数学 选择性必修 第三册 配人教B版 D.a.=(-1)'(2m+1D(2m+3) 答案an=10十n 解析因为11=10十1,102=102十2,1003=103+ 答案D 3,10004=10十4，…，所以该数列的一个通项公式是 解析观察式子的分子为1,2,3,4，…，n,…,分母为3× am=10°十n. 5,5×7,7X9,…,(2m十1)(2十3)，…，而且正、负间隔 9.根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： 故通项公式为a,=(-1)”(2m十1D(2m十3 (1)4,142 527… 4.如图，下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个 (2)1,3,6,10,15,…: 数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为( (3)7,77,777,…. 解(1)注意前4项中有两项的分子为4，不妨把分子统一 为4即为号，营台音…，于是它们的分母候次相差3。 ① 2 3 4 4 A.a=3"-1 因而有a.一3n十2 B.a=3" (2)注意6=2×3,10=2×5,15=3×5，规律还不明 C.a=3*-2n 显，再把各项的分子和分母都乘2，即1X2,2X3,3×4 22,2 D.an=3"-1+2n-3 答案A 22…,因而有a.=n(m十1 4×55×6 2 解析四个图形中着色三角形的个数依次为1,3,9,27，都 (3)把各项除以7，得1,11,111，…，再乘9，得9,99， 是3的指数幂.猜想数列的通项公式为am=3-. 999,…,因而有an= 9(10-1). 5.下面四个数列中，是递增数列的是() A1g行- 10.已知数列(a.}的通项公式是.=+二，其中 3 n∈N+ 2 3π B.sin7,sin7,sin7,… (1)写出aoam+1i 111 C-1-2-4-8… (②79号是不是这个数列中的项如果是，是第几项 D.0,2,0,2,0,… 如果不是，请说明理由. 答案C 解（1)将n=10代入a,得aw=10+10-_10 3 解析A中数列是递减数列，B中数列不是单调数列，D 将n十1代入am,得 中数列不是单调数列，C中数列符合条件， a+1=0+1)2+6m+1)-1=n2+3m+1 6.已知数列{a.},a。=a"十m(a<0,n∈N+),满足a1=2, 3 3 a2=4,则a8= (②)不坊授79号是这个数列中的第n项， 答案2 折心 a2-a=2, 剥a.=十=79号，即+-1=239 3 解得n=15或n=-16(舍去)， a=2或a=-1,又a<0,∴.a=-1. 又a十m=2,∴.m=3, 因此79号是：列a}中的第15项。 .a.=(-1)十3，∴.a3=(-1)3十3=2 7.以下通项公式： 拓展·提高 .-9-(-1r@a=-(-i L下面四个命题：①已知在数列(a中，a,=n十2n∈N)方 2是这个数列的第10项，且最大项为第1项：②数列号， 2 ③an= 人巨，n为奇数其中可以作为数列反，0巨，0E, 0,n为偶数 子行，(，一的通项公式为a,=7十：@数列的图象是 345 0,…通项公式的是 答案①②③ 一群孤立的点；④数列1，一1,1，一1，…与数列一1， 解析逐一检验得①②③都正确. 1,一1,1，…是同一个数列.真命题的个数是() 8.已知数列{a.}的前4项为11,102,1003,10004，…，则它 A.1 B.2 C.3 D.4 的一个通项公式为 答案B 6
数 学 选择性必修 第三册 配人教B版 D.an=(-1)n n (2n+1)(2n+3) 答案 D 解析 观察式子的分子为1,2,3,4,…,n,…,分母为3× 5,5×7,7×9,…,(2n+1)(2n+3),…,而且正、负间隔. 故通项公式为an=(-1)n n (2n+1)(2n+3). 4.如图,下列四个图形中,着色三角形的个数依次构成一个 数列的前4项,则这个数列的一个通项公式为( ) A.an=3n-1 B.an=3n C.an=3n -2n D.an=3n-1+2n-3 答案 A 解析 四个图形中着色三角形的个数依次为1,3,9,27,都 是3的指数幂.猜想数列的通项公式为an=3n-1. 5.下面四个数列中,是递增数列的是( ) A.1, 1 2 , 1 3 , 1 4 ,… B.sin π 7 ,sin 2π 7 ,sin 3π 7 ,… C.-1,- 1 2 ,- 1 4 ,- 1 8 ,… D.0,2,0,2,0,… 答案 C 解析 A中数列是递减数列,B中数列不是单调数列,D 中数列不是单调数列,C中数列符合条件. 6.已知数列{an},an=an +m(a<0,n∈N+ ),满足a1=2, a2=4,则a3= . 答案 2 解析 ∵ a1=a+m=2, a2=a2+m=4, ∴a2-a=2, ∴a=2或a=-1,又a<0,∴a=-1. 又a+m=2,∴m=3, ∴an=(-1)n +3,∴a3=(-1)3+3=2. 7.以下通项公式: ①an= 2 2 [1-(-1)n];②an= 1-(-1)n ; ③an= 2,n为奇数, 0,n为偶数. 其中可以作为数列 2,0,2,0,2, 0,…通项公式的是 . 答案 ①②③ 解析 逐一检验得①②③都正确. 8.已知数列{an}的前4项为11,102,1003,10004,…,则它 的一个通项公式为 . 答案 an=10n +n 解析 因 为 11=10+1,102=102 +2,1003=103 + 3,10004=104+4,……,所以该数列的一个通项公式是 an=10n +n. 9.根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式: (1) 4 5 , 1 2 , 4 11 , 2 7 ,…; (2)1,3,6,10,15,…; (3)7,77,777,…. 解 (1)注意前4项中有两项的分子为4,不妨把分子统一 为4,即为 4 5 , 4 8 , 4 11 , 4 14 ,…,于是它们的分母依次相差3, 因而有an= 4 3n+2 . (2)注意6=2×3,10=2×5,15=3×5,规律还不明 显,再把各项的分子和分母都乘2,即 1×2 2 , 2×3 2 , 3×4 2 , 4×5 2 , 5×6 2 ,…,因而有an= n(n+1) 2 . (3)把各项除以7,得1,11,111,…,再乘9,得9,99, 999,…,因而有an= 7 9 (10n -1). 10.已 知 数 列 {an}的 通 项 公 式 是 an = n2+n-1 3 ,其 中 n∈N+ . (1)写出a10,an+1; (2)79 2 3 是不是这个数列中的项? 如果是,是第几项? 如果不是,请说明理由. 解 (1)将n=10代入an,得a10= 102+10-1 3 = 109 3 . 将n+1代入an,得 an+1= (n+1)2+(n+1)-1 3 = n2+3n+1 3 . (2)不妨设79 2 3 是这个数列中的第n项, 则an= n2+n-1 3 =79 2 3 ,即n2+n-1=239. 解得n=15或n=-16(舍去), 因此79 2 3 是数列{an}中的第15项. 拓展 提高 1.下面四个命题:①已知在数列{an}中,an= 1 n+2 (n∈N+ ), 1 12 是这个数列的第10项,且最大项为第1项;②数列 2 3 , 3 4 , 4 5 , 5 6 ,…的通项公式为an= n n+1 ;③数列的图象是 一群孤立的点;④ 数列 1,-1,1,-1,… 与 数 列 -1, 1,-1,1,…是同一个数列.真命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B 6
第五章数列 解析对于①，易知数列{a,}是递减数列，且ao=2,故 答案1,0,1,0 ①正确；对于②，当n=1时，a1= 1 ，因此②错误，实 2 解析“a,=十（一1） 2 ∴.a1=1,a2=0,a3=1,a4=0. 际上a-2(nN+):对于③，由数列的表示法知正 1 6已知数列{a.}的通项公式为a.=nm十2，则ao= 确；对于④，由数列的概念知错误.综上所述，真命题的个 1 数为2.故选B. 若a。=18则n三 2.把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为这 些数目的点可以排成一个正三角形（第一个除外）.则第七 答案02 个三角形数是( 11 解析am= nm+2).a0=10X12=120 1 1 由a.=n0m十2-168，得n2+21-168=0,得n=12 10 或n=-14(舍去). A.27 B.28 C.29 D.30 2 7.已知在数列{a,}中a.=+ 答案B (1)求数列{am}的第7项； 解析观察三角形数的增长规律，可以发现每一项比它的 (2)求证：数列{a.}的各项都在区间(0,1)内： 前一项多的点数正好是它本身的序号，根据这个增长规律 可知第七个三角形数是1+2十3十4十5十6十7=28. (3)区间（层，号）内有设有数列{a,}中的项！若有，有 3.(多选题)若数列{an}满足：对任意正整数n,{amt1-an》 几项？ 为递减数列，则称数列{a.}为“差递减数列”.给出下列数 7249 (1)解由通项公式可知a1-72+1一50 列{am}(n∈N+),其中是“差递减数列”的有( A.a.=3n B.a.=n2+1 n2 (2)证明“a,=n中=1- 1 n2+1' C.a=n D.a.=In ∴.0a。<1,故数列的各项都在区间(0,1)内」 答案CD 3)解令<n22 3 <n2<2,n∈N+, 解析选项A中，a+1-am=3(n十1)-3n=3, .数列{an}不为“差递减数列”. 故m1,中在区同（侣号）内有且只有一项a 同理可得选项B中的数列也不为“差递减数列”， 挑战·创新 选项C中，：a+1一am=√m十I一m= 1 已知函数f(x)=log2x-log2(0<x<1),数列{a.}满足 √n+i+n f(2")=2m(n∈N+). 数列{am}为“差递减数列” (1)求数列{a.}的通项公式： 同理可得选项D中的也为“差递减数列”，故选C (2)判断数列{a.}的单调性。 和D 解(1)由已知得f(2)=log22- 1 4数列5，西，应6 g2%2n. 38 a2435 -,…中，有序数对(a,b)可 1 以是 d =2,即a2-2am-1=0, 答案(15,26) an=n土√m2+1. 0x<1,.0<2"<1,∴am<0. 解析由已知，各项可写为 /3+28+2√/15+2 1X32X4 a .数列{a.}的通项公式为am=n-√n2十1. √6√35+2 (2):am+1-an=(n十1)-√(n十1)2+1-(n 4X6'5X71 2m+1 因此可得a=3×5=15,b=24十2=26 /n2+1)=1- 故有序数对(a,b)为(15,26). √m+)+7+V+7>1 2m+1 5.已知数列a,的通项公式为a.=1+(1) =0 2 一，则该数列 (n十1)十n am+1>am,数列{am}是递增数列. 的前4项依次为
第五章 数列 解析 对于①,易知数列{an}是递减数列,且a10= 1 12 ,故 ①正确;对于②,当n=1时,a1= 1 2 ≠ 2 3 ,因此②错误,实 际上an= n+1 n+2 (n∈N+ );对于③,由数列的表示法知正 确;对于④,由数列的概念知错误.综上所述,真命题的个 数为2.故选B. 2.把1,3,6,10,15,21,…这些数叫做三角形数,这是因为这 些数目的点可以排成一个正三角形(第一个除外).则第七 个三角形数是( ) A.27 B.28 C.29 D.30 答案 B 解析 观察三角形数的增长规律,可以发现每一项比它的 前一项多的点数正好是它本身的序号,根据这个增长规律 可知第七个三角形数是1+2+3+4+5+6+7=28. 3.(多选题)若数列{an}满足:对任意正整数n,{an+1-an} 为递减数列,则称数列{an}为“差递减数列”.给出下列数 列{an}(n∈N+ ),其中是“差递减数列”的有( ) A.an=3n B.an=n2+1 C.an= n D.an=ln n n+1 答案 CD 解析 选项 A中,∵an+1-an=3(n+1)-3n=3, ∴数列{an}不为“差递减数列”. 同理可得选项B中的数列也不为“差递减数列”. 选 项 C 中,∵ an+1 - an = n+1 - n = 1 n+1+ n , ∴数列{an}为“差递减数列”. 同理可得选项 D 中的也为“差递减数列”.故选 C 和D. 4.数列 5 3 , 10 8 , 17 a , b 24 , 37 35 ,…中,有序数对(a,b)可 以是 . 答案 (15,26) 解析 由已知,各项 可 写 为 3+2 1×3 , 8+2 2×4 , 15+2 a , b 4×6 , 35+2 5×7 ,…, 因此可得a=3×5=15,b=24+2=26, 故有序数对(a,b)为(15,26). 5.已知数列{an}的通项公式为an= 1+(-1)n+1 2 ,则该数列 的前4项依次为 . 答案 1,0,1,0 解析 ∵an= 1+(-1)n+1 2 , ∴a1=1,a2=0,a3=1,a4=0. 6.已知 数 列 {an}的 通 项 公 式 为an = 1 n(n+2) ,则a10= ,若an= 1 168 ,则n= . 答案 1 120 12 解析 ∵an= 1 n(n+2) ,∴a10= 1 10×12 = 1 120 . 由an= 1 n(n+2)= 1 168 ,得n2+2n-168=0,得n=12 或n=-14(舍去). 7.已知在数列{an}中,an= n2 n2+1 . (1)求数列{an}的第7项; (2)求证:数列{an}的各项都在区间(0,1)内; (3)区间 1 3 , 2 3 内有没有数列{an}中的项? 若有,有 几项? (1)解 由通项公式可知a7= 72 72+1 = 49 50 . (2)证明 ∵an= n2 n2+1 =1- 1 n2+1 , ∴0<an<1,故数列的各项都在区间(0,1)内. (3)解 令 1 3 < n2 n2+1 < 2 3 ,则 1 2 <n2<2,n∈N+ , 故n=1,即在区间 1 3 , 2 3 内有且只有一项a1. 挑战 创新 已知函数f(x)=log2x-logx2(0<x<1),数列{an}满足 f(2 an )=2n(n∈N+ ). (1)求数列{an}的通项公式; (2)判断数列{an}的单调性. 解 (1)由已知得f(2 an )=log22 an - 1 log22 an=2n, ∴an- 1 an =2n,即a 2 n-2nan-1=0, ∴an=n± n2+1. ∵0<x<1,∴0<2 an <1,∴an<0. ∴数列{an}的通项公式为an=n- n2+1. (2)∵an+1-an =(n+1)- (n+1)2+1-(nn2+1)= 1 - 2n+1 (n+1)2+1+ n2+1 > 1 - 2n+1 (n+1)+n =0, ∴an+1>an,∴数列{an}是递增数列. 7
数学 选择性必修第三册 配人教B版 5.1.2 数列中的递推 1.理解递推公式的含义，掌握递推公式的应用 课标定位 2.会求数列中的最大（小）项， 素养阐释 3.理解数列{a.}的前n项和Sm,掌握由S。求a。的方法. 4.提高逻辑推理与数学运算能力. 课前·基础认知 一、数列的递推关系 书的销售人员，对于上述数列，除了每一个数的大小和增长 【问题思考】 趋势以外，你还会关心什么呢？ 1.如图，某会议室有若干排座位，每一排的座位数构成 提示作为销售人员，一般来说还会关心上半年的电子 的数列设为{an入.从第二排起，后一排都比前一排多2个 书的销售总量，即500+650+960+1260+1580+1830= 座位. 6780. 2.对于一般的数列{a.},该如何表示其前n项和呢？ 提示S.=a1十a2十a3十…十a. 3.数列{am}前(n十1)项的和减去其前n项的和，差是 多少？ 提示Sm+1-S.=aw+1 4填空： (1)第n排与第n一1排座位数有什么关系？ (1)数列{an}的前n项和：一般地，给定数列{an},称 提示am=am-1十2(n∈N,且n≥2). Sn=a1十a2十a3十…十a。为数列{an}的前n项和. (2)若第一排有7个座位，数列{a.}是怎样的一列数？ (2)由数列的前n项和S。,求其通项公式a。为a.= 提示7,9,11,13,15，… /S,n=1, 2.填空：如果已知数列的首项（或前几项），且数列的相 S。-S=1n≥2. 5.做一做：设数列{an}的前n项和S.=n2,则as的值 邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示，则称这 为( 个公式为数列的递推关系（也称为递推公式或递归公式）. A.15 B.16 C.49 D.64 3.做一做：数列1,3,6,10,15，…的递推关系是( A/1. 答案A lat=an十n,n∈Nt 解析a8=S8-S,=64-49=15. 【思考辨析】 B.a,=a-+n,mEN,m合2 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画 “√”，错误的画“×” C.a,=a.十(n+l),n∈Nt,n>2 (1)如果在数列{a.}中有an=2a.+1十1，那么就可以求 出数列的任一项， (×) D.a,=a+(m-1),m∈N. (2)已知在数列{an}中，a1=1,a+2=a+1十a.,可以求 答案B 出a- (X) (3)在数列{an}中，a1=-1,an=a。-1十2(n≥2)，则 解析将数列中的项代入验证即可求得」 a3=3. () 二、数列{an}的前n项和 (4)在数列{an}中，若满足at1=a.,则数列{an}为常 【问题思考】 数列 (/) 1.已知某电子图书今年上半年每个月的销售量所构成 (5)a.=S.一S.-1成立的条件是n∈N+. (X) 的数列为500,650,960,1260,1580,1830.假如你是该电子 8
数 学 选择性必修 第三册 配人教B版 5.1.2 数列中的递推 课标定位 素养阐释 1.理解递推公式的含义,掌握递推公式的应用. 2.会求数列中的最大(小)项. 3.理解数列{an}的前n项和Sn,掌握由Sn 求an 的方法. 4.提高逻辑推理与数学运算能力. 课前·基础认知 一、数列的递推关系 【问题思考】 1.如图,某会议室有若干排座位,每一排的座位数构成 的数列设为{an}.从第二排起,后一排都比前一排多2个 座位. (1)第n排与第n-1排座位数有什么关系? 提示 an=an-1+2(n∈N,且n≥2). (2)若第一排有7个座位,数列{an}是怎样的一列数? 提示 7,9,11,13,15,…. 2.填空:如果已知数列的首项(或前几项),且数列的相 邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示,则称这 个公式为数列的递推关系(也称为递推公式或递归公式). 3.做一做:数列1,3,6,10,15,…的递推关系是( ) A. a1=1, an+1=an+n,n∈N+ B. a1=1, an=an-1+n,n∈N+ ,n≥2 C. a1=1, an+1=an+(n+1),n∈N+ ,n≥2 D. a1=1, an=an-1+(n-1),n∈N+ 答案 B 解析 将数列中的项代入验证即可求得. 二、数列{an}的前n项和 【问题思考】 1.已知某电子图书今年上半年每个月的销售量所构成 的数列为500,650,960,1260,1580,1830.假如你是该电子 书的销售人员,对于上述数列,除了每一个数的大小和增长 趋势以外,你还会关心什么呢? 提示 作为销售人员,一般来说还会关心上半年的电子 书的销售总量,即500+650+960+1260+1580+1830= 6780. 2.对于一般的数列{an},该如何表示其前n项和呢? 提示 Sn=a1+a2+a3+…+an. 3.数列{an}前(n+1)项的和减去其前n 项的和,差是 多少? 提示 Sn+1-Sn=an+1. 4.填空: (1)数列{an}的前n 项和:一般地,给定数列{an},称 Sn=a1+a2+a3+…+an 为数列{an}的前n项和. (2)由数列的前n 项和Sn,求其通项公式an 为an= S1,n=1, Sn-Sn-1,n≥2. 5.做一做:设数列{an}的前n 项和Sn=n2,则a8 的值 为( ) A.15 B.16 C.49 D.64 答案 A 解析 a8=S8-S7=64-49=15. 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画 “√”,错误的画“×”. (1)如果在数列{an}中有an=2an+1+1,那么就可以求 出数列的任一项. (×) (2)已知在数列{an}中,a1=1,an+2=an+1+an,可以求 出an. (×) (3)在数列{an}中,a1=-1,an =an-1+2(n≥2),则 a3=3. (√) (4)在数列{an}中,若满足an+1=an,则数列{an}为常 数列. (√) (5)an=Sn-Sn-1 成立的条件是n∈N+ . (×) 8
第五章 数列 课堂·重难突破 探究一由递推关系写出数列的项并 (2)根据写出的前儿项，观察归纳其特点，并把每 归纳通项公式 项统一形式 【例1】已知数列{an}满足a1=1,a.=a-1十n（m-1) (3)归纳总结写出一个通项公式。 (≥2)，写出该数列的前5项，并归纳出它的一个通项公式. 【变式训练1】已知在数列{a.}中，a1=1,a2=2,以后各 分析由首项及递推关系写出前5项，再观察前5项的 项满足am=am-1十am-2(n≥3). 规律，写出一个通项公式. (1)写出此数列的前5项： 解a1=1, (2)通过公式.=一构造一个新的数列{6.}，写出数 a+1 1 13 a:=a1+2X=1+2=2, 列{b.}的前4项. 13,15 解(1)因为a.=a-1十am-2(n≥3)，且a1=1,a2=2, a=at3X2-2+6=3 所以a3=a2十a1=3,a4=a3十a2=3十2=5，a5=a4十 1517 ag=5十3=8. a4=a十4X3-3+2=4 故数列{am}的前5项依次为1,2,3,5,8. 17,19 a-a:+5×4=4+20-5 (2)因为h.=a,且a1=1,a2=2,a=3,a4=5,a=8, an+l 故数列的前5项分别为1,2,3,45 3579 所以b1==1 a3 3' 由于1=2x1-1,3=2X2-1,5=2×3-1,2 6 b3= a4_5 12 23 34 as 8. 2×4-192×5-1 1 3 4 5 5 3b,=亏b,=8 故数列{an}的一个通项公式为a.= 2-1 =2- 探究二由数列的递推关系利用“累加 ①反思感悟 (乘)法”求数列的通项 1,递推关系是数列任意两个（或多个）相邻项之间 的推导关系，不能由n直接得出a,用递推关系给出一 【例211在数列a,中，a,=1a.=(1-a-n≥ 个数列，必须给出以下两点 2),求通项am: (1)“基础”一数列{an}的第1项或前几项. (2)已知数列{a.}满足a1=2a4-1=a-一a.,求数 (2)递推关系一数列{a.}的任一项am与它的前 列{a.}的通项公式. 一项aw-1(或前几项)之间的关系，并且这个关系可以 用一个公式来表示. 分析1)原式转化为=”-1 (n≥2)，可利用累来 aw-1 n 如果两个条件缺一个，那么数列就不能确定。 法求解： 2.根据数列的递推关系和第1项（或其他项）求数 11 列的前几项的方法. (2)原式转化为 =1(n≥2)，可利用累加法 an an-1 (1)根据递推关系写出数列的前几项，先要弄清楚 求解 公式中各部分的关系，再依次代入计算即可 (2)若知道的是末项，则通常将所给关系式整理成 解1)因为a=1a=(-h-≥2. 用后面的项表示前面的项的形式，如a。=2a+1十l. 所以a,=n一1 (3)若知道的是首项，则通常将所给关系式整理成 an-1 用前面的项表示后面的项的形式，如a1=, 2 因为当n≥2时，a=..02..型 da-1 an-2 a-3 3.由递推关系写出通项公式的步骤 (1)根据递推关系写出数列的前几项（至少是前 a 3项). 又当n=1时，a1=1,符合上式，所以a.=】 、(2)aa-1=a-—a1-=l. 9
第五章 数列 课堂·重难突破 探究一 由递推关系写出数列的项并 归纳通项公式 【例1】已知数列{an}满足a1=1,an=an-1+ 1 n(n-1) (n≥2),写出该数列的前5项,并归纳出它的一个通项公式. 分析 由首项及递推关系写出前5项,再观察前5项的 规律,写出一个通项公式. 解 a1=1, a2=a1+ 1 2×1 =1+ 1 2 = 3 2 , a3=a2+ 1 3×2 = 3 2 + 1 6 = 5 3 , a4=a3+ 1 4×3 = 5 3 + 1 12 = 7 4 , a5=a4+ 1 5×4 = 7 4 + 1 20 = 9 5 . 故数列的前5项分别为1, 3 2 , 5 3 , 7 4 , 9 5 . 由于1= 2×1-1 1 , 3 2 = 2×2-1 2 , 5 3 = 2×3-1 3 , 7 4 = 2×4-1 4 , 9 5 = 2×5-1 5 , 故数列{an}的一个通项公式为an= 2n-1 n =2- 1 n . 1.递推关系是数列任意两个(或多个)相邻项之间 的推导关系,不能由n直接得出an.用递推关系给出一 个数列,必须给出以下两点. (1)“基础”———数列{an}的第1项或前几项. (2)递推关系———数列{an}的任一项an 与它的前 一项an-1(或前几项)之间的关系,并且这个关系可以 用一个公式来表示. 如果两个条件缺一个,那么数列就不能确定. 2.根据数列的递推关系和第1项(或其他项)求数 列的前几项的方法. (1)根据递推关系写出数列的前几项,先要弄清楚 公式中各部分的关系,再依次代入计算即可. (2)若知道的是末项,则通常将所给关系式整理成 用后面的项表示前面的项的形式,如an=2an+1+1. (3)若知道的是首项,则通常将所给关系式整理成 用前面的项表示后面的项的形式,如an+1= an-1 2 . 3.由递推关系写出通项公式的步骤. (1)根据递推关系写出数列的前几项(至少是前 3项). (2)根据写出的前几项,观察归纳其特点,并把每 一项统一形式. (3)归纳总结写出一个通项公式. 【变式训练1】已知在数列{an}中,a1=1,a2=2,以后各 项满足an=an-1+an-2(n≥3). (1)写出此数列的前5项; (2)通过公式bn= an an+1 构造一个新的数列{bn},写出数 列{bn}的前4项. 解 (1)因为an=an-1+an-2(n≥3),且a1=1,a2=2, 所以a3=a2+a1=3,a4=a3+a2=3+2=5,a5=a4+ a3=5+3=8. 故数列{an}的前5项依次为1,2,3,5,8. (2)因为bn= an an+1 ,且a1=1,a2=2,a3=3,a4=5,a5=8, 所以b1= a1 a2 = 1 2 ,b2= a2 a3 = 2 3 , b3= a3 a4 = 3 5 ,b4= a4 a5 = 5 8 . 故b1= 1 2 ,b2= 2 3 ,b3= 3 5 ,b4= 5 8 . 探究二 由数列的递推关系利用“累加 (乘)法”求数列的通项 【例2】(1)在数列{an}中,a1=1,an= 1- 1 n an-1(n≥ 2),求通项an; (2)已知数列{an}满足a1= 1 2 ,anan-1=an-1-an,求数 列{an}的通项公式. 分析 (1)原式转化为 an an-1 = n-1 n (n≥2),可利用累乘 法求解; (2)原式转化为 1 an - 1 an-1 =1(n≥2),可利用累加法 求解. 解 (1)因为a1=1,an= 1- 1 n an-1(n≥2), 所以 an an-1 = n-1 n , 因为当n≥2时,an = an an-1 · an-1 an-2 · an-2 an-3 ·…· a3 a2 · a2 a1 ·a1= n-1 n · n-2 n-1 · n-3 n-2 ·…· 2 3 · 1 2 ·1= 1 n . 又当n=1时,a1=1,符合上式,所以an= 1 n . (2)∵anan-1=an-1-an,∴ 1 an - 1 an-1 =1. 9
数学 选择性必修第三册 配人教B版 又a1=2 此时，若n=1,则am=4n-5=4X1-5=-1=a1, 故am=4n-5. ÷品品+日)+()+十 (2)当n=1时，a1=S1=31-2=1; 当n≥2时，S。-1=3"-1-2, 日-）=2+t出=a+1a≥2， 则an=Sn-Sm-1=(3"-2)-(3-1-2)=3”-3"-1= 3·34-1一3m-1=2·3"-1 a= 十1n≥2). 此时，若n=1,a.=2·3"-1=2·31-1=2≠a1, 又当n=1时，a1= ,符合上式 1 故an= 1,n=1, 2.3"-1,n≥2. a.二m十T 1 反思感悟 已知数列{am}的前n项和公式S。,求通项公式an 反思感悟 的步骤. 由递推关系求通项公式时，要根据递推关系的特 (1)当n=1时，a1=S1. 点，选择怡当的方法求解.常用累加法和累乘法 (2)当n≥2时，根据Sm写出Sm-1,化简am= (1)累加法：当an=a-1十f(n)时，常用am= S-S-1. (am一am-1)十(am-1一am-2)十…十(a2一a1)十a1求通 (3)如果a1也满足当n≥2时，an=S.-S-的通 项公式 项公式，那么数列{an}的通项公式为a.=S。一S。-1(如 (2)累乘法：当a=g(m)时，常用a.= a则 本题(1))： aw-1 n-1 如果a1不满足当n≥2时，an=S。一S-1的通项 a.a1求通项公式 公式，那么数列{a.}的通项公式要分段表示为an= an-2 S1,n=1, (如本题(2)) 【变式训练2】已知数列{an},a1=2,a+1=2am,写出数 S。-Sa-1,n≥2 列的前5项，猜想a。并加以证明. 解由a1=2,aw+1=2a.,得a2=2a1=2X2=4=22, 【变式训练3】已知数列{an}的前n项和S.= 、3 n2 aa=2a2=2X4=8=23, 205 a4=2a4=2×8=16=2, n,求数列(a.的通项公式 a:=2a4=2X16=32=25, 解由题意知a1=S=一号×1+受5×1=101 当n≥2时，an=Sm-Sm-1=-3m十104， 猜想an=2(n∈N+). 又当n=1时，a1=-3+104=101, 证明：由a+1=2a.,得=2 故数列{a.}的通项公式为an=-3m十104(n∈N+). 周此可得=2=2,2-2…。2二 dn=2. 探究四数列的最大（小）项的求法 将上面的(n-1)个式子相乘可得...· 【例)已知数列a)的通项公式a.=a+D·(侣) a a2 a3 a1=2"-1,即4=2-1.所以an=a1·2-1(n≥2). (n∈N+),试问数列{a.}有没有最大项？若有，求最大项和 最大项的项数：若没有，说明理由. 又a1=2,故am=2.2-1=2”(n≥2). 数列{a.} 对任意 计算 判断 因为a1=2符合上式，所以an=2"(n∈N+). 分析 的通项 n∈N+ aw+1一aa 正、负 探究三由Sn求am 确定单调性 根据 单调性 求解最大（小）项 【例3】已知下面各数列{an}的前n项和公式S.,求数 列{an}的通项公式. 解方法一：a-a,=(n+2)(侣) (1)Sn=2n2-3m: a+)-().置 (2)S.=3-2. 当n<9时，amt1一an>0,即am+1>ami 解(1)当n=1时，a1=S1=2×12-3×1=-1: 当n=9时，an+1一an=0,即aw+1=a。 当n>2时，S-1=2(n-1)2-3(n-1)=2n2-7m+5, 当n>9时，aat1-an<0,即aat1<aa, 则an=Sn-Sm-1=(2m2-3m)-(2n2-7n+5)= a<a<a<<a=an>an>an> 2m2-3n-2n2+7m-5=4n-5. 因此数列中有最大项，最大项为第9,10项， 10
数 学 选择性必修 第三册 配人教B版 又a1= 1 2 , ∴ 1 an = 1 a1 + 1 a2 - 1 a1 + 1 a3 - 1 a2 + … + 1 an - 1 an-1 =2+1+1+…+1 (n-1)个1 =n+1(n≥2). ∴an= 1 n+1 (n≥2). 又当n=1时,a1= 1 2 ,符合上式, ∴an= 1 n+1 . 由递推关系求通项公式时,要根据递推关系的特 点,选择恰当的方法求解.常用累加法和累乘法. (1)累加法:当an =an-1 +f(n)时,常用an= (an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1 求通 项公式. (2)累乘法:当 an an-1 =g(n)时,常用an = an an-1 · an-1 an-2 ·…· a2 a1 ·a1 求通项公式. 【变式训练2】已知数列{an},a1=2,an+1=2an,写出数 列的前5项,猜想an 并加以证明. 解 由a1=2,an+1=2an,得a2=2a1=2×2=4=22, a3=2a2=2×4=8=23, a4=2a3=2×8=16=24, a5=2a4=2×16=32=25, …… 猜想an=2n(n∈N+ ). 证明:由an+1=2an,得 an+1 an =2. 因此可得 a2 a1 =2, a3 a2 =2, a4 a3 =2,…, an an-1 =2. 将上面的(n-1)个式子相乘可得 a2 a1 · a3 a2 · a4 a3 ·…· an an-1 =2n-1,即 an a1 =2n-1.所以an=a1·2n-1(n≥2). 又a1=2,故an=2·2n-1=2n(n≥2). 因为a1=2符合上式,所以an=2n(n∈N+ ). 探究三 由Sn 求an 【例3】已知下面各数列{an}的前n 项和公式Sn,求数 列{an}的通项公式. (1)Sn=2n2-3n; (2)Sn=3n -2. 解 (1)当n=1时,a1=S1=2×12-3×1=-1; 当n≥2时,Sn-1=2(n-1)2-3(n-1)=2n2-7n+5, 则an=Sn -Sn-1 = (2n2 -3n)- (2n2 -7n+5)= 2n2-3n-2n2+7n-5=4n-5. 此时,若n=1,则an=4n-5=4×1-5=-1=a1, 故an=4n-5. (2)当n=1时,a1=S1=31-2=1; 当n≥2时,Sn-1=3n-1-2, 则an=Sn-Sn-1=(3n -2)-(3n-1-2)=3n -3n-1= 3·3n-1-3n-1=2·3n-1. 此时,若n=1,an=2·3n-1=2·31-1=2≠a1, 故an= 1,n=1, 2·3n-1,n≥2. 已知数列{an}的前n项和公式Sn,求通项公式an 的步骤. (1)当n=1时,a1=S1. (2)当n≥2 时,根据 Sn 写出Sn-1,化简an= Sn-Sn-1. (3)如果a1 也满足当n≥2时,an=Sn-Sn-1 的通 项公式,那么数列{an}的通项公式为an=Sn-Sn-1(如 本题(1)); 如果a1 不满足当n≥2时,an=Sn-Sn-1 的通项 公式,那么数列{an}的通项公式要分段表示为an = S1,n=1, Sn-Sn-1,n≥2 (如本题(2)). 【变式训练3】已知数列{an}的前n项和Sn=- 3 2 n2+ 205 2 n,求数列{an}的通项公式. 解 由题意知a1=S1=- 3 2 ×12+ 205 2 ×1=101. 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-3n+104, 又当n=1时,a1=-3+104=101, 故数列{an}的通项公式为an=-3n+104(n∈N+ ). 探究四 数列的最大(小)项的求法 【例4】已知数列{an}的通项公式an=(n+1)· 10 11 n (n∈N+ ),试问数列{an}有没有最大项? 若有,求最大项和 最大项的项数;若没有,说明理由. 分析 数列{an} 的通项 对任意 n∈N+ → 计算 an+1-an 判断 正、负 → 确定单调性 根据 单调性 → 求解最大(小)项 解 方 法 一:∵an+1 -an = (n +2) 10 11 n+1 - (n+1)10 11 n = 10 11 n · 9-n 11 , 当n<9时,an+1-an>0,即an+1>an; 当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an; 当n>9时,an+1-an<0,即an+1<an, 故a1<a2<a3<…<a9=a10>a11>a12>…, 因此数列中有最大项,最大项为第9,10项, 10