二、换元积分法 前面提到，”凑”微分法实际上就是一种简单的换元积分法，那时是把积 分∫f(x)dx凑成如下的形式： 1.1. 雨数 g(p(x))(x)dx= g((x))dp(z) 访问主页 然后作出代换u=p(x),把要求的积分∫f(x)dz化成在基本积分公式中能 标题页 够找到的积分∫g(u)du.但是有些积分并不能很容易地凑出微分，而是一开 始就要作代换，把要求的积分化简，然后再求出积分这两种方法的基本思 想是一致的，只是具体步骤上有所不同，我们把换元积分法用定理形式叙述 第22页共109页 如下： 返回 全屏显示 关闭 退出
❦ 1.1. ➻ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 22 ➄ ✁ 109 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ✓✦❺✄➮➞④ ❝→❏✔,”♥”❻➞④➣❙þÒ➫➌➠④ü✛❺✄➮➞④,❅➒➫r➮ ➞ R f(x)dx ♥↕❳❡✛✴➟: Z g(ϕ(x))ϕ 0 (x)dx = Z g(ϕ(x))dϕ(x) ✱❾Ñ➇❺u = ϕ(x),r❻➛✛➮➞ R f(x)dx③↕✸➘✢➮➞ú➟➙❯ ✡é✔✛➮➞ R g(u)du.✂➫❦✡➮➞➾Ø❯é◆➫✴♥Ñ❻➞,✌➫➌♠ ➞Ò❻❾➇❺,r❻➛✛➮➞③④,✱✷➛Ñ➮➞.ùü➠➄④✛➘✢❣ ➂➫➌➋✛,➄➫ä◆Ú➼þ❦↕ØÓ,➲❶r❺✄➮➞④❫➼♥✴➟◗ã ❳❡:
定理设f(x)连续，x=p(t)及p(t)的为连续，x=p(t)的反函数t= p1(x)存在且连续，并且 f(p(t))'(t)dt =F(t)+C 1函数 (1) 则 访问主页 f(z)dx =F(())+C (2) 标题页 证明 将(2)式右端求导同时注意到(1)式，得 “炒 2re-a》+q-ro-o-ejr=ieepe0=fa 第23页共108贝 这样便证明了(2)式 返回 全屏显示 关闭 退出
❦ 1.1. ➻ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 23 ➄ ✁ 109 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ➼♥ ✗f(x)ë❨,x = ϕ(t)✾ϕ 0 (t)✛➃ë❨,x = ϕ(t)✛❻➻êt = ϕ −1 (x)⑧✸❹ë❨,➾❹ Z f(ϕ(t))ϕ 0 (t)dt = F(t) + C (1) ❑ Z f(x)dx = F(ϕ −1 (x)) + C (2) ②➨ ò(2)➟♠à➛✓Ó➒✺➾✔(1)➟,✚: d dx[F(ϕ −1 (x)) + C] = F 0 (t) · [ϕ −1 (x)]0 = f[ϕ(t)]ϕ 0 (t) · 1 ϕ0 (t) = f(x) ù✘❇②➨✡(2)➟
例5求 x+1dx 3x+1 解令3x+1=t,即t=3x+1,则 工=e-,在=u 于是 访问主页 1 -1)+1 标题页 x+1dz= 3 /3x+1 t 炒 1 = /t+20)d 第24页共109页 +)+C 1,1 返回 5(+)++)+C 全屏显示 关闭 5x+2)3x+1)+C 退出
❦ 1.1. ➻ ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 24 ➄ ✁ 109 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ⑦ 5 ➛ Z x + 1 √3 3x + 1 dx ✮ ✲ 3 x + 1 = t 3 , ❂ t = √3 3 x + 1 , ❑ x = 13 ( t 4 − 1), dx = t 2 dt ✉ ➫ Z x + 1 √3 3x + 1 dx = Z 13 ( t 3 − 1) + 1 t t 2 dt = 13 Z ( t 4 + 2 t )dt = 13 ( 15 t 5 + t 2 ) + C = 1 15 (3 x + 1) 53 + 13 (3 x + 1) 23 + C = 15 ( x + 2)(3 x + 1) 23 + C
例6求 Va2-x2dx 作代换x=asint,于是 1函数 dx=a costdt,Va2-x2=a cost 从而有 访问主页 a2-x2dr a cost.a cos tdt 标题页 炒 = cos2 tdt a2 第25页共109贝 2 (1+cos 2t)dt 返回 1 = 2t+ sin2t)+C 全屏显示 关闭 退出
❦ 1.1. ➻ ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 25 ➄ ✁ 109 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ⑦ 6 ➛ Z p a 2 − x 2dx ❾ ➇ ❺ x = a sin t , ✉ ➫ dx = a costdt, p a 2 − x 2 = a cos t ❧ ✌ ❦ Z p a 2 − x 2dx = Z a cos t · a costdt = a 2 Z cos 2 tdt = a 22 Z (1 + cos 2 t )dt = a 22 ( t + 12 sin 2 t) + C
用 -arcsin sin 2t=2sintcos=2. aa 代入上式得 访问主页 Va2-x2dx=arcsin巴 t z Va2-z2 标题页 +C a a a 炒 1 ,a2 2V-+ arcsin+C a 第26页共109页 返回 全屏显示 关闭 退出
❦ 1.1. ➻ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 26 ➄ ✁ 109 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ❫ t = arcsin x a ,sin 2t = 2 sin t cost = 2 · x a · √ a 2 − x 2 a ➇❭þ➟,✚ Z p a 2 − x 2dx = a 2 2 [arcsin x a + x a · √ a 2 − x 2 a ] + C = 1 2 x p a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C