例7求 dx V2+a2 作代换x=a tant,于是 1函数 dx a sec2tdt sec tdt a sect 访问主页 In|sect +tant+C 1 标题页」 = In[tant+-va2+a2 tan2t]+C 0 炒 In x+Va2+2 -+C1 a 第27页共109贝 In(x+Va2+x2)+C 返回 其中记C=C1-lna,仍为任意常数. 全屏显示 关闭 退出
❦ 1.1. ➻ ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 27 ➄ ✁ 109 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ⑦ 7 ➛ Z dx √ x 2 + a 2 ❾ ➇ ❺ x = a tan t , ✉ ➫ Z dx √ x 2 + a 2 = Z a sec 2 tdt a sec t = Z sec tdt = ln |sec t + tan t| + C 1 = ln[tan t + 1a p a 2 + a 2 tan 2 t] + C 1 = ln x + √ a 2 + x 2 a + C 1 = ln( x + p a 2 + x 2 ) + C Ù ➙ P C = C 1 − ln a , ❊ ➃ ❄ ➾ ⑦ ê
例8求 dx Vx2 -a2 11.函数 作代换x=asect,.于是 dx a sect tan tdt 访问主页 x2-a2 atant 标题页 In tant sect+C1 炒 In|x+Vz2-a2+C 其中C=C-na. 第28页共109页 返回 全屏显示 关闭 退出
❦ 1.1. ➻ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 28 ➄ ✁ 109 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ⑦8 ➛ Z dx √ x 2 − a 2 ❾➇❺x = a sec t,✉➫ Z dx √ x 2 − a 2 = Z a sec ttan tdt a tan t = ln |tan t + sec t| + C1 = ln |x + p x 2 − a 2 | + C Ù➙C = C1 − ln a
三、分部积分法 对于可微函数u(x)及v(x),利用已知的等式 (uv)'u'v+uv 或 ud'(uv)'-uv 1函数 若'v或u中至少有一个具有原函数，则两边作不定积分的运算，即得 wis-(uydz-odis 访问主页 标题页 即 炒 uv'dx uv vu'dx 第共1m页 或 返回 vdu 全屏显示 最后这个等式就称为分部积分公式.一般说，应适当选择山，v使等式右边的 关闭 积分较容易计算些 退出 下面我们来看几个例子
❦ 1.1. ➻ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 29 ➄ ✁ 109 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ♥✦➞Ü➮➞④ é✉➀❻➻êu(x)✾v(x),⑤❫➤⑧✛✤➟ (uv) 0 = u 0 v + uv 0 ➼ uv 0 = (uv) 0 − u 0 v ❡u 0 v➼uv0➙➊✟❦➌❻ä❦✝➻ê,❑ü❃❾Ø➼➮➞✛✩➂,❂✚ Z uv 0 dx = Z (uv) 0 dx − Z vu 0 dx ❂ Z uv 0 dx = uv − Z vu 0 dx ➼ Z udv = uv − Z vdu ⑩ù❻✤➟Ò→➃➞Ü➮➞ú➟.➌❸❵,❆➲✟➚❏u, v➛✤➟♠❃✛ ➮➞✖◆➫❖➂✡. ❡→➲❶✺✇❆❻⑦❢
例9求 11.雨数 te'dt 解 访问主页 te'dt= tde 标题页 令t=u,et=v,那么 炒 ∫el=∫w=w-a=e-∫e=-e+c 第30页共109页 返回 全屏显示 关闭 退出
❦ 1.1. ➻ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 30 ➄ ✁ 109 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ⑦9 ➛ Z tet dt ✮ Z tet dt = Z tdet ✲t = u, et = v,❅♦ Z tet dt = Z udv = uv − Z vdu = tet − Z e t dt = tet − e t + C
例10求 x sin xda 解 =xd(-cosr) 1函数 令x=山，-cosx=u,那么 udv wv vdu 访问主页 -x cos x cos x)da 标题页」 炒 -t COS T十 cos xda =-x cos sinx+C 第31页共109贝 初学者在作分部积分时，应该像上面两个例题那样，把u,分别写出来，然 返回 后分别代入分部积分公式，这样可以避免出错在较熟练以后，就可以把这 全屏显示 些步骤省去， 关闭 退出
❦ 1.1. ➻ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 31 ➄ ✁ 109 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ⑦10 ➛ Z x sin xdx ✮ Z x sin xdx = Z xd(− cos x) ✲x = u, − cos x = v,❅♦ Z x sin xdx = Z udv = uv − Z vdu = −x cos x − Z (− cos x)dx = −x cos x + Z cos xdx = −x cos x + sin x + C Ð➷ö✸❾➞Ü➮➞➒,❆❚➈þ→ü❻⑦❑❅✘,ru, v➞❖✕Ñ✺,✱ ➞❖➇❭➞Ü➮➞ú➟,ù✘➀➧❀➑Ñ❺.✸✖Ùö➧,Ò➀➧rù ✡Ú➼➂✖