例11求 arctan da 解 利用分部积分法，有 1.1. 雨数 arctan dx =x·arctan x- xd(arctanx) 访问主页 =x·arctan x 1+2d 标题页 =x.arctanx- 2(z2+1)+c N炒 对某些积分利用若干次分部积分法后，常常会重又出现原来要求月那个 第32页共109页 积分，从而成为所求积分月一个方程式解出这个方程（把原来要求月那个 返回 积分作为未知量)，就得到所要求出月积分我们下面举一些例子来说明分 全屏显示 部积分法月这一作用. 关闭 退出
❦ 1.1. ➻ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 32 ➄ ✁ 109 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ⑦11 ➛ Z arctan dx ✮ ⑤❫➞Ü➮➞④,❦ Z arctan dx = x · arctan x − Z xd(arctan x) = x · arctan x − Z x 1 + x 2 dx = x · arctan x − 1 2 ln(x 2 + 1) + C é✱✡➮➞⑤❫❡❩❣➞Ü➮➞④,⑦⑦➡➢qÑ②✝✺❻➛✛❅❻ ➮➞,❧✌↕➃↕➛➮➞✛➌❻➄➜➟.✮Ñù❻➄➜(r✝✺❻➛✛❅❻ ➮➞❾➃➍⑧þ),Ò✚✔↕❻➛Ñ✛➮➞.➲❶❡→Þ➌✡⑦❢✺❵➨➞ Ü➮➞④✛ù➌❾❫
例12求 (x2+a2dx 利用分部积分法，有 Vx2 a2dx ZVz2+a2 Vai Faid C· 1函数 x2+a2 = ZVx2+a2 x+ -da Vz2+a2 √2+a ZVz2+a2-I+a2In(x+Vx2+a2)+C1 访问主页 此时在等式右端又出现了我线原来要求的那个积分I,把它移到等式的左 标题页 边，有 “炒 2I=2 Vx2+adx=xVr2+a+aIn(z+V22+a)+C 第33页共103页 返回 从而得到 全屏显示 v+G-号V+a+ In(x+Vz2+a2)+C 关闭 退出 熟中C= 9
❦ 1.1. ➻ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 33 ➄ ✁ 109 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ⑦12 ➛ I = Z p x 2 + a 2dx ⑤❫➞Ü➮➞④,❦ I = Z p x 2 + a 2dx = x p x 2 + a 2 − Z x · x √ x 2 + a 2 dx = x p x 2 + a 2 − Z x 2 + a 2 √ x 2 + a 2 dx + Z a 2 √ x 2 + a 2 dx = x p x 2 + a 2 − I + a 2 ln(x + p x 2 + a 2 ) + C1 ❞➒✸✤➟♠àqÑ②✡➲❶✝✺❻➛✛❅❻➮➞I,r➜↔✔✤➟✛❺ ❃,❦ 2I = 2 Z p x 2 + a 2dx = x p x 2 + a 2 + a 2 ln(x + p x 2 + a 2 ) + C1 ❧✌✚✔ Z p x 2 + a 2dx = x 2 · p x 2 + a 2 + a 2 2 ln(x + p x 2 + a 2 ) + C Ù➙C = 1 2 C1
例13水 eax cos bxd 及 ear sin brdx 在这两个不定积分中，我们分别令 u cos bx,du =eadx 1.1. 雨数 及 u sin ba,dv =easda 访问主页 然后分别利用分部积分法得： 标题页 ear cos bxdx 1 -ear cos bx十 ear sin bxdx 炒 a 1 b ear sin brdr =-ear sin br- ear cos brdx 第34页共109页 a 返回 这样一来，两个积分中的每一个积分都能用另一个积分来表达，由这两个式 全屏显示 子解出，即得 关闭 cos bxdx bsin ba+acos bea+C 退出 a2+b2 ear sin badx asin br-bcos bearC a2⊥b2
❦ 1.1. ➻ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 34 ➄ ✁ 109 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ⑦13 ➛ Z e ax cos bxdx ✾ Z e ax sin bxdx ✸ùü❻Ø➼➮➞➙,➲❶➞❖✲ u = cos bx, dv = e axdx ✾ u = sin bx, dv = e axdx ✱➞❖⑤❫➞Ü➮➞④✚: Z e ax cos bxdx = 1 a e ax cos bx + b a Z e ax sin bxdx Z e ax sin bxdx = 1 a e ax sin bx − b a Z e ax cos bxdx ù✘➌✺,ü❻➮➞➙✛③➌❻➮➞Ñ❯❫✱➌❻➮➞✺▲❼,❞ùü❻➟ ❢✮Ñ,❂✚ Z e ax cos bxdx = b sin bx + a cos bx a 2 + b 2 e ax + C Z e ax sin bxdx = a sin bx − b cos bx a 2 + b 2 e ax + C
同理可以求得： sec3 xda 2sec a tan+In secx+tan+ 总结以上数例，可知凡属于以下类型的不定积始，常可利用始部积始法求 得 xk Inm xdx sin bxdx x cos bada rkeardx 访问主页 标题页 P(x)eardx P(sin x)eardx “炒 P(x)Inxda P(x)sinmxdx 第35页共109贝 P(x)cosmada 返回 全屏显示 . 关闭 其中k,m是正整数，a,b是常数，P(x)是多项式. 退出
❦ 1.1. ➻ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 35 ➄ ✁ 109 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ Ó♥➀➧➛✚: Z sec3 xdx = 1 2 [sec x tan x + ln |sec x + tan x|] + C ♦✭➧þê⑦,➀⑧❹á✉➧❡❛✳✛Ø➼➮➞,⑦➀⑤❫➞Ü➮➞④➛ ✚: Z x k lnm xdx Z x k sin bxdx Z x k cos bxdx Z x k e axdx Z P(x)e axdx Z P(sin x)e axdx Z P(x) ln xdx Z P(x) sin mxdx Z P(x) cos mxdx . Ù➙k, m➫✔✒ê,a, b➫⑦ê,P(x)➫õ➅➟
以上给都了一些求不定积分的方法，这些方法必须通过大上的练习才能 熟练不定积分和求导数不一样，对于给定的一个初等函数，我们么能求得 1.1.雨数 它的导数，但求不定积分就不是那么简单，它并无一般的步骤可循，有些不 定积分甚至不能用初等函数去表示，最简单的如 访问主页 e-dx, sin "dx 标题页 In x 炒 就是这样 不过，对于某些特殊类型的积分，还是可以找都一定的积分步骤，下面将分 第36页共109页 类介绍一些常见的不定积分法， 返回 全屏显示 关闭 退出
❦ 1.1. ➻ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 36 ➄ ✁ 109 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ➧þ❽Ñ✡➌✡➛Ø➼➮➞✛➄④,ù✡➄④✼▲Ï▲➀þ✛ö❙â❯ Ùö.Ø➼➮➞Ú➛✓êØ➌✘,é✉❽➼✛➌❻Ð✤➻ê,➲❶♦❯➛✚ ➜✛✓ê,✂➛Ø➼➮➞ÒØ➫❅♦④ü,➜➾➹➌❸✛Ú➼➀❒,❦✡Ø ➼➮➞✩➊Ø❯❫Ð✤➻ê✖▲➠,⑩④ü✛❳ Z e −x 2 dx, Z dx ln x , Z sin x x dx Ò➫ù✘. Ø▲,é✉✱✡❆Ï❛✳✛➮➞,❸➫➀➧éÑ➌➼✛➮➞Ú➼,❡→ò➞ ❛✵☛➌✡⑦❸✛Ø➼➮➞④