请读者自行完成. 例8求下列不定积分： ① 3), 分析可充分利用凑微分公式：e本=de:或者换元，令u=e 解Djn-=me+c. 2解法1j-e=可e 然后用公式刘女~六：C,则 c 解法2点=-=六中地 刘G-兴 + c 》1==0-达 -f-2+e =x-In(l+e')+C. e+ 解法3令u=e,d=e,则有 2-咖品rc C-e)c. 注在计算不定积分时，用不同的方法计算的结果形式可能不一样，但本质相同.验证 积分结果是否正确，只要对积分的结果求导数，若其导数等于被积函数则积分的结果是正确 的 例9求下列不定积分： w a需 分析在这类复杂的不定积分的求解过程中需要逐步凑微分
请读者自行完成． 例８ 求下列不定积分： （1） x x dx e e − + ． （2） x x dx e e − − ． （3） 1 1 x dx + e ． 分析 可充分利用凑微分公式： x x e dx de = ；或者换元，令 x u e = ． 解 （1） x x dx e e − + 2 2 1 arctan ( ) 1 ( ) 1 x x x x x e dx de e C e e = = = + + + ． （2）解法 1 x x dx e e − − 2 2 1 ( ) 1 ( ) 1 x x x x e dx de e e = = − − , 然后用公式 2 2 1 1 ln 2 x a dx C x a a x a − = + − + ，则 x x dx e e − − 1 1 ln 2 1 x x e C e − = + + ． 解法 2 x x dx e e − − 2 1 1 1 1 ( ) ( ) 1 2 1 1 x x x x x de de e e e = = − − − + 1 ( 1) ( 1) ( ) 2 1 1 x x x x d e d e e e − + = − − + 1 1 ln 2 1 x x e C e − = + + ． （3）解法 1 1 1 x dx + e 1 (1 ) 1 1 x x x x x e e e dx dx e e + − = = − + + 1 (1 ) 1 x x dx d e e = − + + ln(1 )x = − + + x e C ． 解法 2 1 1 x dx + e ( 1) ln( 1) 1 1 x x x x x e d e dx e C e e − − − − − + = = − = − + + + + ． 解法３ 令 x u e = ， x du e dx = ，则有 1 1 x dx + e 1 1 1 1 ( ) ln( ) 1 1 1 u du du C u u u u u = = − = + + + + ln( ) ln( 1) 1 x x x e C e C e − = + = − + + + ． 注 在计算不定积分时，用不同的方法计算的结果形式可能不一样，但本质相同．验证 积分结果是否正确，只要对积分的结果求导数，若其导数等于被积函数则积分的结果是正确 的． 例 9 求下列不定积分： （1） ln tan sin cos x dx x x ． （2） arctan (1 ) x dx x x + ． 分析 在这类复杂的不定积分的求解过程中需要逐步凑微分．
g鼎- =in tan=fin tamntn对 tanx -In(tanx)+C. 1+(N)2 =2farctand(arctan)=(arctan+C. 身0三 分析若将积分变形为arctan-.d(arctan.),则无法积分，但如果考虑到凑出。，将被 :否宁，将子与血结合流成则响即可解 积函数变形为c上.！ 1 arctan =-∫aretanrctan (arctany +c. 倒1求t 分析仔细观察被积函数的分子与分母的形式，可知(xnxy=1+nx 解=anc. 例12(04研)已知f(e)=xe，且f0)=0,则fx)= 分析先求f(x),再求x). 解令e=,即x=h,从而f0=h.故 f(x)==fInxd(lnx)=nx+C 由/0=0，得C=0,所以)=hx. 例13求∫5n2x+2snx
解 （1） 2 ln tan ln tan sin cos tan cos x x dx dx x x x x = ln tan (tan ) ln tan (ln tan ) tan x d x xd x x = = 1 2 ln (tan ) 2 = + x C ． （2） 2 arctan arctan 2 (1 ) 1 ( ) x x dx d x x x x = + + 2 = = + 2 arctan (arctan ) (arctan ) xd x x C ． 例 10 求 2 1 arctan 1 x dx + x ． 分析 若将积分变形为 1 arctan (arctan ) d x x ，则无法积分，但如果考虑到凑出 1 x ，将被 积函数变形为 2 2 1 arctan 1 1 1 ( ) x x x + ，再将 2 1 x 与 dx 结合凑成 1 d( ) x − ，则问题即可解决． 解 2 2 2 2 1 1 1 arctan arctan arctan 1 1( ) 1 1 1 1 ( ) 1 ( ) x x x dx dx d x x x x x = = − + + + 1 1 arctan (arctan ) d x x = − 1 1 2 (arctan ) 2 C x = − + ． 例 11 求 2 1 ln ( ln ) x dx x x + ． 分析 仔细观察被积函数的分子与分母的形式，可知 ( ln ) 1 ln x x x = + ． 解 2 2 1 ln 1 1 ( ln ) ( ln ) ( ln ) ln x dx d x x C x x x x x x + = = − + ． 例 12（04 研） 已知 ( )x x f e xe− = ，且 f (1) 0 = ，则 f x( ) _ = ． 分析 先求 f x ( ) ，再求 f x( ) ． 解 令 x e t = ，即 x t = ln ，从而 ln ( ) t f t t = ．故 2 ln 1 ( ) ln (ln ) ln 2 x f x dx xd x x C x = = = + ， 由 f (1) 0 = ，得 C = 0 ，所以 1 2 ( ) ln 2 f x x = ． 例13 求 sin 2 2sin dx x x + ．
分析被积函数为三角函数，可考虑用三角恒等式，也可利用万能公式代换。 法11a-m点-n stanIn tan+C. 解法2令1=c0sx,则 al-n+++c In(-o)+cos)+C 解法3令1=宁则=品m品=品，则 -gm+nlm克l+c 例14求+ 分析被积函数含有根式，一般先设法去掉根号，这是第二类换元法最常用的手段之一. 解设+1=1，即x=-l,dk=21d,则 nm鼎=咖4 =2r-2Inl++C =2+1-2ln(1++1)+C 例15求∫5=支+5= 分析被积函数中有开不同次的根式，为了同时去掉根号，选取根指数的最小公倍数. 解令5-x=1,=4rh,则
分析 被积函数为三角函数，可考虑用三角恒等式，也可利用万能公式代换． 解法１ sin 2 2sin dx x x + 3 1 2 2sin (cos 1) 4 sin cos 2 2 x d dx x x x x = = + 2 2 tan 1 tan 1 1 2 2 tan 4 4 2 tan cos tan 2 2 2 x x d x d x x x + = = 1 1 2 tan ln tan 8 2 4 2 x x = + + C ． 解法 2 令 t x = cos ，则 sin 2 2sin dx x x + 2 sin 2sin (cos 1) 2sin (1 cos ) dx xdx x x x x = = + + 2 1 2 (1 )(1 ) dt t t = − − + 2 1 1 1 2 8 1 1 (1 ) dt t t t = − + + − + + 1 2 (ln |1 | ln |1 | ) 8 1 t t C t = − − + + + + 1 1 1 ln(1 cos ) ln(1 cos ) 8 8 4(1 cos ) x x C x = − − + + + + ． 解法３ 令 tan 2 x t = ，则 2 2 sin 1 t x t = + ， 2 2 1 cos 1 t x t − = + ， 2 2 1 dx dt t = + ，则 sin 2 2sin dx x x + 1 1 1 1 2 ln | | 4 8 4 t dt t t C t = + = + + 1 1 2 tan ln | tan | 8 2 4 2 x x = + +C ． 例 14 求 1 1 dx + +x ． 分析 被积函数含有根式，一般先设法去掉根号，这是第二类换元法最常用的手段之一． 解 设 x t + = 1 ，即 2 x t = −1， dx tdt = 2 ，则 2 1 2 (1 ) 1 1 1 1 dx t dt dt x t t = = − + + + + = − + + 2 2ln 1 t t C = + − + + + 2 1 2ln(1 1) x x C 例 15 求 4 5 5 dx − + − x x ． 分析 被积函数中有开不同次的根式，为了同时去掉根号，选取根指数的最小公倍数． 解 令 4 5 − = x t ， 3 dx t dt = −4 ，则
s5-小-+ =-4-1+h邮+0+C =-455-x-5-x+1+5-x月+C. 例16∫+r-可 解令哥，即品1女行，则 「w可小E c.c. 例17求「x24-x 分析被积函数中含有根式√4-x2,可用三角代换x=2sn1消去根式. 解设V4-x=2c0s1(0<1<),本=2c0sd,则 ∫x24-xk=∫4sin21-2cos1-2cos1d=∫4sin22d =2(1-cos41)dt =21-sin4+C =2t-2sintcosf(l-2sin()+C =2acsm4-0-+c. 生杜环毛我车为行8家8股56我干 方根情况的讨论。对三角代换，只要把角限制在0到号，则不论什么三角函数都取正值，避 免了正负号的讨论。 例18求∫a+可 分析虽然被积函数中没有根式，但不能分解因式，而且分母中含有平方和，因此可以 考虑利用三角代换，将原积分转换为三角函数的积分， 解设x=tan1,本=sc2d,（1+x=sec'1,则 ∫a+于=∫h=cosd
2 4 4 1 4 ( 1 ) 5 5 1 1 dx t dt t dt x x t t − = = − − + − + − + + 1 2 4( ln 1 ) 2 = − − + + + t t t C 1 4 4 4[ 5 5 ln(1 5 )] 2 = − − − − + + − + x x x C ． 例 16 3 2 4 ( 1) ( 1) dx x x + − 解 令 3 1 1 x t x − = + ，即 3 2 1 1 x t = − − ， 2 3 2 6 (1 ) t dx dt t = − ，则 3 2 4 ( 1) ( 1) dx x x + − 2 3 3 2 2 3 3 2 1 6 1 4 (1 ) ( 1) 1 (1 ) dx t dt x t t x t x t = = − − − + − 1 3 2 3 1 3 1 3 1 ( ) 2 2 2 1 x dt C C t t x + = = − + = − + − ． 例 17 求 2 2 x x dx 4 − ． 分析 被积函数中含有根式 2 4 − x ，可用三角代换 x t = 2sin 消去根式． 解 设 2 4 2cos (0 ) 2 x t t − = ， dx tdt = 2cos ，则 2 2 2 2 x x dx t t tdt t dt 4 4sin 2cos 2cos 4sin 2 − = = 1 2(1 cos 4 ) 2 sin 4 2 = − = − + t dt t t C 2 = − − + 2 2sin cos (1 2sin ) t t t t C 2 2 1 2arcsin 4 (1 ) 2 2 2 x x = − − − + x x C ． 注 1 对于三角代换，在结果化为原积分变量的函数时，常常借助于直角三角形． 注 2 在不定积分计算中，为了简便起见，一般遇到平方根时总取算术根，而省略负平 方根情况的讨论．对三角代换，只要把角限制在 0 到 2 ，则不论什么三角函数都取正值，避 免了正负号的讨论． 例 18 求 2 2 1 (1 ) dx + x ． 分析 虽然被积函数中没有根式，但不能分解因式，而且分母中含有平方和，因此可以 考虑利用三角代换，将原积分转换为三角函数的积分． 解 设 x t = tan ， 2 dx tdt = sec ，( ) 2 2 4 1 sec + = x t ，则 2 2 2 2 4 1 sec cos (1 ) sec t dx dt tdt x t = = +