Chapter 5.Approximation (四)微扰理论适用条件 总结上述，在非简并情况下，受扰动体系的能量和态矢量分别由下式给出： En=E0)+Hm+∑ k≠n 0)-E)+ Iv。=y0)>+∑ H E0)-E) Ψ0)>+ 欲使二式有意义，则要求二级数收敛。由于不知道级数的一般 项，无法判断级数的收敛性，我们只能要求级数已知项中，后项远 小于前项。由此我们得到微扰理论适用条件是： 这就是本节开始时提到的关于H” H'kn E0-E <<1 E≠E 很小的明确表示式。当这一条件被 满足时，由上式计算得到的一级修 正通常可给出相当精确的结果。 2
Chapter 5. Approximation 21 总结上述,在非简并情况下,受扰动体系的能量和态矢量分别由下式给出: " " +>ψ − ′ +>ψ>=ψ + − ′ += ′ + ∑ ∑ ∞ ≠ ∞ ≠ )0( )0()0( )0( )0()0( 2 )0( || | || k n k kn nk n n n k kn nk n n nn EE H EE H HEE 欲使二式有意义，则要求二级数收敛。由于不知道级数的一般 项，无法判断级数的收敛性，我们只能要求级数已知项中，后项远 小于前项。由此我们得到微扰理论适用条件是： )0()0( )0()0( 1 n k n k kn EE EE H << ≠ − ′ 这就是本节开始时提到的关于H’ 很小的明确表示式。当这一条件被 满足时,由上式计算得到的一级修 正通常可给出相当精确的结果。 （四）微扰理论适用条件
Chapter 5. Approximation H )-E4 <1,Eo)≠E0) 微扰适用条件表明： (1)H’km=<业ko)H’|中.o)>要小，即微扰矩阵元要小； (2)|E,(o)-Eo)|要大，即能级间距要宽： 例如：在库仑场中，体系能量（能级）与量子数成反比，即 En=-μZ2e2/2n2(n=1,2,3,.).由上式可见，当n大时， 能级间距变小，因此微扰理论不适用于计算高能级（大）的 修正，而只适用于计算低能级（小）的修正。 22
Chapter 5. Approximation 22 微扰适用条件表明： (2) |En(0)–Ek(0)|要大，即能级间距要宽. 例如：在库仑场中，体系能量(能级)与量子数n2成反比，即 En=-μZ2e2/2 =2n2 (n=1,2,3, .).由上式可见，当n大时， 能级间距变小，因此微扰理论不适用于计算高能级(n大)的 修正，而只适用于计算低能级(n小)的修正。 (1) |H’kn|=|<ψk(0)|H’|ψn(0)>|要小,即微扰矩阵元要小; )0()0( )0()0( ,1 n k n k kn EE EE H << ≠ − ′
Chapter 5.Approximation (五)讨论 表明扰动态矢！业>可以看成是未 扰动态矢>的线性叠加。 (1)在一阶近似下： 1w>+ Hkn k主 EO-Ev> (2)展开系数H'kn/(Eno)-Eko)表明第k个未扰动态矢 |中ko>对第n个扰动态矢中>的贡献有多大。展开系数反比 于扰动前状态间的能量间隔，所以能量最接近的态业k>混 合的也越强。因此态矢一阶修正无须计算无限多项。 (③)由En=E.o+Hnn可知，扰动后体系能量是由扰动前第 n态能量E.o加上微扰Hamilton量H'在未微扰态业o>中 的平均值组成。该值可能是正或负，引起原来能级上移或 下移。 23
Chapter 5. Approximation 23 > − ′ +>>= ∑ ∞ ≠ )0( )0()0( )0( || | k n k kn nk n n EE H ψψ ψ 表明扰动态矢|ψn>可以看成是未 扰动态矢|ψk(0)>的线性叠加。 (2) 展开系数 H’k n /(En (0) - E k (0)) 表明第k个未扰动态矢 |ψk(0)> 对第n个扰动态矢|ψn> 的贡献有多大。展开系数反比 于扰动前状态间的能量间隔，所以能量最接近的态|ψk(0)> 混 合的也越强。因此态矢一阶修正无须计算无限多项。 (3) 由En = E n (0) + Hn n可知，扰动后体系能量是由扰动前第 n态能量E n (0)加上微扰Hamilton量 H’在未微扰态|ψn(0)>中 的平均值组成。该值可能是正或负，引起原来能级上移或 下移。 (1)在一阶近似下: （五）讨论
Chapter 5. Approximation (4)对满足适用条件 <<1 E-EO E0≠E 微扰的问题，通常只求一阶微扰其精度就足够了。如果 一 级能量修正H'nn=0,就需要求二级修正，态矢求到一 级修正即可。 (⑤)在推导微扰理论的过程中，我们引入了小量入，令： = λH四只是为了便于将扰动后的定态Schrodinger?方程能够按 λ的幂次分出各阶修正态矢所满足的方程，仅此而已。一旦 得到了各阶方程后，λ就可不用再明显写出，把H)理解为 H即可，因此在以后讨论中，就不再明确写出这一小量。 (六)实例 24
Chapter 5. Approximation 24 （4）对满足适用条件 )0()0( )0()0( 1 kn kn kn EE EE H << ≠ − ′ 微扰的问题，通常只求一阶微扰其精度就足够了。如果 一级能量修正H’n n = 0 , 就需要求二级修正，态矢求到一 级修正即可。 (5) 在推导微扰理论的过程中，我们引入了小量λ,令: H’ = λH(1)只是为了便于将扰动后的定态Schrodinger方程能够按 λ的幂次分出各阶修正态矢所满足的方程，仅此而已。一旦 得到了各阶方程后，λ就可不用再明显写出，把H(1)理解为 H’即可，因此在以后讨论中，就不再明确写出这一小量。 （六）实例
Chapter 5.Approximation 例1.一电荷为e的线性谐振子，受恒定弱电场e作用。电场 沿x正向，用微扰法求体系的定态能量和波函数。 解：（①）Hamilton量 h2 d2 2h2+2x2 将H分成H,+H两部分，弱 (0)= h2 d2 电场上式最后一项很小，可看 2hd在2+u02x2 成微扰. H'=-eEx .dU=-g·dx,∴.电势能：edU=-es·dx=-egx (2)写出H的本征值和本征函数E,业.0 y0=Ne2Hn(cx)） a=h N √π2"nl E,°=ho(n+) n=0,1,2,. 25
Chapter 5. Approximation 25 例1.一电荷为 e 的线性谐振子，受恒定弱电场ε作用。电场 沿 x 正向，用微扰法求体系的定态能量和波函数。 解： (1) Hamilton 量 xex dxd H μω ε μ −= + − 22 21 222 2 ˆ = 将 H分成H0 + H’ 两部分, 弱 电场上式最后一项很小,可看 成微扰. ⎪⎩ ⎪⎨⎧ ′ −= −= + xeH x dx d H ε μω μ ˆ 2 ˆ 22 2 1 2 22 )0( = （2）写出 H0 的本征值和本征函数 E(0), ψn(0) = " = ,2,1,0)( !2 )( 2 )0( 1 )0( 2/ 22 +ω= = π α = μω =ψ =αα α− nE n n xHeN N n n n n x n n dU d x edU e d x e x =− ⋅ ∴ ε , =− ⋅ =− ε ε G G G G ∵ 电势能: