第十五章电路方程的矩阵形式电路方程用矩阵形式表示，在建立时更具有规律性和系统性，便于使用计算机进行电路辅助分析和设计。一、基本要求1、掌握电路的有向图、树、割集的概念，熟练写出电路A阵、B阵、Q阵2、掌握复合支路的概念；3、学会用矩阵形式列写回路电流方程、结点电压方程和割集电压方程；4、掌握状态方程的概念及列写状态方程的方法。二、重点和难点重点：1.关联矩阵；2.结点电压方程的矩阵形式；3.状态方程。难点：电路状态方程列写的直观法和系统法。共计8学时三、学时安排学时授课内容21割集、关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵22回路电流方程和结点电压方程的矩阵形式23割集电压方程的矩阵形式24状态方程四、基本内容
第十五章 电路方程的矩阵形式 电路方程用矩阵形式表示，在建立时更具有规律性和系统性，便于使用计算机进行 电路辅助分析和设计。 一、基本要求 1、掌握电路的有向图、树、割集的概念，熟练写出电路 A 阵、B 阵、Q 阵； 2、掌握复合支路的概念； 3、学会用矩阵形式列写回路电流方程、结点电压方程和割集电压方程； 4、掌握状态方程的概念及列写状态方程的方法。 二、重点和难点 重点：1. 关联矩阵； 2. 结点电压方程的矩阵形式； 3. 状态方程。 难点：电路状态方程列写的直观法和系统法。 三、学时安排 共计 8 学时 授课内容 学时 1 割集、关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵 2 2 回路电流方程和结点电压方程的矩阵形式 2 3 割集电压方程的矩阵形式 2 4 状态方程 2 四、基本内容
$15.1图的矩阵表示1.有向图的关联矩阵电路的图是电路拓扑结构的抽象描述。若图中每一支路都赋予一个参考方向，它成为有向图。有向图的拓扑性质可以用关联矩阵、回路矩阵和割集矩阵描述。关联矩阵是用结点与支路的关系描述有向图的拓扑性质。回路矩阵是用回路与支路的关系描述有向图的拓扑性质。割集矩阵是用割集与支路的关系描述有向图的拓扑性质。本节仅介绍关联矩阵以及用它表示的基尔霍夫定律的矩阵形式。一条支路连接某两个结点，则称该支路与这两个结点相关联。支路与结点的关联性质可以用关联矩阵描述。设有向图的结点数为n，支路数为b，且所有结点与支路均加以编号。于是，该有向图的关联矩阵为一个（nXb）阶的矩阵，用A表示。它的每一行对应一个结点，每一列对应一条支路，它的任一元素（i定义如下：aji=+1，表示支路与结点j关联并且它的方向背离结点；ai=-1，表示支路k与结点j关联并且它指向结点；ai=0，表示支路k与结点j无关联。对于图15.1所示的有向图，它的关联矩阵是123345601[-1 -101070A =201-1-103+1000+1 +140+10-1-10图15.1关联矩阵A.的特点：①每一列只有两个非零元素，一个是+1，一个是-1，A的每一列元素之和为零。②矩阵中任一行可以从其他n-1行中导出，即只有n-1行是独立的。如果把A的任一行划去，剩下的（r-1）Xb矩阵用A表示，并称为降阶关联矩阵（今后主要用这种降阶关联矩阵，所以往往略去“降阶”二字），被划去的行对应的结点可以当作参考结点。例如，若以结点4为参考结点，把上式中A的第4行划去，得A[-1 -1 0 +1 00]0 +1 -1 -1 0A=0[+1000+1+1]若以结点3为参考结点，把上式中的第3行划去，得A-10+100[-10 +1 -1-1 0A=0L0+1-100-1矩阵A的某些列将只具有一个+1或一个-1，每一个这样的列必对应于与参考结
§15.1 图的矩阵表示 1．有向图的关联矩阵 电路的图是电路拓扑结构的抽象描述。若图中每一支路都赋予一个参考方向，它成 为有向图。有向图的拓扑性质可以用关联矩阵、回路矩阵和割集矩阵描述。 关联矩阵是用结点与支路的关系描述有向图的拓扑性质。 回路矩阵是用回路与支路的关系描述有向图的拓扑性质。 割集矩阵是用割集与支路的关系描述有向图的拓扑性质。 本节仅介绍关联矩阵以及用它表示的基尔霍夫定律的矩阵形式。 一条支路连接某两个结点，则称该支路与这两个结点相关联。支路与结点的关联性 质可以用关联矩阵描述。设有向图的结点数为 n ，支路数为 b ，且所有结点与支路均 加以编号。于是，该有向图的关联矩阵为一个（n×b）阶的矩阵，用 Aa 表示。它的每 一行对应一个结点，每一列对应一条支路，它的任一元素 jk a 定义如下： ajk = +1 ，表示支路 k 与结点 j 关联并且它的方向背离结点； ajk = −1 ，表示支路 k 与结点 j 关联并且它指向结点； ajk = 0 ，表示支路 k 与结点 j 无关联。 对于图 15.1 所示的有向图，它的关联矩阵是 图 15.1 关联矩阵 Aa 的特点： ① 每一列只有两个非零元素，一个是+1，一个是-1，Aa 的每一列元素之和为零。 ② 矩阵中任一行可以从其他 n-1 行中导出，即只有 n-1 行是独立的。 如果把 Aa 的任一行划去，剩下的 （n-1）×b 矩阵用 A 表示，并称为降阶关联矩 阵（今后主要用这种降阶关联矩阵，所以往往略去“降阶”二字），被划去的行对应的 结点可以当作参考结点。 例如，若以结点 4 为参考结点，把上式中 Aa 的第 4 行划去，得 A 若以结点 3 为参考结点，把上式中的第 3 行划去，得 A 矩阵 A 的某些列将只具有一个 +1 或一个-1 ，每一个这样的列必对应于与参考结
点相关联的一条支路。注意：给定A可以确定A，从而画出有向图。2.用A表示矩阵形式的KCL电路中的b个支路电流可以用一个b阶列向量表示，即i[..若用矩阵A左乘电流列向量，则乘积是一个(n-1)阶列向量，由矩阵相乘规则可知，它的每一元素即为关联到对应结点上各支路电流的代数和，即结点1上的Z结点2上的2iAi=结点(n-1)上的i因此，有Ai=0上式是用矩阵A表示的KCL的矩阵形式。例如对图15.1，以结点4为参考结点，有:To[-1-2+0Ai=5-i4-is-0[s]上式为n-1个独立方程。3.用A表示矩阵形式的KVL电路中b个支路电压可以用一个b阶列向量表示，即=[u ua . u,]](n-1)个结点电压可以用一个(n-1)阶列向量表示，即un =[un un2 . urun-]由于矩阵A的每一列，也就是矩阵A的每一行，表示每一对应支路与结点的关联情况，所以有u=A'uy例如，对图15.1有：0u-11uni +ur00uzunltinl001U324n2in-1us10uni-un2un30-1usun2+un3001[u6un3可见上式表明电路中的各支路电压可以用与该支路关联的两个结点的结点电压（参考结点的结点电压为零）表示，这正是结点电压法的基本思想。同时，可以认为该式是用矩阵A表示的KVL的矩阵形式。小结：①矩阵A表示有向图结点与支路的关联性质。②用A表示的KCL的矩阵形式为Ai=0。③用A表示的KVL的矩阵形式为u=Aun
点相关联的一条支路。 注意 ： 给定 A 可以确定 Aa ，从而画出有向图。 2．用 A 表示矩阵形式的 KCL 电路中的 b 个支路电流可以用一个 b 阶列向量表示，即 若用矩阵 A 左乘电流列向量，则乘积是一个(n-1)阶列向量，由矩阵相乘规则可知， 它的每一元素即为关联到对应结点上各支路电流的代数和，即 因此，有 Ai = 0 上式是用矩阵 A 表示的 KCL 的矩阵形式。例如对图 15.1，以结点 4 为参考结点， 有： 上式为 n-1 个独立方程。 3．用 A 表示矩阵形式的 KVL 电路中 b 个支路电压可以用一个 b 阶列向量表示，即 (n-1)个结点电压可以用一个(n-1)阶列向量表示，即 由于矩阵 A 的每一列，也就是矩阵 T A 的每一行，表示每一对应支路与结点的关联 情况，所以有 例如，对图 15.1 有： 可见上式表明电路中的各支路电压可以用与该支路关联的两个结点的结点电压（参 考结点的结点电压为零）表示，这正是结点电压法的基本思想。同时，可以认为该式是 用矩阵 A 表示的 KVL 的矩阵形式。 小结： ① 矩阵 A 表示有向图结点与支路的关联性质。 ② 用 A 表示的 KCL 的矩阵形式为 Ai = 0 。 ③ 用 A 表示的 KVL 的矩阵形式为 n T u = A u
$15.2支路电压电流的矩阵形式在列矩阵形式电路方程时，必须有一组支路约束方程。因此需要规定一条支路的结构和内容。可以采用所谓“复合支路”。1.复合支路设复合支路如图15.2所示，其中下标k表示第k条支路，U和is分别表示独立电压源和独立电流源，Z（或Y）表示阻抗（或导纳），且规定它只可能是单-的电阻、电感或电容，而不能是它们的组合，即UsKia()RiZe= jaL1LjaCkUr图15.2注意：复合支路只是定义了一条支路最多可以包含的不同元件数及连接方式，但允许缺少某些元件。另外，为了写出复合支路的支路方程，还应规定电压和电流的参考方向。本章中采用的电压和电流的参考方向如图15.2所示。2．用支路阻抗表示的支路方程的矩阵形式复合支路如图15.2所示应用KCL和KVL可以写出用阻抗表示的k支路电压、电流关系方程：U, =Z(l,+Is)-Usk若设：=[1，…2,]为支路电流列向量；=[，，…]"为支路电压列向量；,=[2s1s…1。]"为支路电流源的电流列向量；=[ss…]为支路电压源的电压列向量。对整个电路，支路方程为[,][Z][Us]0T +is0,Us21,+1s2Z2:.......0oUs.Z,,+isa即:U=Z(I+Is)-Us式中z称为支路阻抗矩阵，它是一个nXn的对角阵。当电路中存在耦合电感时，支路阻抗矩阵Z不再是对角阵，这里不再详述
§15.2 支路电压电流的矩阵形式 在列矩阵形式电路方程时，必须有一组支路约束方程。因此需要规定一条支路的结 构和内容。可以采用所谓“复合支路”。 1．复合支路 设复合支路如图 15.2 所示， 其中下标 k 表示第 k 条支路， U sk • 和 I sk • 分别表示 独立电压源和独立电流源， Zk （或 Yk ）表示阻抗（或导纳），且规定它只可能是单一 的电阻、电感或电容，而不能是它们的组合，即 图 15.2 注意 ： 复合支路只是定义了一条支路最多可以包含的不同元件数及连接方式，但 允许缺少某些元件。另外，为了 写出复合支路的支路方程，还应规定电压和电流的参 考方向。本章中采用的电压和电流的参考方向如图 15.2 所示。 2．用支路阻抗表示的支路方程的矩阵形式 复合支路如图 15.2 所示 应用 KCL 和 KVL 可以写出用阻抗表示的 k 支路电压、电流关系方程： 若设： 为支路电流列向量； 为支路电压列向量； 为支路电流源的电流列向量； 为支路电压源的电压列向量。 对整个电路，支路方程为 即：U Z I I S U S • • • • = ( + ) − 式中 Z 称为支路阻抗矩阵，它是一个 n×n 的对角阵。当电路中存在耦合电感时， 支路阻抗矩阵 Z 不再是对角阵，这里不再详述
3．用支路导纳表示的支路方程的矩阵形式设复合支路如图15.3所示。当电路中无受控电流源（即iak=0），电感间无耦合时，对于第k条支路有I,-YUe-Is=Ye(U,+Us)-Isx对整个电路有1-Y(U+Us)-Is式中Y称为支路导纳矩阵，它是一个对角阵。中图15.3当电路中含有受控电流源，电感间无耦合时，设第k支路中有受控电流源并受第支路中无源元件上的电压u。或电流ig控制，其中lak=g,Ug或a=β,Ig此时，对第k支路有1,=Y(U+Us)+lax-Isk在VCCS情况下，上式中的Iak=g(Uj+Us）。而在CCCS的情况下，ia=gY(U,+Us)。于是有[,+Us1YiT is1N00,+0s2is2Y,......：0:.00YU,+Us;1s,...::::..Is00U,+UskYe.Y.:...:::目1.001o00Y,U,+Us.......式中：[g（当为VCCs时）Yg(当为CCCS时)Be即：1=Y(U+)-Is可见此时支路方程在形式上仍与情况1时相同，只是矩阵Y的内容不同而已。注意此时Y也不再是对角阵
3．用支路导纳表示的支路方程的矩阵形式 设复合支路如图 15.3 所示。当电路中无受控电流源（即 = 0 • I dk ），电感间无耦合 时，对于第 k 条支路有 对整个电路有 式中 Y 称为支路导纳矩阵，它是一个对角阵。 图 15.3 当电路中含有受控电流源，电感间无耦合时，设第 k 支路中有受控电流源并受第 j 支路中无源元件上的电压 Uej • 或电流 I ej • 控制，其中 ej kj I dk g U • • = 或 ej kj I dk I • • = 。 此时，对第 k 支路有 在 VCCS 情况下，上式中的 ( j sj) kj I dk g U U • • • = + 。而在 CCCS 的情况下， ( j sj) kj j I dk g Y U U • • • = + 。于是有 式中： 即： 可见此时支路方程在形式上仍与情况 1 时相同，只是矩阵 Y 的内容不同而已。注 意此时 Y 也不再是对角阵