4十…十am= 数f)=2+的图象上 三0，-3，那么这个数列的通项公式为 (1)求数列{an}的通项公式： 答案an=2·3 (2)设数列 }的前n项和为T证明：T.<至 aaw+2 3 解析由a十a2十a十十a.=之a-3, )解：点s,)在f)=之+子的图象上. 3 得a1ta,+a++a.-=之a.-1-3(n≥2)， 两式作差得：3a-1=a.n≥2)，即a=3. 当m≥2时51=2m-12+号(m-1.② 1 an-1 因此am=a1 .2… am=6·3"-1=2· ①-②，得an=n. a1 a2 《一1》个： 当n=1时01=5=号十号-1，满足上式， 3(n≥2).当n=1时，a1=6也满足该式， a.=2·3". :d=n. 1 7.已知数列{am}满足a1=1,am1一am= o运别将十=（中》 √n+I+√m 求a… andu+2 解 1 m十I-m n+T+n(n+T+n)(√n+T-n) -)+宁×（合-）+安x(传-）)++× /nI-, (日+)+合×（月+-(1+名 a1-a.=n+I-√m. 当n≥2时，(a2-a1)十(a3-a2)十(a4-aa)十…十 h)=是h+)是 (a.-a。-1)=(2-1)十(5-√2)+(-5)+…+ 5.2等差数列 5.2.1等差数列 第1课时 等差数列的定义 1.理解等差数列的概念 课标定位 2.掌握等差数列的通项公式及其应用. 素养阐释 3.掌握等差数列的判定方法. 4.提高数学抽象、逻辑推理与数学运算能力」 14
数 学 选择性必修 第三册 配人教B版 答案 5或6 解析 由题意知当n≥2时,有 an≥an-1, an≥an+1, 即 (n+2)7 8 n ≥(n+1)7 8 n-1 , (n+2)7 8 n ≥(n+3)7 8 n+1 , 解得 n≤6, n≥5, 故n=5或n=6. 6.如果数列 {an}满足:a1 =6,a1 +a2 +a3+… +an = 3 2 an-3,那么这个数列的通项公式为 . 答案 an=2·3n 解析 由a1+a2+a3+…+an= 3 2 an-3, 得a1+a2+a3+…+an-1= 3 2 an-1-3(n≥2), 两式作差得:3an-1=an(n≥2),即 an an-1 =3. 因此an =a1 · a2 a1 · a3 a2 ·…· an an-1 (n-1)个 =6·3n-1 =2· 3n(n≥2).当n=1时,a1=6也满足该式, ∴an=2·3n . 7.已知数列 {an}满足a1 =1,an+1 -an = 1 n+1+ n , 求an. 解 ∵ 1 n+1+ n = n+1- n ( n+1+ n)( n+1- n) = n+1- n, ∴an+1-an= n+1- n. 当n≥2时,(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+ (an-an-1)=(2-1)+(3- 2)+(4- 3)+…+ (n- n-1)= n-1, 即an-a1= n-1. 又a1=1,∴an= n. 而a1=1也适合an= n. 故数列{an}的通项公式为an= n. 挑战 创新 已知数列{an}的前n 项和为Sn,点(n,Sn)(n∈N+ )在函 数f(x)= 1 2 x2+ 1 2 x 的图象上. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设数列 1 anan+2 的前n项和为Tn,证明:Tn< 3 4 . (1)解 ∵点(n,Sn)在f(x)= 1 2 x2+ 1 2 x 的图象上, ∴Sn= 1 2 n2+ 1 2 n.① 当n≥2时,Sn-1= 1 2 (n-1)2+ 1 2 (n-1).② ①-②,得an=n. 当n=1时,a1=S1= 1 2 + 1 2 =1,满足上式, ∴an=n. (2)证明 由(1)得 1 anan+2 = 1 n(n+2)= 1 2 1 n - 1 n+2 , ∴Tn = 1 a1a3 + 1 a2a4 + 1 a3a5 + … + 1 anan+2 = 1 2 × 1- 1 3 + 1 2 × 1 2 - 1 4 + 1 2 × 1 3 - 1 5 +…+ 1 2 × 1 n-1 - 1 n+1 + 1 2 × 1 n - 1 n+2 = 1 2 1+ 1 2 - 1 n+1 - 1 n+2 = 3 4 - 1 2 1 n+1 + 1 n+2 < 3 4 . 5.2 等差数列 5.2.1 等差数列 第1课时 等差数列的定义 课标定位 素养阐释 1.理解等差数列的概念. 2.掌握等差数列的通项公式及其应用. 3.掌握等差数列的判定方法. 4.提高数学抽象、逻辑推理与数学运算能力. 14
第五章数列 课前·基础认知 一、等差数列的概念 答案B 【问题思考】 解析ag=a1十(3-1)d=2+2×(-1)=0. 1观察下列现实生活中的数列，思考后面的问题， 三、等差数列的单调性 2020年1月中，每个星期日的日期为5,12,19,26： 【问题思考】 我国有用12生肖纪年的习惯，例如，2020年是鼠年，从 1.在等差数列{am}的通项公式中，a。与n的关系与以 2020年开始，鼠年的年份为2020,2032,2044,2056,2068， 前所学过的什么函数有关？ 2080,…; 我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用确定 提示an=a1十(n-1)d=d十(a1-d).当公差d=0 鞋号的脚长值按从大到小的顺序可排列为275,270,265， 时，a。是n的常数函数.当公差d≠0时，a.是n的一次 260,255,250,… 函数 (1)上述三个数列从第2项起，每一项与前一项的差有 2.等差数列{am}的单调性如何？ 什么特点？ 提示当d>0时，{am}是递增数列；当d<0时，{am}是 提示从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同 递减数列 一常数」 3.填空：数列{a.}是等差数列的充要条件是an=kn十 (2)每个数列中，相邻两项的递推关系是什么？ b,其中k,b是常数. 提示分别是a+1-an=7,bn+1-bn=12,cm+1一 4.做一做：已知在等差数列{am}中，a5=3,a7=9,则 {a.}是() cm=一5. A.常数列 B.递增数列 2.填空：一般地，如果数列{a.}从第2项起，每一项与它 C.递减数列 D.不具备单调性 的前一项之差都等于同一个常数d,即a+1一an=d恒成 立，则称{a.}为等差数列，其中d称为等差数列的公差 答案B 3.做一做：下列数列是等差数列的是( ) 解析因为a5=3a7=9, A分后日 B.1,5,√5,7 所以a1十4d=3,a1+6d=9. 解得d=3, C.1,-1,1,-1 D.0,0,0.0 因为d>0. 答案D 所以{am}是递增数列. 解析选项A中，因为5 1 1 1 四、等差数列通项公式的推广 3 ≠7一 ，故不是等差 【问题思考】 数列； L.在等差数列{a.}中，任意两项am与am有怎样的关 选项B中，因为√3一1≠√5一√3，故不是等差数列： 系？能否用它们求公差？（其中n>m,m,n∈N+). 选项C中，因为一1一1≠1一（一1），故不是等差数列： 选项D,常数构成一个公差为0的等差数列. 提示a.=an十(n-m)d,能，d=a.二a= n-m 二、等差数列的通项公式 2.填空： 【问题思考】 (1)等差数列通项公式的变形公式：an=am十(n一m)d, 1,对于前面涉及的三个数列，你能用首项和公差将每一 d=a,二a,n≠m 个数列的任意一项表示出来吗？ n-m 提示分别为a.=5十(n-1)×7,b.=2020十(n- (2)等差数列的图象是函数y=dx十(a1一d)图象上的 1)×12,cm=275十(n-1)×(-5). 一系列孤立的点，所以d=0二a的几何意义是(m,a,), 1一0 2.在等差数列{am}中，a2一a1=d,a3一a2=d,a4一 (m,am)两点连线的斜率为d. a3=d,,am一am-1=d,能不能用a1与d表示am呢？怎样 3做一做：若一个等差数列{an}中，a2=3,a,=6,则其 表示？ 公差为( 提示能.把各式相加可得am一a1=(n一l)d,移项得 an=a1十(n-1)d. 3 C-g n- 3.填空：一般地，如果等差数列{am}的首项是a1,公差 答案A 是d,那么它的通项公式是an=a1十(n-1)d, 4.做一做：已知等差数列{a.}的公差d=一1，a1=2,则 解析，a-a2=(7-2)d,.5d=3,d= 51 ag等于() 【思考辨析】 A.1 B.0 C.2 D.3 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画 15
第五章 数列 课前·基础认知 一、等差数列的概念 【问题思考】 1.观察下列现实生活中的数列,思考后面的问题. 2020年1月中,每个星期日的日期为5,12,19,26; 我国有用12生肖纪年的习惯,例如,2020年是鼠年,从 2020年开始,鼠年的年份为2020,2032,2044,2056,2068, 2080,…; 我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示,常用确定 鞋号的脚长值按从大到小的顺序可排列为275,270,265, 260,255,250,…. (1)上述三个数列从第2项起,每一项与前一项的差有 什么特点? 提示 从第2项起,每一项与它的前一项之差都等于同 一常数. (2)每个数列中,相邻两项的递推关系是什么? 提示 分别 是 an+1 -an =7,bn+1 -bn =12,cn+1 - cn=-5. 2.填空:一般地,如果数列{an}从第2项起,每一项与它 的前一项之差都等于同一个常数d,即an+1-an=d 恒成 立,则称{an}为等差数列,其中d 称为等差数列的公差. 3.做一做:下列数列是等差数列的是( ) A. 1 3 , 1 5 , 1 7 , 1 9 B.1,3,5,7 C.1,-1,1,-1 D.0,0,0,0 答案 D 解析 选项 A中,因为 1 5 - 1 3 ≠ 1 7 - 1 5 ,故不是等差 数列; 选项B中,因为 3-1≠ 5- 3,故不是等差数列; 选项C中,因为-1-1≠1-(-1),故不是等差数列; 选项D,常数构成一个公差为0的等差数列. 二、等差数列的通项公式 【问题思考】 1.对于前面涉及的三个数列,你能用首项和公差将每一 个数列的任意一项表示出来吗? 提示 分别为an =5+(n-1)×7,bn =2020+(n- 1)×12,cn=275+(n-1)×(-5). 2.在等差数列{an}中,a2-a1=d,a3-a2=d,a4- a3=d,…,an-an-1=d,能不能用a1 与d 表示an 呢? 怎样 表示? 提示 能.把各式相加可得an-a1=(n-1)d,移项得 an=a1+(n-1)d. 3.填空:一般地,如果等差数列{an}的首项是a1,公差 是d,那么它的通项公式是an=a1+(n-1)d. 4.做一做:已知等差数列{an}的公差d=-1,a1=2,则 a3 等于( ) A.1 B.0 C.2 D.3 答案 B 解析 a3=a1+(3-1)d=2+2×(-1)=0. 三、等差数列的单调性 【问题思考】 1.在等差数列{an}的通项公式中,an 与n 的关系与以 前所学过的什么函数有关? 提示 an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d).当公差d=0 时,an 是n 的常数函数.当公差d≠0时,an 是n 的一次 函数. 2.等差数列{an}的单调性如何? 提示 当d>0时,{an}是递增数列;当d<0时,{an}是 递减数列. 3.填空:数列{an}是等差数列的充要条件是an=kn+ b,其中k,b是常数. 4.做一做:已知在等差数列{an}中,a5=3,a7=9,则 {an}是( ) A.常数列 B.递增数列 C.递减数列 D.不具备单调性 答案 B 解析 因为a5=3,a7=9, 所以a1+4d=3,a1+6d=9, 解得d=3, 因为d>0, 所以{an}是递增数列. 四、等差数列通项公式的推广 【问题思考】 1.在等差数列{an}中,任意两项an 与am 有怎样的关 系? 能否用它们求公差? (其中n>m,m,n∈N+ ). 提示 an=am+(n-m)d,能,d= an-am n-m . 2.填空: (1)等差数列通项公式的变形公式:an=am+(n-m)d, d= an-am n-m ,n≠m. (2)等差数列的图象是函数y=dx+(a1-d)图象上的 一系列孤立的点,所以d= an-am n-m 的几何意义是(n,an), (m,am)两点连线的斜率为d. 3.做一做:若一个等差数列{an}中,a2=3,a7=6,则其 公差为( ) A. 3 5 B. 5 3 C.- 3 5 D.- 5 3 答案 A 解析 ∵a7-a2=(7-2)d,∴5d=3,d= 3 5 . 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画 15