一、”三”微分法 有一些不定积分，将积分变量进行一定的变换后就能由基本积分公式求 出所需的积分.例如求∫e2rdc,在基本积分公式中只有∫edx=e2+C,比 较∫e'dr和∫e2xdx这两个积分，我们发现，只是er的幂次相差一个常数因 子，因此，如果三上一个常数因子2，使成为 罩1数 d2)= 访问主页 由此看出，再令2x=弘，那么上述积分就变为 标题页 从w 2a2)=专 e"du 第17页共10阳页 这个积分在基本积分公式中可以查到，然后再代回原来的变量x,就求得不 返回 定积分 全屏显示 关闭 ∫=∫2d2)=∫e=+c=+c 退出
❦ 1.1. ➻ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 17 ➄ ✁ 109 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ➌✦”♥”❻➞④ ❦➌✡Ø➼➮➞,ò➮➞❈þ❄✶➌➼✛❈❺Ò❯❞➘✢➮➞ú➟➛ Ñ↕■✛➮➞.⑦❳➛ R e 2xdx, ✸➘✢➮➞ú➟➙➄❦ R e xdx = e x + C,✬ ✖ R e xdxÚ R e 2xdxùü❻➮➞,➲❶✉②,➄➫e x✛➌❣❷☛➌❻⑦êÏ ❢,Ï❞,❳❏♥þ➌❻⑦êÏ❢2,➛↕➃ Z e 2x dx = Z e 2x 2 d(2x) = 1 2 Z e 2x d(2x) ❞❞✇Ñ,✷✲2x = u,❅♦þã➮➞Ò❈➃ 1 2 Z e 2x d(2x) = 1 2 Z e u du ù❻➮➞✸➘✢➮➞ú➟➙➀➧✝✔,✱✷➇↔✝✺✛❈þx,Ò➛✚Ø ➼➮➞ Z e 2x dx = 1 2 Z e 2x d(2x) = 1 2 Z e u du = 1 2 e u + C = 1 2 e 2x + C
例1求 1+x dx 11.雨数 解基本积分公式中有∫ =lnlx|+C,而 1与只是分母有差别， +x 由于d(1+x)=dx,因此可以把积分凑成 访问主页 dx d(1+x) 标题页 1+x 1+x N炒 du 这时如果令1十工=“，那么后面的积分就化为∫”而这个积分在基本积分 第18页共109页 公式中是可以查到的，从而就求得 返回 d(1+x) 全屏显示 1+x 1+x du =Inlul+C=m|1+xl+C 关闭 退出
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从上述两个例子看到，在求不定积分时，首先要与已知的基本积分公式相 1函数 对比.并利用简单的变量代换，把要求的积分化成已知的形式，求出以后，再 把原来的变量代回.这种方法实际上是一种简单的换元法在本段最后，将 访问主页 对此法作出较严格的叙述在比较熟练以后，计算时换元这一步骤可以省 标题页 略，只是在形式上”凑”成基本积分公式中的积分.因此把这种方法形象化地 炒 叫做”凑”微分法。 第19页共109贝 返回 全屏显示 关闭 退出
❦ 1.1. ➻ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 19 ➄ ✁ 109 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ❧þãü❻⑦❢✇✔,✸➛Ø➼➮➞➒,➘❦❻❺➤⑧✛➘✢➮➞ú➟❷ é✬.➾⑤❫④ü✛❈þ➇❺,r❻➛✛➮➞③↕➤⑧✛✴➟,➛Ñ➧, ✷ r✝✺✛❈þ➇↔.ù➠➄④➣❙þ➫➌➠④ü✛❺✄④.✸✢ã⑩,ò é❞④❾Ñ✖î❶✛◗ã.✸✬✖Ùö➧,❖➂➒❺✄ù➌Ú➼➀➧➂ Ñ,➄➫✸✴➟þ”♥”↕➘✢➮➞ú➟➙✛➮➞.Ï❞rù➠➄④✴➊③✴ ✗❽”♥”❻➞④
例2 sin3 xdx -cos)sin rdr=(cos-1)dcos 3os2z-wr4C 例3 11.函数 sin x tan xdx ~dx = cos dcosz =-In cos+C=In l seca1+C cOS T 例4 访问主页 cos tdt dsint 标题页 sec tdt dt cost cos2t 1-sin2t 炒 21+sint )dsint 1-sint 第20页共109页 1,1+sint n 2 1-sint +C 返回 1 (1+sint)2 全屏显示 = In +C 2 cos2t 关闭 In sect+tant+C 退出
❦ 1.1. ➻ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 20 ➄ ✁ 109 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ⑦2 Z sin3 xdx = Z (1−cos2 x) sin xdx = Z (cos2 x−1)d cos x = 1 3 cos3 x−cos x+C ⑦3 Z tan xdx = Z sin x cos x dx = − Z d cos x cos x = − ln | cos x | +C = ln | sec x | +C ⑦4 Z sec tdt = Z dt cost = Z costdt cos2 t = Z d sin t 1 − sin2 t = 1 2 Z ( 1 1 + sin t + 1 1 − sin t )d sin t = 1 2 ln 1 + sin t 1 − sin t + C = 1 2 ln (1 + sin t) 2 cos2 t + C = ln |sec t + tan t| + C
”凑”微分法概括起来就是说，为了求积分 f(x)dx 我们设法把它凑成如下的形式 g((x))(x)dx 1函数 然后作代换u=p(x),从而du=p(x)dz,于是上式就成为 g(udu 访问主页 如果这个积分可在基本积分公式中查到为 标题页 炒 g(u)dx =F(u)+C 第21页共109贝 再代回原来的变量x,我们就求得了积分 返回 f(z)dx=F(p(z))+C 全屏显示 关闭 因此”凑”微分法严格地说，应该叫简单换元法. 退出
❦ 1.1. ➻ ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 21 ➄ ✁ 109 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ” ♥ ” ❻➞④ ❱ ✮ å ✺ Ò ➫ ❵ , ➃ ✡ ➛ ➮ ➞ Z f ( x )dx ➲ ❶ ✗ ④ r ➜ ♥ ↕ ❳ ❡ ✛ ✴ ➟Z g ( ϕ ( x)) ϕ 0 ( x )dx ✱ ❾ ➇ ❺ u = ϕ ( x ) , ❧ ✌du = ϕ 0 ( x )dx , ✉ ➫ þ ➟ Ò ↕ ➃ Z g ( u )du ❳ ❏ ù ❻ ➮ ➞ ➀ ✸ ➘ ✢ ➮ ➞ ú ➟ ➙ ✝ ✔ ➃ Z g ( u )dx = F ( u) + C ✷ ➇ ↔ ✝ ✺ ✛ ❈ þ x , ➲ ❶ Ò ➛ ✚ ✡ ➮ ➞ Z f ( x )dx = F ( ϕ ( x)) + C Ï ❞ ” ♥ ” ❻➞④ î ❶ ✴ ❵ , ❆ ❚ ✗ ④ ü ❺ ✄ ④