由分式线性映射的存在唯一性定理知: 在已知圆周和C上分别取定三个不同 点以后必存在分式线性映射将C-F→C 以下讨论这个映射会把C的内部映射成什么? C将z平面划分为两个区域内部为d1,外部为d2, 它的象C"把和平面分为内部1,外部D2,则可以断 定d的象F(d1)必然是D1,D2中的一个而2的象 F(2是D和D2中的另一个(不可能把d1的部分映 入D1,d1的另一部分映入D2
, '. ' F C C C C 点以后 必存在分式线性映射 将 ⎯F → 在已知圆周 和 上分别取定三个不同 由分式线性映射的存在唯一性定理知： 以下讨论这个映射会把C的内部映射成什么？ 是 和 中的另一个 定 的 象 必然是 中的一个 而 的 象 它的象 把 平面分为内部 外 部 则可以断 将 平面划分为两个区域内部为 外部为 ， 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 1 2 ( ) ( ) , , ' , , : , F d D D d F d D D d C w D D C z d d (不可能把d1的部分映 入D1，d1的另一部分映入D2 )
事实上, 设z1,z2∈d,若线段z1z2→>圆弧w1w2(或直线段v1,w2) 且v1∈D2,w2∈D1→弧ww2必与C交于一点Q∈C", 它一定是C上某点的象由假设Q又是x1z2上某一点的 象,就有两个不同的点一个在圆周C上,另一在线段 z1z2上被映射为同一点 C 这与分式线性映射的一对应性相矛盾
, ' ' , , , ( , ), 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 w D w D w w C Q C z z d z z w w w w F → 且 弧 必 与 交于一点 设 若线段 圆 弧 或直线段 ⌒ ⌒ ) . z1 z2 上 被映射为同一点 事实上， d1 d2 F → D1 C C' D2 2 z 1 z w2 w1 Q 这与分式线性映射的一一对应性相矛盾! 象 就有两个不同的点一个在圆周 上 另一在线段 它一定是 上某点的象由假设 又 是 上某一点的 , ( , , 1 2 C C Q z z
由以上讨论给出确定对应区域的两个方法: (1)z0∈l1,若wo=F(z)∈D1→d1→>D1; 否则若wo=F(xo)∈D2→d1→>D2 (2)z,z2,z3∈C,则 (z1),w2=F(z2) v3=F(x3)∈C 若C依z1→z2→z的绕向与C依形→w2→>形的 绕向相同时那么d1D1,反之d1-D2 (沿曲线方向绕行时在观察者左方的区域
( ) ' (2) , , , ( ), ( ), 3 3 1 2 3 1 1 2 2 w F z C z z z C w F z w F z = 则 = = , ( ) . (1) , ( ) ; 0 0 2 1 2 0 1 0 0 1 1 1 w F z D d D z d w F z D d D F F = → = → 否 则 若 若 由以上讨论给出确定对应区域的两个方法： ( , ) , , 1 1 1 2 1 2 3 ' 1 2 3 沿曲线方向绕行时在观察者左方的区域 绕向相同时 那 么 反 之 若 依 的绕向与 依 的 d D d D C z z z C w w w ⎯F → ⎯F → → → → →
事实上过作C的一段法线1zx1zcd1,于是, 顺着z1→z→3看,在观察者的左方象F(x1z) 是过w,并与C"正交的一段圆弧或者直线段 由于在乙的保角性顺着1,形2,w3看,F(x1x)也 应在观察者的左方d1→D1;反之1FD2 C
d1 d2 C D2 D1 C' F → 事实上 , ; , , , , ( ) 1 1 1 1 2 3 1 d D z w w w F z z 应在观察者的左方 ⎯F → 由于在 的保角性 顺 着 看 也 , , 过z1 作C的一段法线z1 z z1 z d1 于 是 , ' ( ) , , ( ) 1 1 2 3 1 1 是 过 并 与 正交的一段圆弧或者直线段 顺 着 看 在观察者的左方象 w C z → z → z z z F z z d1 D2 反之 ⎯F → 2 z 1 z 3 z z w2 w1 w3 w