da=x+C kdx kx+C a++1+Ca≠-0 1 xodx = 1函数 f-iro 访问主页 cos xdx sinx+C 标题页 sin adx =-cosx+C 炒 sec2 xdx tanx+C 第7页共109页 csc2 xdz =-cot x+C 返回 全屏显示 secxtanxda secx+C 关闭 退出
❦ 1.1. ➻ ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 7 ➄ ✁ 109 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ Z dx = x + C Z kdx = kx + C Z x α dx = 1 α + 1 x α+1 + C ( α 6= −1) Z 1x dx = ln |x| + C Z cos xdx = sin x + C Z sin xdx = − cos x + C Z sec 2 xdx = tan x + C Z csc 2 xdx = − cot x + C Z sec x tan xdx = sec x + C
1+xd arctan+C 1 1-x2 =dx arcsinx+C e"dx=e"+C 1 a"dx a+C 访问主页 Ina 标题页 sinh xdx coshx+C 炒 cosh da sinhx+C 第9页共109页 dx -=-cothx+C 返回 sinh2 x dx 全屏显示 cosh2 tanhx+C 关闭 退出
❦ 1.1. ➻ ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 8 ➄ ✁ 109 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ Z 1 1 + x 2 dx = arctan x + C Z 1 √ 1 − x 2 dx = arcsin x + C Z e x dx = e x + C Z a x dx = 1 ln a a x + C Z sinh xdx = cosh x + C Z cosh dx = sinh x + C Z dx sinh 2 x = − coth x + C Z dx cosh 2 x = tanh x + C
对于∫d缸=nl+C,我们作如下的补充说明。 因lnx只是在x>0时才有意义，故公式 -dx=Inx+C 1函数 仅当x>0时才成立.但当x<0时，由于 访问主页 (y== 标题页 炒 故当x<0时我们有 ∫=ln(-)+C 第9页共109页 通常将x>0和x<0时的两个公式合并写成一个公式. 返回 全屏显示 =a+c 关闭 退出
❦ 1.1. ➻ ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 9 ➄ ✁ 109 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ é ✉ R 1x dx = ln |x| + C , ➲ ❶ ❾ ❳ ❡ ✛ Ö ➾ ❵ ➨ . Ï ln x ➄ ➫ ✸ x > 0 ➒ â ❦➾➶ , ✙ ú ➟ Z 1x dx = ln x + C ❂ ✟ x > 0 ➒ â ↕ á . ✂✟ x < 0 ➒ , ❞✉ (ln( − x)) 0 = 1 ( − x ) ( − x ) 0 = 1x ✙ ✟ x < 0 ➒ ➲ ❶ ❦ Z 1x dx = ln( − x) + C Ï ⑦ ò x > 0 Ú x < 0 ➒ ✛ ü❻ú ➟ Ü ➾ ✕ ↕ ➌❻ú ➟ . Z 1x dx = ln |x| + C
三、不定积分的运算法则 由个分运算法则，相应地就可以得到以下的不定积分的运算法则： f回±tet=∫ed±/ek 1.1. 雨数 kf()dz=k f(x)dx(k是常数) 为了说明第一个公式，只要说明等式右端的导数等于左端积分的被积函 访问主页 数f(x)士9(x)就可以了.对右端求导数，就有 标题页 N炒 第10页共109页 返回 =f(x)士g(x) 全屏显示 关闭 这个法则说明两个函数之和（差）的不定积分等于它们的不定积分之和（差） 退出
❦ 1.1. ➻ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 10 ➄ ✁ 109 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ♥✦Ø➼➮➞✛✩➂④❑ ❞❻➞✩➂④❑, ❷❆✴Ò➀➧✚✔➧❡✛Ø➼➮➞✛✩➂④❑: Z [f(x) ± g(x)]dx = Z f(x)dx ± Z g(x)dx Z kf(x)dx = k Z f(x)dx (k➫⑦ê) ➃✡❵➨✶➌❻ú➟, ➄❻❵➨✤➟♠à✛✓ê✤✉❺à➮➞✛✚➮➻ ê f(x) ± g(x)Ò➀➧✡. é♠à➛✓ê, Ò❦ Z f(x)dx ± Z g(x)dx0 = Z f(x)dx0 ± Z g(x)dx0 = f(x) ± g(x) ù❻④❑❵➨ü❻➻ê❷Ú(☛)✛Ø➼➮➞✤✉➜❶✛Ø➼➮➞❷Ú(☛)
类似地，可以证明 kf(a)dz=kf(z)dz 这个法则表明，在求不定积分是常数因子可以提到积分号外面.特别地， 访问主页 当k=-1时就有 [(-f(c))d = 标题页 f()dx “炒 下面我们举几个求积分的例子.以后如无特别说明，我们都用C表示任意 常数 第11页共109贝 返回 全屏显示 关闭 退出
❦ 1.1. ➻ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 11 ➄ ✁ 109 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ❛q✴, ➀➧②➨ Z kf(x)dx = k Z f(x)dx ù❻④❑▲➨, ✸➛Ø➼➮➞➫⑦êÏ❢➀➧❏✔➮➞Ò✠→. ❆❖✴, ✟k = −1➒Ò❦ Z (−f(x))dx = − Z f(x)dx ❡→➲❶Þ❆❻➛➮➞✛⑦❢. ➧❳➹❆❖❵➨, ➲❶Ñ❫C ▲➠❄➾ ⑦ê