第十三章拉普拉斯变换一、教学基本要求1、了解拉普拉斯变换的定义，会用拉普拉斯变换基本性质求象函数。2、掌握求拉普拉斯反变换的部分分式展开法，.基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运算导纳、运算电路。3、掌握应用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤。二、教学重点与难点教学重点：1.拉普拉斯反变换部分分式展开：2.基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运算导纳、运算电路；3.应用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤。教学难点：1.拉普拉斯反变换的部分分式展开法；2.电路分析方法及定理在拉普拉斯变换中的应用。三、本章与其它章节的联系：是后续各章的基础，是前几章基于变换思想的延续。总学时：6四、学时安排学时教学内容21.拉普拉斯变换的定义及基本性质22.拉普拉斯反变换的部分分式展开23.基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运算导纳、运算电路24：应用拉普拉斯变换分析线性电路，习题五、教学内容s13-1拉普拉斯变换的定义1.拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数t）与复变函数F(s）联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时间域的高阶微分方程变换为复频域的代数方程，在求出待求的复变函数后，再作相反的变换得到待求的时间函数。由于解复变函数的代数方程比解时域微分方程较有规律月有效，所以拉普拉斯变换在线性电路分析中得到广泛应用。2.拉普拉斯变换的定义一个定义在[0,+o]区间的函数），它的拉普拉斯变换式F(s）定义为F(s)= L[F(t)] = I f(t)e-" dt
第十三章 拉普拉斯变换 一、教学基本要求 1、了解拉普拉斯变换的定义，会用拉普拉斯变换基本性质求象函数。 2、掌握求拉普拉斯反变换的部分分式展开法，.基尔霍夫定律的运算形式、 运算阻抗和运算导纳、运算电路。 3、掌握应用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤。 二、教学重点与难点 教学重点：1. 拉普拉斯反变换部分分式展开； 2. 基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运算导纳、运算电路； 3. 应用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤。 教学难点：1. 拉普拉斯反变换的部分分式展开法； 2. 电路分析方法及定理在拉普拉斯变换中的应用。 三、本章与其它章节的联系： 是后续各章的基础，是前几章基于变换思想的延续。 四、学时安排 总学时：6 教 学 内 容 学 时 1．拉普拉斯变换的定义及基本性质 2 2．拉普拉斯反变换的部分分式展开 2 3．基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运算导纳、运算电路 2 4．应用拉普拉斯变换分析线性电路，习题 2 五、教学内容 §13－1 拉普拉斯变换的定义 1. 拉普拉斯变换法 拉普拉斯变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数 f(t) 与复变函 数 F(s) 联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时间域的高阶微 分方程变换为复频域的代数方程，在求出待求的复变函数后，再作相反的变换得 到待求的时间函数。由于解复变函数的代数方程比解时域微分方程较有规律且有 效，所以拉普拉斯变换在线性电路分析中得到广泛应用。 2. 拉普拉斯变换的定义 一个定义在 [0,+∞] 区间的函数 f(t) ，它的拉普拉斯变换式 F(s) 定义为
式中s=c+j@为复数，被称为复频率；F(s)为(t)的象函数，f(t)为F(s)的原函数。由F(s）到Jt)的变换称为拉普拉斯反变换，它定义为J()= L[F(3)]=[F(s)e"ds2式中c为正的有限常数。注意：（1）定义中拉氏变换的积分从=0-开始，即：F($)= J f(t)e-"dt = I" f(t)e-"dt + Jr f(t)e-"dt它计及=0-至0+，包含的冲激和电路动态变量的初始值，从而为电路的计算带来方便。（2）象函数F(s）一般用大写字母表示，如[(s)，U(s），原函数(t）用小写字母表示，如i(t),u(t)。(3)象函数 F(s)存在的条件：L-[F(t)e"±t<3.典型函数的拉氏变换（1）单位阶跃函数的象函数f (t)= (t)F(s)=[e(0)]- s(te"dt=e"dt --e"- --f（2）单位冲激函数的象函数f(t) = 8(t)F(s) = L[8(t)]- J8(t)e-"dt = [8(t)e-"dt =1（3）指数函数的象函数f(t)=etat1F(s)= [(t)]= Ietate-"dt = -$干α
式中 s=σ+jω 为复数，被称为复频率；F(s)为 f(t)的象函数，f(t)为 F(s)的原函 数。 由 F(s) 到 f(t) 的变换称为拉普拉斯反变换，它定义为 式中 c 为正的有限常数。 注意： （1）定义中拉氏变换的积分从 t=0- 开始，即： 它计及 t=0- 至 0+ ，f(t) 包含的冲激和电路动态变量的初始值，从而为电 路的计算带来方便。 （2）象函数 F(s) 一般用大写字母表示, 如 I(s)，U(s) ，原函数 f(t) 用小写 字母表示，如 i(t),u(t)。 （3）象函数 F(s) 存在的条件： 3.典型函数的拉氏变换 （1） 单位阶跃函数的象函数 （2）单位冲激函数的象函数 （3） 指数函数的象函数
813-2拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质列于表13.1中。表13-1拉氏变换的若干性质和定理(Z[J;(2)=F;(s))特性和定理表达式条件和说明[af(t)+bf(t]=aLf(t]+bf(t)线性a、b为常数[aR()+bF(o=-[R(O]+'[F()]时域延迟L(t-t)=e""F(s)T为一非负实数位移特性Re(s-a)>c频域延迟L[e"(t)=F(s-a)若所有初值为零，则有LF'(t)= sF(S) -J(0)L['(0)]= sF(s)微分L[(t) = $" F(s) [s"f(0) +-5(0)++n-1)(0)[y(n)(t)] = s"F(s)I (d)-(F()积分aa..f(f) -FYS衣limsF(s)limn()- lim s(s),(0) = limn sF(s),初值定理存在(s)所有奇点均在s平limf(t)=limsF(),f(o0) =limsFs),终值定理或→+面左半部Ls(r(t-t-Ls(t-)(ttL[i(t) * f2(t)] = F(s) · F2(s)卷积定理-为与的卷L-[Fi(s)·F2(s)=()*J2(t)积应用拉氏变换的性质，同时借助于表13.2中所示的一些常用函数的拉普拉斯变式可以使一些函数的象函数求解简化
§13－2 拉普拉斯变换的性质 拉普拉斯变换的性质列于表 13.1 中。 表 13-1 拉氏变换的若干性质和定理 特性和定理 表 达 式 条 件 和 说 明 线性 a 、 b 为常数 位移特性 时域延迟 为一非负实数 频域延迟 微分 若所有初值为零，则有 积分 初值定理 或 存在 终值定理 或 所有奇点均在 s 平 面左半部 卷积定理 为 与 的卷 积 应用拉氏变换的性质，同时借助于表 13.2 中所示的一些常用函数的拉普拉 斯变式可以使一些函数的象函数求解简化
表13-2拉氏变换简表F(s)= LL(t)f(t)F(s)=[(t)]f(t)Tot<0-15et)=/t≥01(t)=001=0t<010[ot>0fe1(n = ,2,..)(-116(0)e's+a11L(-e)I(e +at -1)OT$2(s+Q)s(s +a)QsaSin(at)Cos at32 +@232 +a25aCosh atSinh( at )32 @22- a2111(at-sina)24-cosat3(s2 +2)32(s? +a2)e-"-e-"15ae-at -be-ot(s+a)(s+b)(s+a)(s+b)b-aa-b1te~at(s+a)例 13-1[e(b)] = 1，求函数f(t)=Ust)的像函数。已知解：F(s)= [Ue(t)]=UL[s(t)]-C[s()] = 1,求 f(t)= te()-te(t-1)的象函数。例13-2已知根据积分性质和时域延迟性质解：0-001[f(0)] = Z[te(t) - (t - 1)e(t - 1) - g(t - 1)] =例 13-3 求函数 T(t)=sin( ot)的像函数
表 13-2 拉氏变换简表 1 Cos at Sin( at ) Cosh at Sinh( at ) 例 13-1 已知 ，求函数 的像函数。 解： 例 13-2 已知 ，求 f(t)= 的象函数。 解： 根据积分性质和时域延迟性质 例 13-3 求函数 的像函数
解：o-10F(s)= L sin(at )210$?+0例13-4求函数T(t)=coot)的像函数。解：根据微分性质，因为I dsin( ot)cos(ot) = dt@，所以1d(sin(at)F(s) = L[cosat]= Lodt@S00s?+0ss?+0例 13-5 求函数 J(t)=ta(t)的像函数。解：根据频域导数性质有：L[ta(t)]dss
解： 例 13-4 求函数 的像函数。 解：根据微分性质，因为 ，所以 例 13-5 求函数 的像函数。 解： 根据频域导数性质有：