例2求im-24x y2+2x-3 解::im(x2+2x-3)=0商的法则不能用 又∴im(4x-1)=3≠0 imx2+2x-3=0=0 x→4x-1 3 由无穷小与无穷大的关系,得 lim.2 x→1x2+2-3
2 3 4 1 lim 2 1 + − − → x x x 例 x 2 求 解: lim( 2 3) 2 1 + − → x x x =0 商的法则不能用 lim(4 1) 1 − → x x 又 =3 0 4 1 2 3 lim 2 1 − + − → x x x x 3 0 = =0 由无穷小与无穷大的关系,得 = + − − → 2 3 4 1 lim 2 1 x x x x
例3求imx2-1 0 99 2 +2x-3 解:x-以1时,分子,分母的极限都是零 X (x+1)(x-1) xx2+2x-3x1(x+3)(x-1) 先约去不为零的无穷小因子x-1后再求 极限) = lim x+1 x→Ix+32 消去零因子法
2 3 1 lim 2 2 1 + − − → x x x 例 x 3 求 解: x→1时,分子,分母的极限都是零 “ ” 0 0 2 3 1 lim 2 2 1 + − − → x x x x ( 3)( 1) ( 1)( 1) lim 1 + − + − = → x x x x x 3 1 lim 1 + + = → x x x 2 1 = (先约去不为零的无穷小因子x−1后再求 极限) 消去零因子法
例4求lim2x,+3x,+5 6009 X→0 7x3+4x2-1 解:x-)∞时,分子,分母的极限都是无穷大 先用x3去除分子分母,分出无穷小,再求极限 3,5 2+3 2x3+3x2+5 3 3 2 =lim x>∞7x3+4x 7+ 无穷小因子分出法 以分母中自变量的最高次幂处分子, 分母,以分出无穷小,然后再求极限
7 4 1 2 3 5 lim 3 2 3 2 + − + + → x x x x 例 x 4 求 解: x→时,分子,分母的极限都是无穷大 “ ” 先用x 3去除分子分母,分出无穷小,再求极限 7 4 1 2 3 5 lim 3 2 3 2 + − + + → x x x x x 3 3 4 1 7 3 5 2 lim x x x x x + − + + = → 7 2 = 无穷小因子分出法 以分母中自变量的最高次幂处分子, 分母,以分出无穷小,然后再求极限
例5求lm( 2 十十 解:n-→>∞时,是无穷小之和 先变形再求极限 im(,+2,+…+1,)=lim 1+2+…+n n→)0 n(n+1) =lim im(1+)= n→0 n→0 2
) 1 2 lim( 2 2 2 n n n n n + + + → 例5 求 解: n→时,是无穷小之和 先变形再求极限 ) 1 2 lim( 2 2 2 n n n n n + + + → 2 1 2 lim n n n + + + = → 2 ( 1) 2 1 lim n n n n + = → ) 1 (1 2 1 lim n n = + → 2 1 =
例6求lmSx sInx J 解: 当x→>0 时 1为无穷小 而sinx是有界函数 SInd 0 x→>0x
x x y sin = x x x sin lim → 例6 求 解: 当x→时, x 1 为无穷小 而sinx是有界函数 0 sin lim = → x x x