例1求多项式的积分 (3x2-2x+1)d 解 利用积分运算法则，有 11.函数 8-2+=3-2/t+ 2+1 2 -x+1+x+C 访问主页 2+1 1+ =x3-x2+x+C 标题页 炒 对于一般的多项式P(x)=anxn+an-1xn-1+·+a1x+a0,我们有 P(x)da an xd+an-1x-ldz+.+a1 第12页共109页 xdx+ao 返回 an xn+1+ 全屏显示 n+ an-lnt. 号2+ar+C 关闭 所以多项式积分后仍是多项式，其次数较积分前增高一次. 退出
❦ 1.1. ➻ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 12 ➄ ✁ 109 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ⑦ 1 ➛õ➅➟✛➮➞ Z (3x 2 − 2x + 1)dx ✮ ⑤❫➮➞✩➂④❑, ❦ Z (3x 2 − 2x + 1)dx = 3 Z x 2 dx − 2 Z xdx + Z dx = 3 2 + 1 x 2+1 − 2 1 + 1 x 1+1 + x + C = x 3 − x 2 + x + C é✉➌❸✛õ➅➟ P(x) = anx n + an−1x n−1 + · · · + a1x + a0, ➲❶❦ Z P(x)dx = an Z x n dx + an−1 Z x n−1 dx + · · · + a1 Z xdx + a0 Z dx = an n + 1 x n+1 + an−1 n x n + · · · + a1 2 x 2 + a0x + C ↕➧õ➅➟➮➞❊➫õ➅➟, Ù❣ê✖➮➞❝❖♣➌❣
2 例2 求 sin x+ 1+x2+e 解 1函数 sin a+ 1+x2+e sin xdx +2 1+2+ e"dx 访问主页 标题页 =-cosx+2arctanz +e+C “炒 上面看到，求不定积分时出现任意常数C(也叫做积分常数)，它表明一个 函数的原函数有无穷多个.当对原函数加上某种限制条件，那么就可以确 第13页共109贝 定这个常数.这样就得到满足限制条件的一个原函数.从下面的例子可以 返回 看出如何确定积分常数以及它在具体问题中的意义. 全屏显示 关闭 退出
❦ 1.1. ➻ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 13 ➄ ✁ 109 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ⑦ 2 ➛ R sin x + 2 1 + x 2 + e x ! dx ✮ R sin x + 2 1 + x 2 + e x ! dx. = Z sin xdx + 2 Z 1 1 + x 2 dx + Z e x dx = − cos x + 2 arctan x + e x + C þ→✇✔, ➛Ø➼➮➞➒Ñ②❄➾⑦ê C (➃✗❽➮➞⑦ê), ➜▲➨➌❻ ➻ê✛✝➻ê❦➹→õ❻. ✟é✝➻ê❭þ✱➠⑩➏❫❻, ❅♦Ò➀➧✭ ➼ù❻⑦ê. ù✘Ò✚✔÷✈⑩➏❫❻✛➌❻✝➻ê. ❧❡→✛⑦❢➀➧ ✇Ñ❳Û✭➼➮➞⑦ê➧✾➜✸ä◆➥❑➙✛➾➶
1 例3 已知曲线的切线斜率k=子，它是随x而变化的， (1)求此曲线方程， (2)若曲线经过点 2 求此曲线方程。 》1.1.函数 1 解 ()设曲线方程为y=f(,已知=，因此 对dx= 23 访问主页 4 8+ 标题页 N炒 这就是所要求的曲线方程.不同的C,对应不同的曲线.y= 。+C组成一 族抛物线，这一族抛物线有一个共同特点，它们在横坐标x相同的各点上 第14页共109页 的切线都互相平行（图6-1），其斜率都等于 返回 全屏显示 关闭 退出
❦ 1.1. ➻ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 14 ➄ ✁ 109 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ⑦ 3 ➤⑧➢❶✛❷❶✒➬ k = 1 4 x, ➜➫➅ x ✌❈③✛. (1) ➛❞➢❶➄➜; (2) ❡➢❶➨▲✿ 2, 5 2 ! , ➛❞➢❶➄➜. ✮ (1) ✗➢❶➄➜➃ y = f(x), ➤⑧ y 0 = 1 4 x , Ï❞ y = Z y 0 dx = 1 4 Z xdx = x 2 8 + C ùÒ➫↕❻➛✛➢❶➄➜. ØÓ✛C,é❆ØÓ✛➢❶. y = x 2 8 + C ⑤↕➌ ①✍Ô❶, ù➌①✍Ô❶❦➌❻✁Ó❆✿, ➜❶✸î❿■ x ❷Ó✛❼✿þ ✛❷❶Ñ♣❷➨✶(ã 6 - 1 ). Ù✒➬Ñ✤✉ x 4
(2)若曲线还经过点 23 2, 5-2 由此可定出常数C.因为在曲线族)=8十 1函数 C中只有一条曲线经过点 23 2, 2 把x=2和y=3代入y=8+C得 访问主页 标题页 5 22 2=8+C “炒 23 解得C=2,于是)=8+2就是所要求的曲线 第5页共10阳页 返回 全屏显示 关闭 退出
❦ 1.1. ➻ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 15 ➄ ✁ 109 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ (2) ❡➢❶❸➨▲✿ 2, 5 2 ! , ❞❞➀➼Ñ⑦ê C. Ï➃✸➢❶①y = x 2 8 + C ➙➄❦➌❫➢❶➨▲✿ 2, 5 2 ! . r x = 2Ú y = 5 2 ➇❭ y = x 2 8 + C ✚ 5 2 = 2 2 8 + C ✮✚ C = 2, ✉➫ y = x 2 8 + 2Ò➫↕❻➛✛➢❶
2 不定积分的计算 》11.函数 从上一节看到，虽然利用积分法则及简单的积分表可以求出不少函数的原 函数，但是实际上遇到的积分仅凭这一些方法还不能完全解决例如 访问主页 cos2 x sin xdx 标题页 就无法求出.为了求得更一般的不定积分的计算，还需要引进更多的方法和 N炒 技组.下面我们介绍一些求不定积分的方法 利用这些方法，我们就可以计算更多的不定积分， 第16页共109页 返回 全屏显示 关闭 退出
❦ 1.1. ➻ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 16 ➄ ✁ 109 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ §2 Ø➼➮➞✛❖➂ ❧þ➌✦✇✔,➃✱⑤❫➮➞④❑✾④ü✛➮➞▲➀➧➛ÑØ✟➻ê✛✝ ➻ê,✂➫➣❙þ➅✔✛➮➞❂➩ù➌✡➄④❸Ø❯✑✜✮û.⑦❳ Z cos2 x sin xdx Ò➹④➛Ñ.➃✡➛✚➁➌❸✛Ø➼➮➞✛❖➂,❸■❻Ú❄➁õ✛➄④Ú ❊⑤.❡→➲❶✵☛➌✡➛Ø➼➮➞✛➄④. ⑤❫ù✡➄④,➲❶Ò➀➧❖➂➁õ✛Ø➼➮➞