四、有理函数积分法 1函数 设P(x)和Q(x)是两个多项式，凡形 P(巴的函数称为有理函数，例如 Q(T) 访问主页 1x2+2x-13x3-2x x2+x-1'x-5x4+1 标题页 炒 等等都是有理函数.这里，我们先举例说明一下有理函数的积分方法， 第37页共108贝 返回 全屏显示 关闭 退出
❦ 1.1. ➻ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 37 ➄ ✁ 109 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ♦✦❦♥➻ê➮➞④ ✗P(x)ÚQ(x)➫ü❻õ➅➟,❹✴❳ P(x) Q(x) ✛➻ê→➃❦♥➻ê.⑦❳ 1 x 2 + x − 1 , x 2 + 2x − 1 x − 5 , 3x 3 − 2x x 4 + 1 ✤✤Ñ➫❦♥➻ê.ù♣,➲❶❦Þ⑦❵➨➌❡❦♥➻ê✛➮➞➄④
例14求 2dxd x2-19 11.函数 此时被积函数可表示为 2 1 1 x2-1x-1x+1 访问主页 于是 标题页 炒 x2-1 In z-1-In x+1+C 第38页共109页 In -1 z+1+C 返回 全屏显示 关闭 退出
❦ 1.1. ➻ ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 38 ➄ ✁ 109 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ⑦14 ➛ Z 2dx x 2 − 1 dx ❞ ➒ ✚ ➮ ➻ ê ➀ ▲ ➠ ➃ 2 x 2 − 1 = 1 x − 1 − 1 x + 1 ✉ ➫ Z 2dx x 2 − 1 = Z dx x − 1 − Z dx x + 1 = ln |x − 1| − ln |x + 1| + C = ln |x − 1 x + 1| + C
这个例子说明，求有凑而数不定积分的关键，在于把被积画：分解为简单 分式的和怎样分呢？一般可以用待定系数的办法来做如在这个例子中，由 于x2-1=(x-1)(x+1),因而我格可写成 2 x2-1-x-1+x+1 A,B是有待决定的系数.将右边通分，然后比较单边的分子，得 1雨数 2=A(x+1)+B(x-1) =(A+B)z+(A-B) 访问主页 标题页 必须有 炒 A+B=0 A-B=2 第39页共10明页 解之，得A=1,B=-1,从而 返回 211 全屏显示 x2-1x-1x+1 关闭 退出 2dx 这样就能求出「 x2-1 dx了
❦ 1.1. ➻ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 39 ➄ ✁ 109 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ù❻⑦❢❵➨,➛❦♥➻êØ➼➮➞✛✬❹,✸✉r✚➮➻ê➞✮➃④ü ➞➟✛Ú.◆✘➞◗?➌❸➀➧❫➊➼❳ê✛➁④✺❽.❳✸ù❻⑦❢➙,❞ ✉x 2 − 1 = (x − 1)(x + 1),Ï✌➲❶➀✕↕ 2 x 2 − 1 = A x − 1 + B x + 1 A, B➫❦➊û➼✛❳ê.ò♠❃Ï➞,✱✬✖ü❃✛➞❢,✚ 2 = A(x + 1) + B(x − 1) = (A + B)x + (A − B) ✼▲❦ A + B = 0 A − B = 2 ✮❷,✚A = 1, B = −1,❧✌ 2 x 2 − 1 = 1 x − 1 − 1 x + 1 ù✘Ò❯➛Ñ R 2dx x 2 − 1 dx✡
例15求 x3-x2-x+3 dx x2-1 这时被积函数分子的次数高于分母的次数，因此首先用除法写成 x3-x2-x+3 =x-1+2-1 2 11.函数 x2-1 于是利用上例的结果，即可求得 访问主页 -2-x+3dr 23 2 x2-1 (x-1+ 22-1)dr 标题页 炒 2 第40页共109页 这个例子说明，当被积函数分子的次数不低于分母的次数时，必须先用除 返回 法把它化成一个多项式和一个真分式（即分子次数低于分母次数的分式）之 全屏显示 和 关闭 退出
❦ 1.1. ➻ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 40 ➄ ✁ 109 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ⑦15 ➛ Z x 3 − x 2 − x + 3 x 2 − 1 dx ù➒✚➮➻ê➞❢✛❣ê♣✉➞✶✛❣ê,Ï❞➘❦❫Ø④✕↕ x 3 − x 2 − x + 3 x 2 − 1 = x − 1 + 2 x 2 − 1 ✉➫⑤❫þ⑦✛✭❏,❂➀➛✚ Z x 3 − x 2 − x + 3 x 2 − 1 dx = Z (x − 1 + 2 x 2 − 1 )dx = x 2 2 − x + ln | x − 1 x + 1 | + C ù❻⑦❢❵➨,✟✚➮➻ê➞❢✛❣êØ✩✉➞✶✛❣ê➒,✼▲❦❫Ø ④r➜③↕➌❻õ➅➟Ú➌❻ý➞➟(❂➞❢❣ê✩✉➞✶❣ê✛➞➟)❷ Ú
例16将 2x+2 (x-1)(x2+1)2 分解为简单的分式之和 设 2x+2 A Bix+C1 B2x+C2 (x-1)(x2+1)2 =x-1+x2+1+(x2+12 1函数 右边通分后，再比较两端分子的同次幂系数得一线性方程组： (A+B1=0 访问主页 C1-B1=0 2A+B2+B1-C1=0 标题页 C2+C1-B2-B1=2 炒 A-C2-C1=2 解出这方程组，得： 第41页共109贝 返回 A=1,B1=-1,C1=-1,B2=-2,C2=0, 全屏显示 所以 关闭 2x+2 1x+1 2x 退出 (x-1)(a2+1-x-1x2+1(x2+12
❦ 1.1. ➻ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 41 ➄ ✁ 109 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ⑦16 ò 2x + 2 (x − 1)(x 2 + 1)2 ➞✮➃④ü✛➞➟❷Ú. ✗ 2x + 2 (x − 1)(x 2 + 1)2 = A x − 1 + B1x + C1 x 2 + 1 + B2x + C2 (x 2 + 1)2 ♠❃Ï➞➜✷✬✖üà➞❢✛Ó❣➌❳ê✚➌❶✺➄➜⑤: A + B1 = 0 C1 − B1 = 0 2A + B2 + B1 − C1 = 0 C2 + C1 − B2 − B1 = 2 A − C2 − C1 = 2 ✮Ñù➄➜⑤,✚: A = 1, B1 = −1, C1 = −1, B2 = −2, C2 = 0, ↕➧ 2x + 2 (x − 1)(x 2 + 1)2 = 1 x − 1 − x + 1 x 2 + 1 − 2x (x 2 + 1)2